基于碰撞模型的斜坡滾石顆粒速度預測1)

魏新容 段紹臻,2) 孫金龍 王文達

?(蘭州理工大學土木工程學院，蘭州 730050)

? (蘭州理工大學甘肅省土木工程防災減災重點實驗室，蘭州 730050)

引言

隨著西部大發展的穩步推進，西部山區的工程結構密度與規模逐漸增大.鑒于山區地質條件較差，滑坡落石災害日益突出[1-2]，滾石災害精確預測顯得尤為重要.

滑坡滾石的運動形式主要分為4 種[3]：(1) 滾石的滑動；(2) 滾石的自由飛落；(3) 滾石的碰撞；(4)滾石的滾動.其中滾石碰撞是滑坡落石撞擊過程中最復雜、最不確定的過程，也是最基礎的工作和內容[4-5]，滾石碰撞彈跳的最大高度、最遠距離、碰后速度及沖量大小等是預估滾石災害范圍、被動防護裝置選址和優化設計的重要參數[6].

由于滾石碰撞后對周圍物體會造成巨大的沖擊從而導致事故的發生，目前對滾石--壁面沖擊力、沖擊/碰撞后滾石速度以及運動距離受到較多學者的關注[4-5,7-10].作為滾石碰撞過程中最直接的研究方法——試驗研究來說，研究者重點分析滾石碰撞過程中影響因素對滾石--壁面碰撞后速度[11-12]或對碰后與速度相關物理量的影響[13-17].然而，由于滾石尺寸較大，開展全模型試驗不僅成本高，滾石碰撞過程中不可控因素較多(如：坡角[18]、入射速度、入射角度、被撞顆粒位置[19]以及運動速度等隨機因素)等，造成試驗過程中捕捉有效信息困難.因此研究者提出利用理論模型來彌補這一不足.

滾石災害多發于斜坡，坡體既包括整體穩定的斜坡，也包括正在運動中的坡體和崩塌體等.但是已有的碰撞理論模型中大多將滾石碰撞模型簡化為質點的碰撞[20-22]或圓盤/球與靜止平板的碰撞[7,23-27]；而滾石與斜板碰撞理論模型比較少見[3].同時Pei 等[28]在研究中發現坡體表層松散滑動易誘發小型基地巖塊失穩，更容易發生滾石災害.張正雄等[29]也發現考慮滾石碰撞到運動滾石時可大大提高滾石落下的個數，且相較于單塊巖體沿靜止坡面滾下具有更大的沖擊力.也就是說運動中的坡體和崩塌體更易誘發和擴大滾石災害，其坡體和崩塌體的運動情況對滾石碰撞過程的影響不容忽視.但已有研究中關于滾石沖擊到運動中坡體的碰撞理論模型鮮見報道.因此導致了滾石碰撞理論模型預測結果與實際結果出入較大，滾石碰撞模型精準預測仍面臨著巨大挑戰.

本文針對崩塌的滾石沖擊到運動的坡體上這一自然現象，基于顆粒接觸理論[30-33]，建立滾石與斜坡碰撞過程的理論模型，得到碰撞后滾石顆粒速度的解析解，重點分析了斜坡上被碰顆粒速度和坡角對碰撞后滾石顆粒運動特性(顆粒反彈速度和角度以及反彈旋轉角速度)的概率分布的影響，給出碰后滾石顆粒反彈速度預測.

1 滾石顆粒隨機撞擊模型的建立

1.1 理論模型的選取

自然界中，崩塌的滾石顆粒帶有一定的速度沖擊到復雜地形的斜坡或者斜坡上的其他運動滾石顆粒上，入射速度和角度、碰撞位置等都是隨機的，并且斜坡滾石顆粒碰撞過程時間短、受力復雜，滾石顆粒形狀各異，使得直接建模困難較大.為描述碰撞的復雜性以及普遍性，將滾石與斜坡碰撞進行如下處理，建立等效模型.雖然滾石運動為三維運動，但滾石運動的主方向仍可近似認為是平行于入射速度平面內的二維運動[32].為簡化模型，采用已有文獻中常用的處理方法，將非規則形態的滾石顆粒碰撞簡化為二維均質圓盤之間的碰撞，且碰撞為非彈性的[32]，碰撞過程如圖1 所示，即：等效半徑RA的崩塌滾石顆粒A 以某一速度直接與斜坡(RB→∞)或斜坡上某一運動的等效半徑為RB的滾石顆粒發生碰撞，碰撞的位置為J1，其中崩塌滾石A 的入射速度大小記為VA，入射角度為θ(將與水平方向x軸所成的角度記為θ)；為了反映運動坡體對滾石碰撞過程的作用，可由坡體上被碰顆粒B 的運動情況來承載，將坡體上被碰顆粒B 在碰撞前的速度作為運動坡體的速度記為VB，坡體上被碰滾石顆粒B 與斜坡的接觸位置為J2，且VB與水平方向的夾角記為啟動角α；將顆粒A，B 質心連線與水平方向的夾角記為撞擊角β，由于斜坡地形復雜，撞擊角β 隨著地形的變化而變化；斜坡坡角設為γ.

在圖1 所示的滾石顆粒撞擊模型中，斜坡角γ、滾石A 的入射速度VA、入射角θ 和斜坡上滾石B 的運動速度以及啟動角α 均受滾石尺寸以及斜坡等因素決定且是隨機變化的，滾石顆粒A 和B 的碰撞點J1，顆粒B 與斜坡的接觸點J2也是隨機變化的，即碰撞角度β 是隨機變化的.

圖1 斜坡滾石顆粒碰撞模型Fig.1 The model of rock impacting on the slope

1.2 基本方程的建立

由上述滾石顆粒撞擊模型[32-33]以及模型假設，并且考慮滾石顆粒A 和B 撞擊的兩個階段(壓縮階段、恢復階段).

(1)對于滾石A 和B 的碰撞壓縮階段，即：從碰撞開始到碰撞壓縮量達到最大時，所遵循的力學方程如下：

顆粒A 切向方向的碰撞沖量表示為

顆粒A 法向方向的碰撞沖量表示為

顆粒A 依據沖量矩定理得到

顆粒B 的x方向的沖量為

顆粒B 的y方向的沖量為

顆粒B 依據沖量矩定理得

(2) 顆粒A 和B 碰撞完成后整個碰撞過程所遵循的力學方程如下：

顆粒A 的碰撞后切向沖量表示為

顆粒A 的碰撞后的法向沖量表示為

顆粒A 依據沖量矩定理得

顆粒B 的x方向的沖量為

顆粒B 的y方向的沖量為

顆粒B 依據沖量矩定理得

1.3 連接條件

上述模型的基本方程共12 個，但是有20 個未知量，顯然方程組不封閉，因此需要補充連接條件.

根據兩顆粒碰撞時的接觸點處的連接條件得到方程，對于兩顆粒的接觸點J1得：x方向的平衡方程

y方向的平衡方程

對于B 顆粒與地面接觸點J2得：

x方向的平衡方程

y方向的平衡方程

各個沖量之間的關系為

由于碰撞為不完全非彈性碰撞，所以本文考慮的法向、切向碰撞恢復系數，即k1,k2采用的是Xie 等[34]恢復系數公式，在此不再贅述.

2 結果分析

將方程(1)～(20)進行聯立求解，得到含有坡角γ，入射速度VA，入射角度θ，碰撞角度β，顆粒B 的速度VB以及啟動角度α 等參數的反彈顆粒速度(UAx，UAy，ωA)的解析解.

在斜坡滾石運動過程中，這些變量的取值是有物理意義以及一定范圍的，對于巖質落石來說，密度約為2500 kg/m3；根據文獻[35]的試驗選取滾石顆粒入射角度θ 范圍(20?，90?)，碰撞角度β 范圍與θ 有關[36]且β 取值范圍為(θ，θ+90?).

我們利用等間距直方圖理論[37]計算滾石顆粒反彈速度以及角度的頻率.假設樣本空間包括所有的反彈速度和角度，將其作為隨機變量X，其中隨機變量個數為n.假設a=min{X}，b=max{X}，將區間[a?ε,b+ε] 等分為m個小區間，其中ε 是小的正數，統計出落在小區間i中(i=1,2,···,m) 樣本的頻數fi，得到頻率P(xi)=fi/n.

計算過程主要分為如下幾個部分：(1)劃分入射角度θ、碰撞角度β 所在的區間，且假設上述隨機變量在區間內為等概率分布.(2)由于碰撞角度β 范圍與入射角度θ 有關，一個入射角θ 對應一個β 的區間，選取β 每個子區間中的均值代入反彈顆粒解析解中.(3) 重復過程(2)得到不同入射角θ 下每個子區間下的值作為樣本.(4)確定固定坡角下所有的樣本空間并輸出頻率.

2.1 滾石--壁面碰撞模型驗證與分析

將本模型中解析解與章廣成等[35]滾石坡面的試驗結果進行對分析.理論模型得到的反彈顆粒速度與其試驗值對比如圖2 所示，其中驗證模型中所采用的滾石試樣的物理力學性質如表1 中所示.圖2 中離散的方塊代表反彈顆粒速度的均值(實心代表試驗值，空心代表理論值)，I 代表顆粒反彈速度的方差值.從上圖中可以看出該模型的理論值均值以及方差可以涵蓋了試驗值結果，且吻合較好.

圖2 理論結果與試驗結果對比Fig.2 Comparison of theoretical results with experimental results

表1 模型計算數據與試驗數據對比Table 1 Comparison of test data and model calculation data

從圖2 可以看出，由于滾石碰撞的位置不同，即碰撞角不同，在相同的碰撞條件下，其反彈速度不是一個固定值，而是在一定范圍內變化，再次說明了滾石碰撞位置影響顆粒反彈速度，顆粒反彈速度隨撞擊位置而變化，應有一個分布范圍.因此，上述對比分析說明了該理論模型具有適用性，同時表明影響滾石--壁面碰撞過程的因素都是隨機的，且對滾石運動產生明顯影響.

2.2 坡體上被碰顆粒B 的速度VB 對反彈滾石運動特性概率分布的影響

斜坡上被碰滾石顆粒B 的速度VB反映了坡體運動的情況，已有文獻[28-29]指出坡體的運動對滾石碰撞過程的影響不容忽視.因此，下面分析VB對反彈滾石顆粒運動特性概率分布的影響.

在此，我們選取了碰撞恢復系數k1=0.63，k2=0.21[35]；據文獻[38]選取滾石顆粒的入射速度為(5 m/s，10 m/s，15 m/s，20 m/s)，同樣假設滾石入射速度在該范圍內為等概率分布，并重復上述頻率的計算過程，得到坡角為γ=55?時滾石顆粒撞擊到靜止坡面和運動坡面后，反彈速度和角度以及反彈角速度的頻率(如圖3 所示).

由圖3 可知，反彈滾石顆粒的速度和角度以及反彈旋轉角速度均服從高斯分布(y=y0+(A/e[?2(x?xc)/w]2)，坡體上被碰顆粒B 的速度對反彈顆粒線速度和角度以及反彈角速度概率分布形式定性上影響不大，但對其概率分布定量上有顯著影響，例如隨著坡面運動速度逐漸增大，反彈速度和反彈旋轉角速度的高斯分布的中心值xc呈線性增大如圖4(a)所示，其中反彈角速度的中心值影響顯著；如圖4(b)所示，反彈角度的高斯分布的中心值xc呈線性減小.即：當崩塌滾石碰撞到斜坡上其它運動滾石上時(VB0)，反彈速度和旋轉角速度均值均要高于碰撞到斜坡上其它靜止滾石上(VB=0)時的情況，坡體上被碰滾石顆粒的運動更利于滾石顆粒的反彈，且反彈后速度和旋轉角速度增大，這一結論與文獻[29]中的結論一致.也就是說在滾石災害預測中，進入下一碰撞周期時的能量增大，災害的破壞能力和范圍也更大.

圖3 VB 不同時，碰后反彈顆粒速度以及角度概率分布(VB=0，1，2，3，4，5 m/s，RA=RB=0.2 m)Fig.3 Rebound particle velocity and angular probability distribution after collision when the particle B’velocity is different(VB=0，1，2，3，4，5 m/s，RA=RB=0.2 m)

圖4 反彈顆粒速度和旋轉角速度的概率分布的中心值xc 隨坡體上顆粒B 運動情況的趨勢圖(VB=0，1，2，3，4，5 m/s，RA=RB=0.2 m)Fig.4 The variation of the center value xc of the probability distribution of the rebound velocity and angular velocity with the particles B velocity(VB=0，1，2，3，4，5 m/s，RA=RB=0.2 m)

2.3 坡角對反彈滾石運動特性概率分布的影響

何思明指出在大于45?的坡角下，更容易發生滾石災害，且調查發現，最容易發生滾石災害的坡度為55?～70?[39].因此，坡角對滾石災害的影響不容忽視.接下來進一步利用等間距直方圖理論，重復上述頻率計算過程得到了滾石與靜止床面碰撞時，不同的坡角下反彈速度、角度以及反彈角速度的頻率(如圖5 所示).

圖5 靜止坡面，不同坡角下碰后反彈顆粒速度以及旋轉角速度的概率分布(γ=10?，20?，30?，45?，55?，65?，RA=RB=0.2 m)Fig.5 Probability distribution of rebound particle velocity and rotational angular velocity on a stationary slope with different slope angles(γ=10?，20?，30?，45?，55?，65?，RA=RB=0.2 m)

圖5 靜止坡面，不同坡角下碰后反彈顆粒速度以及旋轉角速度的概率分布(續)(γ=10?，20?，30?，45?，55?，65?，RA=RB=0.2 m)Fig.5 Probability distribution of rebound particle velocity and rotational angular velocity on a stationary slope with different slope angles(γ=10?，20?，30?，45?，55?，65?，RA=RB=0.2 m)(continued)

由圖5 可知，反彈滾石顆粒速度和角度以及反彈旋轉角速度均服從高斯分布形式(y=y0+(A/())e[?2(x?xc)/w]2)，從圖5(b)中，可以看出坡角為45?時，反彈角的概率密度曲線雖然仍服從高斯分布，但是與其他角度的曲線圖趨勢有明顯不同，由圖5(b)可知，γ=45?的反彈角度概率密度相比γ=10?，γ=20?和γ=30?的反彈角度概率密度明顯增大；而當坡角大于45?時，反彈角度概率密度明顯增高，且概率密度峰值發生左移.即針對滾石反彈角度來說，坡角45?是一個臨界坡度值，這一結論與文獻[39]定性上是一致的.

坡角對反彈線速度和角度以及反彈旋轉角速度概率分布形式定性上影響不大，但對其概率分布定量上有明顯影響，由圖6 所示，隨著坡角的逐漸增大，反彈速度和角度的高斯分布的中心值xc逐漸減小，反彈旋轉角速度的高斯分布的中心值xc先增大后逐漸減小.

3 結論與討論

3.1 結論

基于上述理論分析，得出以下的初步結論：

(1)本文建立了普適的斜坡滾石碰撞模型，該碰撞模型可描述滾石與斜坡、滾石與滾石、滾石與平板，滾石與運動床面的碰撞過程.

(2) 得到了滾石碰撞后反彈滾石顆粒速度解析解，這一解析解包含了影響滾石碰撞過程的6 個隨機因素，即：坡角、坡體上被碰顆粒B 的速度和角度、入射速度和角度、撞擊角度等隨機因素.

圖6 反彈顆粒速度和旋轉角速度的概率分布的中心值xc 隨坡角變化趨勢圖(γ=10?，20?，30?，45?，55?，65?，RA=RB=0.2 m)Fig.6 The variation of the center value xc of the probability distribution of the rebound velocity and angular velocity with slope angle(γ=10?，20?，30?，45?，55?，65?，RA=RB=0.2 m)

(3)該理論模型結果顯示，反彈滾石速度和角度以及反彈旋轉角速度的概率分布均服從高斯分布形式，坡體上被碰滾石顆粒B 的速度和坡角對反彈滾石速度和角度以及反彈旋轉角速度的概率分布定性上沒有影響，但對高斯分布的中心值參數有顯著影響.

3.2 討論

該理論碰撞模型反映的是滾石--斜坡單次碰撞過程，對滾石運動演化全過程的預測存在一定的局限性，不能直觀表述滾石多次、連續的碰撞過程.但是本模型中得到的碰后速度與滾石進入下次碰撞的入射速度和能量有密切關系，且碰后速度的變化是計算滾石沖擊力、沖擊能量以及運動距離的關鍵輸入參數，可為滾石災害范圍預測以及被動防護裝置結構設計提供一定的理論依據.

另外，實際落石運動演化過程是不規則形狀滾石三維運動過程，簡化后的二維圓盤碰撞理論模型在主要運動方向上可以體現碰撞過程的運動特性，反映碰后速度變化，但是仍然會忽視了垂直于圓盤方向上的速度變化和能量耗散，并且簡化后的圓盤忽略了不規則滾石形心和質心不重合帶來的接觸點和力的作用點變化的影響，使得預測結果與實際落石速度以及運動軌跡存在一定的誤差.因此，在進一步的研究中，試圖將二維圓盤碰撞拓展為三維球體，并將滾石的不規則形狀考慮進去，使得滾石-斜坡碰撞模型更接近實際情況，進一步提高滾石-斜坡碰撞理論模型的預測精度.

附錄

RA/m:崩塌顆粒半徑

RB/m:坡體上被碰顆粒半徑

J1:顆粒A 和顆粒B 碰撞時的接觸位置

J2:坡體上被碰滾石顆粒B 與斜坡的接觸位置

VA/(m·s?1):崩塌顆粒A 的入射速度

VB/(m·s?1):顆粒B 在碰撞前的速度

α/(?):VB與水平方向的夾角

β/(?):顆粒A，B 質心連線與水平方向的夾角

γ/(?):斜坡坡角

θ/(?):崩塌顆粒A 入射時與水平方向x軸所成的角度

mA/(kg·m?3):崩塌顆粒A 的質量

mB/(kg·m?3):崩塌顆粒B 的質量

/(kg·m·s?1):顆粒A 與B 之間的切向碰撞沖量

/(kg·m·s?1):顆粒A 與B 之間的法向碰撞沖量

UAx/(m·s?1):顆粒A 在碰撞結束時質心速度的水平分量

UAy/(m·s?1):顆粒A 在碰撞結束時質心速度的垂向分量

ωA/(rad·s?1):顆粒A 在碰撞結束時角速度

UBx/(m·s?1):顆粒B 在碰撞結束時質心速度的水平分量

UBy/(m·s?1):顆粒B 在碰撞結束時質心速度的垂向分量

ωB/(rad·s?1):顆粒B 在碰撞結束時角速度

Sτ/(kg·m·s?1):顆粒A,B 接觸點處的切向碰撞沖量

Sn/(kg·m·s?1):顆粒A,B 接觸點處的法向碰撞沖量

/(kg·m·s?1):碰撞過程中壓縮變形達到最大時，斜坡作用在顆粒B 接觸點處的切向沖量

/(kg·m·s?1):碰撞過程中壓縮變形達到最大時，斜坡作用在顆粒B 接觸點處的法向沖量

S1/(kg·m·s?1):碰撞結束時B 受到斜坡的切向沖量

S2/(kg·m·s?1):碰撞結束時B 受到斜坡的法向沖量

k1:法向碰撞恢復系數

k2:切向碰撞恢復系數