區間猶豫模糊M-對稱平均及其群決策模型

馬慶功

常州大學 懷德學院，江蘇 靖江214500

1 引言

決策科學的發展，推動著現代社會和經濟的快速發展，同時也帶來一些不可逆的問題，如決策環境越來越復雜，人類認知的模糊不確定性等。鑒于此，在決策過程中無法用一個精確的值來描述屬性信息，自Zadeh[1]提出了模糊集（Fuzzy Set，FS）理論以來，吸引了眾多學者們對模糊決策問題關注和擴展研究。然而，決策者在制定決策時不可避免地帶有主觀偏好，導致決策中出現猶豫不定的情況，從而決策結果存在一定程度的偏頗[2-4]。于是，Torra[5]提出了猶豫模糊集的概念。雖然猶豫模糊集在表達屬性信息方面優勢顯著，但并不能精準地刻畫原始決策信息，仍然存在一定的信息損失現象。對此，決策者們利用[0，1]間的區間值來進行刻畫。進而，Chen 等人[6]提出來區間猶豫模糊集（Interval-Valued Hesitant Fuzzy Sets，IVHFSs），允許給定集合中元素的隸屬度由幾個不同的區間值進行描述。

屬性信息集成已經成為多屬性群決策問題中的重要研究領域之一[7-9]。在區間猶豫模糊環境下，Jin等[8]引入了Einstein 的思想，構建了一個基于區間值猶豫模糊優先集成算子的決策模型。針對帶有不完全權重信息的決策問題，Zhang等[10]提出來一種新的解決方法，并成功應用于MAGDM問題中。Liu等[11]基于改進的Hamacher集成算子和連續熵，構建了多屬性群決策方法。此外，文獻[12-14]研究了區間猶豫模糊集的距離公式和相似度測量公式，提出了一些有效且可行的度量方法用于決策問題中。

Maclaurin對稱平均（Maclaurin Symmetric Mean，MSM）由Maclaurin[15]提出，后來得到了擴展和發展[16]，可以反映多個輸入參數之間的相互關系，較好地彌補了Heronian Mean（HM）算子[17]和Bonferroni Mean（BM）算子[18]只考慮集成參數間的相互關系而沒有考慮三個或更多個參數之間的相互關系的缺陷，更加具有可靠性和可行性。而后，一些學者將MSM 引入到不同的環境下進行屬性信息的融合[7，19-21]，進一步證明屬性信息集成的可行性和有效性。

通過以上分析發現，針對區間猶豫模糊信息集成方法的研究成果雖然不少，但與MSM 進行集成的研究尚未提出。因此，本文基于Maclaurin 對稱平均定義了區間猶豫模糊Maclaurin 對稱平均（Inter-Valued Hesitant Fuzzy Maclaurin Symmetric Mean，IVHFMSM）算子，研究了其具有的優良性質、常見形式以及加權形式，最后基于IVHFMSM 算子構建了區間猶豫模糊信息集成的多屬性群決策模型，并通過采購數據庫的實例論證了其有效性和可行性。

2 基本理論

本章主要回顧區間猶豫模糊集和Maclaurin對稱平均算子的基本概念及運算法則。

2.1 區間猶豫模糊集

定義1[6]令X={x1,x2,…,xm}為一個給定的集合，則稱：

為區間猶豫模糊集。為方便起見，稱：

為一個區間猶豫模糊元（IVHFE）。γi表示X 中元素xi屬于集合H 的可能隸屬度。為一個區間猶豫模糊數，其中γ?L為區間數的下限，γ?U為區間數的上限值。

定義2[6]若α=[αL,αU] 和β=[βL,βU] 為兩個區間數，令lα=αU-αL,lβ=βU-βL，則α ≥β 的可能度為：

定義3[6]令IVHFE h={γ|γ ∈h( x )}，則IVHFE h 的

得分函數定義如下：

其中，#h 為集合h 中區間的個數，且s(h)是[0,1]上的區間。對于兩個IVHFE h1和h2，若s( h1)≥s( h2)，則h1≥h2，即h1大于h2；若s( h1)＜s( h2)，則有h1＜h2，即h1小于h2。

文獻[6]進一步研究了一些區間猶豫模糊集成算子：令hj(j=1,2,…,n) 為一列IVHFEs，w=(w1,w2,…,wn)T為相關的權重向量，滿足wi∈[0 ,1] 且=1，則：

（1）區間猶豫模糊加權平均（IVHFWA）算子

（2）區間猶豫模糊加權幾何（IVHFWG）算子

2.2 Maclaurin對稱平均

定義4[15]令ai(i=1,2,…,n)是一組非空實數，并且r=1,2,…,n。如果：

則稱MSM(r)為麥克勞林對稱平均。其中，(i1,i2,…,ir)遍歷組合(1,2,…,n)中所有的r 元組，為二項式系數。

3 IVHFMSM算子及其性質和常見形式

本章將會在區間猶豫模糊環境下引入Maclaurin對稱平均，得到區間猶豫模糊Maclaurin對稱平均（IVHFMSM）算子。此外，本章也對區間猶豫模糊Maclaurin 對稱平均算子所具備的優良性質和一些特例進行研究。基于文獻[6]提出的關于區間猶豫模糊元的運算法則和文獻[15]中提出的關于Maclaurin對稱平均的特殊性質，有如下定義。

定義5 令hi(i=1,2,…,n)是一組區間猶豫模糊元，且r=1,2,…,n。如果：

稱為區間猶豫模糊麥克勞林對稱平均算子，簡記為IVHFMSM(r)算子。其中，(i1,i2,…,ir)遍歷組合(1,2,…,n)中所有的r 元組為二項式系數。

定理1 令hi(i=1,2,…,n) 為一列IVHFE，則運用IVHFMSM(r)算子得到的集成結果仍為IVHFE，且有：

其中，γ1∈h1,γ2∈h2,…,γn∈hn。

證明（1）根據文獻[6]中的運算法則，可得：

因此：所以公式（9）成立。

（2）若要證明IVHFMSM(r)算子得到的結果仍為IVHFE，即證：

所以，IVHFMSM(r)算子得到的結果仍為IVHFE。綜上，則定理1得證。

性質1（冪等性）令hi(i=1,2,…,n)為一列IVHFE，如果對于所有的i=1,2,…,n，都有hi=h={ }γ ，則：

證明 當hi(i=1,2,…,n)=h=[γL,γU] 時，所以：

綜上，易知性質1成立。

推論 令hi(i=1,2,…,n) 為一列IVHFE，對于任意i，則有以下兩條推論：

（1）若hi=h=(0,0)，則：

（2）若hi=h=( 1,1) ，則：

性質2（置換不變性）令hi(i=1,2,…,n) 為一列IVHFE，如果是hi=(h1,h2,…,hn) 的一個任意置換，則有：

根據定義5和定理1，可得性質3成立。

結合性質1和性質3，可得以下性質。

引理1[22]令ai(i=1,2,…,n)是一組非空實數，并且r=1,2,…,n，則有：

其中，當a1=a2=…=an時，等式成立。

引理2[23]令ai＞0，bi＞0(i=1,2,…,n)，且=1，

則有：

其中，當a1=a2=…=an時，等式成立。

令

（1）首先要證明f ( r)是隨著參數r 單調遞減函數。基于引理1和引理2，可得：

（2）反證法。假設隨著參數r 的增加，函數f( r)遞增，則：

（3）令L( r )=f( r+1) -g( r )，則：

因為函數f( r ),g( r )都為單調減函數，可得f( r+2 )-f( r+1) ＜0，g( r+1) -g( r )＜0，因此L( r+1) -L( r )＜0。

接下來，將介紹IVHFMSM( )r在參數r 取不同值時的特殊形式。

情況1 當r=1 時：

IVHFA(h1,h2,…,hn)

情況2 當r=2 時：

情況3 當r=n 時：

4 基于IVHFWMSM算子的群決策模型及其應用

4.1 IVHFWMSM算子

稱IVHFWMSM(r)為區間猶豫模糊加權Maclaurin對稱平均算子。其中，(i1,i2,…,ir)遍歷組合(1,2,…,n)中所有的r 元組，為二項式系數。

4.2 算法模型

假設A={A1,A2,…,Am} 為一個給定的備選方案集合，C={C1,C2,…,Cn}為屬性集合，屬性權重向量為w=(w1,w2,…,wn)T，滿足wi≥0 且=1。現邀請一組相關專家E={E1,E2,…,Em} ，η=(η1,η2,…,ηm)T為專家權重向量，滿足ηj≥0 且=1。對這些備選方案在屬性集下進行綜合評估。為了使得專家們提供的決策信息表達得更為全面和精確，將運用區間猶豫模糊元hij表示這些專家對每個方案Ai在每種屬性Cj下的評估信息，進而構建一個區間猶豫模糊決策矩陣H=(hij)m×n。接下來，將運用提出的區間猶豫模糊信息集成算子處理上述多屬性群決策問題，具體步驟如下：

步驟1 群決策信息標準化。如果所有的屬性均為效益型，則不需將決策矩陣H=(hij)m×n進行標準化處理；否則，運用如下方法對原始矩陣進行標準化：

步驟4 各備選方案進行優劣排序，并選擇出綜合性能最高的方案。

4.3 算例分析

近年來，隨著大數據時代的到來和互聯網的不斷發展，數據科學日益成為這個時代最重要的技術之一，成為數據驅動商業模式的價值核心[25]。某軟件開發公司為了適應大數據環境下數據存儲的海量需求，欲從市場上采購一套數據庫。該公司采購部門根據自身需求在市場中挑選出四套符合條件的數據庫Xi(i=1,2,3,4)以供選擇。為了客觀合理地選擇出綜合性能最優的數據庫，采購招商部門現邀請三位相關領域的專家學者對這四套數據庫在如下四種指標下進行定性評估，即價格C1、存儲量C2、使用壽命C3和售后服務與技術C4，并且根據各指標的重要程度進行權重的分配，即指標權重向量為w=(0.2,0.3,0.35,0.15)T，評價值如表1～3所示。根據專家的知識水平，使專家權重向量為η=( 0.3,0.5,0.2)T。

步驟1 由于四種屬性指標Cj(j=1,2,3,4)為同一類型指標，即均為效益型指標，因此不需要對原始的專家決策信息矩陣進行標準化。

步驟2 基于標準的三個專家決策信息矩陣，利用運用IVHFWMSM算子（假設r=n）進行集成，得到區間猶豫模糊決策矩陣H=(hij)4×4，如表4。

步驟3 計算得各數據庫的綜合屬性信息hi(i=1,2,3,4)的得分函數值，見表5。

表1 專家1給出的區間猶豫模糊決策矩陣

表2 專家2給出的區間猶豫模糊決策矩陣

表3 專家3給出的區間猶豫模糊決策矩陣

表5 IVHFWMSM算子得到的得分函數值和排序結果

步驟4 依據公式（3），對各屬性值的得分函數進行大小排序，得出綜合性能最優的數據庫，具體排序結果見表5。

從表5 中可以看出，由于參數r 取值的變化，屬性值的排序結果會有細微的不同，表明參數值能夠反映決策者的風險偏好。表5 中，雖然排序結果隨著參數值r的變化有變化，但最優值出現在A1和A3之間，說明本文提出的算子具有多選擇性，可以滿足決策者多種決策需求。在實際的決策中，決策者可以根據其風險偏好選擇合適的參數值進行決策。

為了說明本文提出的算法具有可靠性和合理性，下面將與文獻[6]提出的IVHFWA和IVHFWG進行對比分析。首先，從表5和表6可以看出，當r =1、3、4和n 時，IVHFWMSM與文獻[6]中的兩個算子得出的結果相同，即綜合性能最優的數據庫均為A3，這說明本文構建的多屬性群決策方法具有合理性和有效性。其次，當r=2時，決策結果為A1綜合性能最優，說明本文構建的多屬性群決策方法具有多樣性和較強的適應性。再者，相比IVHFWA 算子和IVHFWG 算子，本文提出的方法能夠用于處理屬性值獨立的決策問題。此外，本文提出的信息融合算子具有可變參數，決策更加靈活，能夠滿足決策者不同的需要，更具有一般性，而文獻[6]提出的兩個算子不具有可變參數，無法滿足不同決策者的需求。

表6 不同集成算子間的對比

由上述對比分析可知，本文提出的決策方法在集成區間猶豫模糊集信息和處理屬性值獨立的多屬性群決策問題方面更加靈活可靠。

5 結束語

本文在區間猶豫模糊環境下引入了MSM 的思想，提出了區間猶豫模糊Maclaurin對稱平均(IVHFMSM(r))算子，并探討了其具有的優良性質，即冪等性、置換不變性、單調性和有界性。此外，本文根據參數r 的變化對該算子的幾種特殊情況進行了研究。考慮到屬性值的權重，本文進一步介紹了區間猶豫模糊加權Maclaurin對稱平均(IVHFWMSM(r))算子。基于此，構建了一種區間猶豫模糊信息集成算法的多屬性群決策模型，并通過實際決策問題進行可行性和有效性分析，決策結果也進一步表明本文的決策算法更具合理性和多選擇性。

本文未考慮區間猶豫模糊Maclaurin 對稱平均(IVHFMSM(r))算子有關相似度和距離公式的研究，未來可加入研究范圍內。此外，本文是在區間猶豫模糊環境下引入了Maclaurin 對稱平均的思想，而多屬性決策問題不僅限于某一種模糊環境中，因此在其他模糊環境下融入Maclaurin 對稱平均將是未來研究方向之一。