中考應用題解題策略研究

于艷芹

[摘要]探討數學應用問題的解題策略具有重要的現實意義不僅能讓學生學會分析問題，還能提高學生的解題能力

[關鍵詞]中考;應用題;解決策略

[中圖分類號]

G633. 6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（2020）17-0012-02

在近幾年的中考數學中，增加了應用題，這些應用題具有鮮明的特色，它的背景素材取白現實生活，并與熱點鏈接，且涉及面廣.題日通常文字敘述比較冗長，有諸多干擾因素.如果學生不能抓住要害，找出解答的關鍵信息，就不能正確解題.在解答這類題時，要學會“抽絲剝繭”，聯系學過的知識，通過觀察、分析、概括，將實際問題轉化為數學模型，利用學過的數學知識加以解決.

一、應用方程或方程組解決二氧化碳排放問題

中考數學常把方程作為命題的重點，這就要求學生要關注現實生活，了解現代社會的日常事務，能夠用方程思想審視和解決一些實際問題.運用方程或方程組解決問題的一般步驟為：一認真審清題意，分清題中的已知量與未知量;二根據所求量設出未知數，要注意統一單位;三是找出等量關系，使它能夠反映應用題的全部意義;四構造方程或者列方程組;五解方程（組）;六檢驗并寫出答案.

[例1]近幾年某地在全面推進“兩型社會”建設方面成效顯著，低碳環保、生態節能的生活方式已成為社會共識.楊先生要從某地到長沙，若乘飛機需要3h，乘汽車需要9h這兩種交通工具每小時排放的二氧化碳總量為70kg，已知飛機每小時二氧化碳的排放量比汽車多44kg.問：

（1）汽車、飛機每小時二氧化碳的排放量各是多少千克？

（2）楊先生若乘汽車來長沙，那么他此行與乘飛機相比將減少二氧化碳排放量多少千克？

解析：（1）設汽車每小時二氧化碳的排放量是x千克，飛機每小時二氧化碳的排放量是y千克，根據題意列出方程組.即

故汽車每小時二氧化碳的排放量是57千克，飛機每小時二氧化碳的排放量是13千克.

（2）利用“減少二氧化碳排放量=飛機每小時二氧化碳的排放量×乘飛機所需時間-汽車每小時二氧化碳的排放量×乘汽車所需時間”計算，即57x3-13x9=54（千克）.

評注：本題關注的熱點是“低碳生活”，通過問題向學生普及了乘飛機比乘汽車排放的二氧化碳要多得多，鼓勵人們在飛機與汽車之間選擇時，應選擇乘汽車.在解決問題的過程中，關注其中的數量關系，是解決問題的關鍵。

二、應用不等式或不等式組解決方案設計問題

在現實世界里，不僅存在相等的數量關系，也存在不相等的數量關系.如大于、小于、不等于、至少、至多等.這是因為諸多現實問題有時不容易確定其具體數值，有時也不需要確定其具體數值，但是要想對所關注的問題有一個比較清晰的認識，需要確定這些量的波動范圍，這就是不等式或不等式組所解決的問題.建立不等式或不等式組時，從題意出發，只設一個未知數，弄清問題所描述的實際情況，找出能反映應用題全部含義的不等關系.

[例2]為了改善我市職工生活環境，完善小區生活配套設施，市政府決定在“綜合整治”規劃中將200噸水泥和120噸外墻涂料運往我市的A鎮，現計劃租用甲、乙兩種貨車共8輛將這批水泥和外墻涂料全部運出，已知一輛甲種貨車可裝水泥和外墻涂料各20噸，一輛乙種貨車可裝水泥40噸和外墻涂料10噸.

（l）如果同時使用這兩種貨車，一次性送到A鎮，請設計一下運輸方案.

（2）如果甲貨車使用一次需要960元，乙貨車使用一次需要1200元，如何運輸費用最少？

解析：（1）設安排甲貨車x輛，乙貨車（8-x）輛，根據題意列出不等式組

解得4≤x≤6.又x為整數，所以x為4，5，6，有三種方案.

方案一：甲貨車4輛，乙貨車4輛.

方案二：甲貨車5輛，乙貨車3輛.

方案三：甲貨車6輛，乙貨車2輛.

（2）根據（1）得出三種方案的費用，進而比較即可.

方案-：4x960+4x1200=8640（元）.

方案二：5x960+3x1200=8400（元）.

方案三：6x960+2x1200=8160（元）.

8640>8400>8160

評注：本題考查了方案設計問題.有時解決問題的方案可能不止一種，那么到底有哪幾種方案可供選擇？在這幾種方案中，哪一種是合適的？這里的“合適”需要根據實際情況而定，有時優先考慮時間，有時優先考慮費用，有時優先考慮事情的方便，等等.此題優先考慮費用問題，把它作為方案的首選因素.

三、應用二次函數解決最大利潤問題

函數及其圖像是初中數學的重要內容，也是初中數學與高中數學銜接最好的部分.中考數學一方面考查函數的圖像與性質，另一方面考查函數在實際生活中的應用，函數的應用題常作為中考數學的壓軸題，難度相對較大，所以應把函數的應用作為數學復習的重點.解決這類問題首先要審清題意，辨析出問題對應的函數類型，嘗試用一個變量的代數式表示另一個變量，實際上就是建立函數關系式，同時，應根據題意明確自變量的取值范圍，在實際問題里，白變量的取值范圍都有一定的局限性，必須使實際問題有意義.

[例3]母親節人們常為母親送花，星星鮮花超市采購了一批鮮花，經分析上一年的銷售情況，發現該鮮花禮盒的周銷售量y（盒）是銷售單價x（元）的一次函數，已知銷售單價為70元/盒時，銷售量為160盒;銷售單價為80元/盒時，銷售量為140盒.

（1）求該周銷售量y（盒）關于銷售單價x（元）的一次函數解析式;

（2）若按去年方式銷售，已知今年該鮮花禮盒的進價是每盒50元，商家要求該周至少要賣110盒，請你幫店長算一算，要完成商家的銷售任務，銷售單價不能超過多少元？

（3）在（2）的條件下，銷售單價x為何值時，花店該周銷售鮮花禮盒獲得的利潤最大？并求出獲得的最大利潤.

解析：（l）設y關于x的函數解析式為y=kx+b，把x=70、y=160和x=80、y=140代入求出k、b的值即可.設y關于x的函數解析式為y=kX+b，

（2）由y≥ll0列出關于x的不等式，解之可得.由題意可得v≥ll0， -2x+300≥110，解得x≤95， 銷售單價不能超過95元.

（3）設銷售利潤為w元，根據“總利潤=單價利潤×銷售量”列出函數解析式，配方成頂點式，再利用二次函數的性質求解可得.即設銷售利潤為w元，

則w=（x-50）（-2x+300）=-2x2+400x-15000=-2（x-100）₂+5000.

∵-2<0，對稱軸為x=100，∴當50≤x≤95時，w隨x的增大而增大，

∴當x=95時，w取得最大值，最大值為4950.

評注：本題的銷售量與銷售單價成一次函數，銷售利潤與銷售單價成二次函數.確定一次函數關系式時采用待定系數法，確定二次函數關系式時采用列代數式的方法.二次函數中自變量的取值范圍來自一次函數，兩個函數緊密聯系在一起.一般地，求最值的實際問題，常需要建立二次函數關系式，利用二次函數最值的性質去求.

四、應用統計了解中學生的課余生活

統計數學模型比其他數學模型有著更豐富的生活背景，它的應用價值也更強，也是中考數學的熱點問題，它主要考查學生的統計思想、用樣本估計總體的思想等，另一方面也考查了學生的數學應用意識、分析處理數據的能力.

[例4]為了解某中學學生課余生活情況，包括看課外書、體育鍛煉、觀看視頻、參與社會活動，調查時抽取幾名學生，并將得到的數據進行了收集整理，并制成了條形統計圖和扇形統計圖（如圖1），根據統計圖中的數據，解答：

（1）n=____，扇形統計圖中看課外書的扇形網心角為

;

（2）請把條形統計圖補充完整;

（3）已知這所中學有學生1200個，那么這所中學喜歡看電視的有多少人？

解析：（1）根據社會實踐的學生數和所占的百分比可以求得本次調查的人數和扇形統計圖中看課外書的扇形網心角的度數.即n=5÷10%=50，扇形統計圖中看課外書的扇形網心角為360°×15/50=108°，故答案為50，108.

（2）根據（1）中n的值可以得到看電視的學生數，從而可以將條形統計圖補充完整.即：選擇看電視的學生有：50-15-20-5=10，補全的條形統計圖如圖2所示.

（3）根據統計圖中的數據可以計算出該校喜愛看電視的學生人數1200×10/50= 240（人）.

數學知識來自于生活，又高于生活，是對客觀現實的提煉與概括，是實際問題的一般形式，揭示了事物的本質特征.我們掌握了數學知識后，反過來可以應用數學知識分析現實問題，指導我們的生活，這就是數學與生活的相互聯系.在解決實際問題時，首先要分析出它對應的數學模型，是方程、不等式、函數、統計還是幾何圖形，然后應用數學模型的相關知識解答，也就將實際問題轉化為數學問題，通過數學問題的解決，從而解決實際問題.