兩體對心碰撞后物體速度范圍的確定和求解

趙文浩

(陜西師范大學物理學與信息技術學院 陜西 西安 710119;寧強縣天津高級中學 陜西 漢中 724400)

楊榮富 曹偉

(寧強縣天津高級中學 陜西 漢中 724400)

在高中物理教學中，碰撞模型是考查學生運用動量知識解決實際問題的經典模型.對于碰撞后兩物體速度范圍的確定和求解是對碰撞類問題考察的一個重要途徑，這類問題往往以選擇題的形式呈現.在處理該類問題時，通常依據物體碰撞前后動量守恒、機械能不增加和速度合理3個制約關系來排除錯誤選項[1,2].這種處理方法雖然有利于學生深刻理解碰撞前后系統動量、機械能和速度3個物理量的關系，但是判斷的計算過程過于繁雜，同時對于碰撞后兩物體的速度范圍也沒有得到實質性求解.另外文獻[3]的函數解析和文獻[4]的圖像法，雖然給出了特定條件下碰撞后物體速度范圍的求解方法，但不具有普適性，同時在求解時都面臨復雜的數學計算.下面筆者通過在兩種參考系下的碰撞過程分析給出碰撞后物體速度范圍的簡單計算方法.

1 實驗室參考系下的碰撞過程分析

如圖1所示，兩個質量為m1和m2的小球A和B分別以速度v1，v2同向運動并發生對心碰撞，碰撞后小球A和B的速度分別為v′1，v′2.

分析:根據碰撞過程中動量守恒

m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2

(1)

圖1 同向對心碰撞

(2)

(3)

v′1=vc+κm2e

(4)

v′2=vc-κm1e

(5)

根據表達式(4)、(5)，在碰撞初始條件(質量和碰撞前速度)確定的情況下，兩物體碰撞后物體速度大小取決于物體的恢復系數，并與恢復系數呈一次函數關系.當物體發生彈性碰撞(e=1)和完全非彈性碰撞(e=0)時，物體碰撞后速度取得最值；在發生非彈性碰撞時，物體碰撞后的速度介于這兩種極限碰撞的碰后速度之間，即在兩個物體發生一維對心碰撞后，物體碰撞后的速度介于彈性碰撞和完全非彈性碰撞這兩種極限碰撞的碰后速度之間.

式(4)、(5)表明，兩物體碰撞后速度只是在彈性碰撞和完全非彈性碰撞時取得最值，并非彈性碰撞后速度最大，完全非彈性碰撞后速度最小，消除了部分學生對物體碰撞后速度最值的錯誤認識.

2 質心參考系下的彈性碰撞過程分析

上文在實驗室參考系下，通過引入恢復系數求出兩體對心碰撞后速度介于彈性碰撞和完全非彈性碰撞這兩種極限碰撞的碰后速度之間.但對于彈性碰撞速度的求解過程稍顯繁雜，下文筆者在質心參考系中對物體碰撞后速度進行分析求解.

分析:小球A,B彈性碰撞過程中機械能守恒和動量守恒的表達式為

(6)

m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2

(7)

聯立式(6)和式(7)，得

(8)

(9)

m1v1+m2v2=(m1+m2)vc

(10)

則

(11)

選取質點系A，B的質心為參考點建立質心參考系，用vA，vB表示小球A，B在質心參考系中碰撞前的速度，用v′A，v′B表示小球A，B在質心參考系中碰撞后的速度，則

(12)

(13)

聯立表達式(8)、(9)和式(11)得

(14)

(15)

聯立式(12)～(15)得

v′A=-vAv′B=-vB

(16)

即

v′1-vc=-(v1-vc)

(17)

v′2-vc=-(v2-vc)

(18)

即在質心參考系中，兩個物體發生彈性對心碰撞后，各物體碰撞前和碰撞后的速度大小相等方向相反.

3 兩體對心碰撞后速度范圍的確定及求解方法

對于兩物體對心碰撞后的速度范圍，我們可以通過上文兩種參考系下的分析結果進行確定和求解.

解法一:求出兩體彈性碰撞和完全非彈性碰撞兩種極限碰撞條件下的臨界速度，然后對這兩個臨界速度取閉合區間，即為物體碰撞后速度的取值范圍.

解法二:求出兩體完全非彈性碰撞后的速度，再利用v′1-vc=-(v1-vc)和v′2-vc=-(v2-vc)即可快速求出彈性碰撞后的速度，然后對這兩種速度取閉合區間，即為物體碰后速度的取值范圍.

【例題】小球1和小球2在光滑的水平面上沿同一直線、同一方向運動，m1=1 kg，m2=2 kg,v1=6 m/s,v2=2 m/s,當小球1追上小球2并發生碰撞后，小球1和小球2速度的可能值是(取兩球碰撞前的運動方向為正)( )

A.v′1=5 m/sv′2=2.5 m/s

B.v′1=2 m/sv′2=4 m/s

C.v′1=-4 m/sv′2=7 m/s

D.v′1=7 m/sv′2=1.5 m/s

解法一:當兩小球發生彈性碰撞時

根據動量守恒得

m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2

根據機械能守恒得

則

當兩物體發生完全非彈性碰撞時

根據動量守恒得

m1v1+m2v2=(m1+m2)vc

則

解法二:當兩小球發生完全非彈性碰撞時

根據動量守恒得

m1v1+m2v2=(m1+m2)vc

則

小球1碰撞過程滿足v′1-vc=-(v1-vc)，則

小球2碰撞過程滿足v′2-vc=-(v2-vc)，則

所以選項B正確，通過這兩種方法的使用不僅能簡單快速處理該問題，還能計算出兩球的碰后速度范圍，使得物體碰后速度得到真實求解.同時在本例題中小球1發生彈性碰撞后速度取得最小值，而發生完全非彈性碰撞后速度取得最大值，充分說明在發生彈性碰撞和完全非彈性碰撞時，物體碰撞后的速度只是取得最值，并不是彈性碰撞后物體速度最大，完全非彈性碰撞后物體速度最小，有效地消除學生對碰撞后物體速度取值的錯誤認識.

4 結束語

通過在兩種參考系下的碰撞過程分析，對兩物體碰撞后的速度范圍實現界定和求解，簡化了處理過程，降低求解難度，彌補了以碰撞三要素為依據的排除法在求解這類問題中的不足.對兩體碰撞后速度范圍的真實求解，消除了學生對彈性碰撞碰后物體速度最大、完全非彈性碰撞后物體速度最小的錯誤認識，進一步加深了學生對碰撞過程的理解和認識.