磁場設(shè)置問題中“思維定式”產(chǎn)生的原因及應(yīng)對策略

林利凡

(浙江省甌海中學(xué) 浙江 溫州 325000)

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)一直是高考的熱點(diǎn)所在，而磁場設(shè)置問題更是其中的難點(diǎn).但由于學(xué)生學(xué)業(yè)水平的限制，此類題目只能是“萬變不離其宗”，因此,容易造成學(xué)生在“思維定式”作用下“死套模型”的行為.在習(xí)題練習(xí)中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)避免這類過于關(guān)注正確結(jié)果而忽視思維過程或“生搬硬套”物理模型而導(dǎo)致邏輯不清的現(xiàn)象發(fā)生，需要進(jìn)行多角度、多層次、多途徑的探索.

以下，筆者將從3類典型磁場設(shè)置問題的模型中對相關(guān)問題進(jìn)行探討.

模型一:圓形磁場發(fā)散

圖1 模型一圖

【例1】如圖2所示，在xOy平面內(nèi)有許多電子(質(zhì)量為m，電荷量為e)，從坐標(biāo)原點(diǎn)O不斷地以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限.現(xiàn)加上一個(gè)垂直于xOy平面向內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，要求這些電子穿過該磁場后都平行于x軸正方向運(yùn)動(dòng)，試求出符合該條件的磁場的最小面積(不考慮電子的重力以及電子之間的相互作用).

圖2 例1題圖

圖3 例1解析圖

因此,各電子離開磁場的出射點(diǎn)均應(yīng)位于圓弧a2上.做出沿y軸方向射出的電子的軌跡圓弧a1.使圓弧a1與圓弧a2構(gòu)成磁場區(qū)域，由幾何關(guān)系得

拓展分析:在上一種情況中，電子都直接由O點(diǎn)進(jìn)入磁場.進(jìn)一步聯(lián)想，我們還可以試著去探究電子進(jìn)入第一象限后先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的情況.

圖4 先做勻速直線運(yùn)動(dòng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)分析圖

圖5 磁場區(qū)域面積分析圖

思考:這道題目其實(shí)從正面的思考角度很難嚴(yán)密地論證得到最小面積.解析僅證明電子都由O點(diǎn)進(jìn)入磁場的情況中的最小面積.但我們還應(yīng)去思考不同運(yùn)動(dòng)情況下的磁場設(shè)置，以此來完善解答.相較而言，第二種情況通過數(shù)形結(jié)合的方法能更好地闡明情況.因此面對這類題目，我們應(yīng)當(dāng)從更嚴(yán)謹(jǐn)、更全面的角度去分析.

模型二：圓形磁場聚焦

【模型二】如圖6所示，有一個(gè)圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，從磁場邊界上以相同速度方向垂直于磁場入射的相同帶電粒子會(huì)聚焦于磁場邊界上的同一個(gè)點(diǎn).此為“磁聚焦”模型.

圖6 模型二圖

【例2】如圖7所示，ABCD是邊長為a的正方形，質(zhì)量m，電荷量為e的電子以v0的速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域.在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場.電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場.不計(jì)重力，求：(1)此勻強(qiáng)磁場區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小；(2)此勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積.

圖7 例2題圖 圖8 例2解析圖

圖9 以D為圓心，a為半徑，構(gòu)建圓形磁場

拓展分析:上面的情況中，電子先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場后再做勻速圓周運(yùn)動(dòng)聚焦于A點(diǎn).根據(jù)逆向思維，我們自然想到電子也可能先做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，再做勻速直線運(yùn)動(dòng).

首先，半徑同樣求得為a.如圖10所示，我們由A點(diǎn)在每一個(gè)電子的軌跡圓上構(gòu)造切線，使切點(diǎn)相連.由幾何方法證得，切點(diǎn)連線方程為

則使切點(diǎn)連線、C點(diǎn)入射電子軌跡圓弧a1與邊BC構(gòu)成磁場區(qū)域.在磁場中，電子入射后會(huì)偏轉(zhuǎn)至切點(diǎn)射出，后做勻速直線運(yùn)動(dòng)匯聚于A點(diǎn)，該情況同樣滿足條件.

圖10 拓展分析圖

思考:在前兩種情況中，電子的運(yùn)動(dòng)過程相反卻呈現(xiàn)出相同的結(jié)果，可見物理運(yùn)動(dòng)的對稱統(tǒng)一.

但是在分析過程中，我們還應(yīng)該把握題目要求，避免“千慮而一失”，終成大錯(cuò).比如在拓展分析的情況里，磁場區(qū)域看似滿足條件，實(shí)則并不符合題目中“都只能從A點(diǎn)射出磁場”的要求.若我們將題目改成“都只能從A點(diǎn)射出”，則分析二中的情況成立.但又是這樣一點(diǎn)改動(dòng)，會(huì)使得題目無解.

圖11 電子軌跡圓弧a1與邊BC圍成磁場區(qū)域

因此我們不能夠因?yàn)槲锢磉\(yùn)動(dòng)中存在對稱統(tǒng)一而陷入思維慣性，不能因?yàn)橛行碌陌l(fā)現(xiàn)而忘記前提要求.

模型三:組合磁場偏轉(zhuǎn)

【模型三】在前文，我們探究了“磁發(fā)散”和“磁聚焦”兩種模型.而組合使用“磁發(fā)散”和“磁聚焦”模型，可實(shí)現(xiàn)帶電粒子的對稱偏轉(zhuǎn)，即兩個(gè)模型水平設(shè)置時(shí)，同一帶電粒子的入射速度與入射點(diǎn)處切線的夾角和出射速度與出射點(diǎn)處切線的夾角相等,如圖12所示.

圖12 模型三圖

當(dāng)帶電粒子出、入射角度范圍為直角時(shí)，往往可以得到圓形磁場中的“樹葉形”磁場來實(shí)現(xiàn)發(fā)散和聚焦的功能.如圖13所示，由圓弧a1和圓弧a2組合成的“樹葉形”磁場面積

圖13 由圓弧a1和圓弧a2組合成的“樹葉形”磁場面積

【例3】如圖14所示，質(zhì)量為m,電荷量為e的電子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限內(nèi)，射入時(shí)的速度方向不同，但大小均為v0.現(xiàn)在某一區(qū)域內(nèi)加一方向向里且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，若這些電子穿過磁場后都能垂直地射到與y軸平行的熒光屏MN上，求：所加磁場范圍的最小面積.

圖14 例3題圖

圖15 例3分析圖

結(jié)合沿x軸正方向入射電子的軌跡，與沿y軸正方向入射電子的軌跡，使圓弧a1，圓弧a2和圓弧a3構(gòu)成磁場區(qū)域，如圖15所示.則可求得最小面積

拓展分析：我們可以嘗試?yán)谩按虐l(fā)散”和“磁聚焦”模型的組合來實(shí)現(xiàn)電子的對稱偏轉(zhuǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為更熟悉的樣子.

如圖16所示，構(gòu)造兩個(gè)“樹葉形”磁場區(qū)域，半徑都為r.接著再構(gòu)造圓形磁場區(qū)域，結(jié)合沿x軸正方向入射電子的軌跡與沿y軸正方向入射電子的軌跡，得到必要的磁場區(qū)域.求得組合磁場面積

圖16 組合磁場面積分析圖

延續(xù)上一種情況中的思想，我們可以繼續(xù)嘗試.

如圖17所示，構(gòu)造一個(gè)“樹葉形”磁場區(qū)域，半徑為r.接著構(gòu)造磁場區(qū)域，使從射出磁場的電子都進(jìn)行180°偏轉(zhuǎn).磁場區(qū)域等同于平移半圓時(shí)，圓周劃過的軌跡區(qū)域.求得組合磁場面積

圖17 拓展分析組合磁場面積

思考:在這道題目中，我們結(jié)合已知的模型，通過構(gòu)建組合磁場求得了真正的最小面積，可見物理模型組合的多樣性.

學(xué)生可能感到疑惑：在題目中由于電子在不同情況里在磁場中的偏轉(zhuǎn)情況相同，因此求得的面積也應(yīng)該相同，但為什么解答求得的面積卻各不相同？

事實(shí)上，在將軌跡圓弧拆分后，再重新組成的區(qū)域中，軌跡或許會(huì)有重合，又或許分離，這種軌跡組合的“緊密”程度導(dǎo)致求出不同的磁場面積.因此在考慮此類最小面積的問題時(shí)，我們還需全面分析，謹(jǐn)慎考慮.

綜上所述，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生一般容易像“解析”的情況中較武斷地進(jìn)行思考，為了得到答案而答題，忽略解題邏輯，陷入“思維定式”.

英國哲學(xué)家培根說:“如果你從肯定開始，必將以問題告終；如果你從問題開始，則終以肯定結(jié)束.”所以在習(xí)題練習(xí)中，學(xué)生應(yīng)該在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行更深一步的邏輯探索，激發(fā)求異思維和批判思維.

同時(shí)，學(xué)生要鍛煉“一題多想”的能力，多進(jìn)行類似問題的訓(xùn)練，多發(fā)現(xiàn)問題，思考總結(jié)，以此來避免“思維定式”的影響.