基于能量密度等效的超彈性壓入模型與雙壓試驗方法1)

張希潤 蔡力勛,2) 陳 輝

?(西南交通大學力學與工程學院應用力學與結構安全四川省重點實驗室,成都 610031)

?(長沙理工大學土木與工程學院,長沙 410114)

引言

超彈性材料廣泛用于交通、建筑、機械、生物等工程領域,特別常用于結構的減震、密封等方面,其選材、工藝評價、老化分析都離不開表征材料基本性能的本構關系.超彈性材料的本構關系通常采用應變能密度與主伸長比之間的函數關系來描述[1-3].

1940 年代初,Treloar[4-5]通過構造三鏈分子網絡模型,提出了表征應變能密度的Neo-Hookean 模型,該模型對橡膠拉伸應力?伸長比曲線的初始線性段有較為準確的描述,而因采用單參數,模型對曲線后繼非線性段描述性較差.1940 年,Mooney[6]考慮代表性體積單元(representative volume element,RVE).RVE是連續介質力學的基本六面體單元,只要取合適的尺寸,就能用以求解受載構元的宏觀力學行為)應變能密度與3 個主伸長比λi(i=1,2,3)之間的對稱關系,提出了雙參數超彈性材料本構關系.1948 年,Rivlin[7]利用材料RVE 變形張量不變量,根據材料體積不可壓縮性,令第三不變量=1,則Mooney 本構方程可簡化為連續介質力學框架下關于第一不變量I1和第二不變量I2的雙參數方程形式

式中,C10和C01為材料參數,εi為主應變,該式稱為Mooney-Rivlin 超彈性材料本構模型,該模型可較好描述小變形和中等程度大變形的超彈性本構關系,是迄今描述各向同性超彈性材料本構關系較為常用的模型.此外,Rivlin 為了拓展描述全程本構關系,還進一步提出了多參數的級數式本構模型.

材料壓入試驗法(壓入法)是通過載荷或位移控制將壓頭壓入材料并測得壓入載荷P-壓入深度h關系來獲取材料力學性能指標的方法[8].壓入法測試金屬材料力學性能的方法主要包括:(1)Haggag[9-10]提出、Kwon[11]改進的多級加卸載自動球形壓頭壓入(球壓入) 方法,該方法對球壓區平均應力進行表征修正獲得壓入試驗過程中的多級表征應力σr和表征應變εr,通過這些數據可以回歸獲得Hollomon律參數; (2) Cao 等[12]提出的基于量綱分析和表征應力的半經驗法,該方法通過量綱分析建立σr,h,P構成的無量綱項和比值σr/E?(折減彈性模量) 之間關系的描述模型,該模型含有大量模型參數,須通過復雜流程方式迭代得到Hollomon 律參數; (3) Clyen等[13]提出的本構關系參數反向預測法,該方法基于大量材料本構關系參數關聯的P-h壓入曲線的FEA庫與P-h壓入試驗曲線的相關性優化搜索以實現材料應力?應變關系的近似求解; (4)Cai 等[14-16]提出的半解析球壓入方法,該方法根據能量密度中值原理獲得的半解析壓入模型和單球壓入試驗方法,通過金屬宏觀表面的P-h單級壓入曲線實現了材料應力?應變關系、抗拉強度及布氏、洛氏、維氏硬度的儀器化測試.

對于超彈性材料,壓入法測試材料力學性能的方法大多基于量綱分析法與搜索法.Zhang 等[17]采用與上述金屬壓入相似的量綱分析方法[12],對4 種廣泛使用的超彈性材料本構模型,建立μ0(初始剪切模量)、R(壓頭半徑)、h和P構成的無量綱項與本構模型參數、h和R構成的無量綱項之間的4 類關系模型,包含大量參數的這4 類模型均屬于半經驗性質,文獻認為可通過試驗獲得與4 類模型參數相關的回歸參量,并未通過球壓入實現本構關系的反向求解.Pan 等[18]主要結合多級應變能密度函數的Ogden 超彈性本構模型,通過對球、平面、錐3 類壓頭壓入(球壓入、平面壓入、錐壓入)問題進行量綱分析,證明了單類單壓頭無法獨立實現多參數超彈性本構模型的參數求解,同時證明了單類單壓頭可實現單參數超彈性本構模型求解的唯一性,但作者未給出超彈性壓入問題的具體求解方法.Giannakopoulos 等[19]基于Mooney-Rivlin 模型獲得了球壓入比值h/R小于0.1 情況下P-h壓入曲線的解析解,并未由此獲得本構關系,Giannakopoulos 認為通過單球壓入不能唯一性獲得本構模型參數.Chen 等[20]對一種硅橡膠進行球壓入試驗,利用Oliver 和Pharr 法[21]獲得材料的彈性模量,并對Neo-Hookean、Mooney-Rivlin、Yeoh三類超彈性本構模型,通過調整模型參數進行P-h壓入曲線的有限元分析,以此逐漸逼近P-h壓入試驗曲線,進而反向求解獲得本構模型參數.Saux 等[22]采用半錐角70.3?的圓錐形壓頭對天然橡膠完成錐壓入試驗,并設定材料參數初值后進行了有限元計算,將有限元計算結果與P-h壓入曲線之間的誤差作為目標進行基于最小二乘法的迭代計算,取兩者誤差最小時所設定的材料參數為本構模型的參數.Lee 等[23]以Yeoh 模型作為橡膠的本構模型,將P-h球壓入試驗曲線映射為應變能密度與I1關系曲線,以該曲線確定模型參數,并與給定初值進行比較,誤差最小時即為模型參數.Song 等[24]對不同參數的Yeoh 模型進行球壓入有限元模擬,建立了壓入載荷?位移曲線數據庫,并采用與Yeoh 模型參數相關的三次多項式對載荷?位移曲線回歸分析得到本構模型參數.

關于超彈性材料的壓入法多屬于經驗或半經驗性質,至今尚無公認的、得到大量試驗驗證的成熟方法.本文基于能量密度中值等效原理[25-26],提出描述P、h和Mooney-Rivlin 模型參數之間關系的半解析超彈性壓入模型并進行有限元正反向驗證,進而提出用于測試超彈性材料本構關系的壓入試驗方法,并對3 種橡膠材料進行壓入試驗,將壓入試驗獲得的本構關系結果與拉伸試驗結果進行比對驗證.

1 半解析超彈性壓入模型SHIM

1.1 Mooney-Rivlin 模型的應力應變形式

在復雜應力應變條件下,超彈性材料的應力應變關系由第二Piola-Kirchhoff 應力σij和Green 應變εi j來表示為

式中I1,I2,I3為變形張量的3 個不變量.對于各向同性、不可壓縮超彈性材料,=1,根據第二Piola-Kirchhoff 應力與Cauchy 應力之間關系[27-28],可得主應力τi與主伸長比λi之間的關系為

式中,P為靜水壓力.由于主伸長比λi與主應變εi指數關聯,故式(3)表征了RVE 的應力?應變關系.

對于Mooney-Rivlin 超彈性材料本構模型,式(4) 可寫為

由真應力τ 與工程應力σg關系:τ=λσg,令λ1=λ,τ1=τ,則由式(5)可得

式中,λ=eε通過單軸拉伸試驗獲取被測材料的σg–λ曲線,將σg/[2(λ ?λ2)]作為縱坐標,λ?1作為橫坐標做出兩者關系曲線并進行線性回歸,則截距和斜率分別為Mooney-Rivlin 模型的兩個參數:C10和C01.

1.2 基于能量密度等效方法的半解析壓入模型

由積分中值定理,受載固體的有效變形域? 內必存在一點M,在M處RVE 的應變能密度uM與?域的平均應變能密度相等,即

式中,U為變形域的總應變能,Veff為有效變形域體積,則按Mooney-Rivlin 模型,M點處RVE 的應變能密度表為

由式(7)和式(8)可得

以特征體積D3使上式有效體積無量綱化,則上式可化為

式中,特征長度D在球壓入時取為壓頭直徑,平面壓入時取為圓柱壓頭直徑,錐壓入時D取為特征壓入深度hc.假設無量綱變形量f1,f2與無量綱位移h/D之間滿足冪律關系,即

且假設變形系數k1,k2及變形指數k0均為與壓入的壓頭類型相關但與材料無關的常數.將f1,f2的表達式代入式(10)可得

對于壓入問題,由能量守恒可得

式中W為外力功.結合式(12)和式(13),以h對U求導,并無量綱化,可得P與h的關系

式中加載指數k0為與加載方式相關、與材料無關的常數,加載系數C為與材料和加載方式相關的常數.該式稱為半解析超彈性壓入模型SHIM (semitheoretical hyperelastic-material indentation model).

基于式(14),由單壓頭的P-h壓入曲線可回歸得到加載系數C,Mooney-Rivlin 模型的雙參數C10和C01僅由獨立的C值無法求解.須根據兩種不同類型壓頭的P-h壓入曲線通過以下兩式

實現Mooney-Rivlin 模型的雙參數C10和C01求解.式(15)中C與C′分別對應兩種壓頭的P-h壓入曲線的加載系數.

1.3 k0, k1, k2 的有限元確定方法

冪律方程式(11)的系數k1,k2和指數k0均為與壓頭類型相關的常數,可通過FEA 確定.由于式(14)為無量綱方程,故針對球壓頭、圓柱平面壓頭可選擇特定壓頭尺寸以及針對錐壓頭選擇特定角度進行壓入變形分析.選定球壓頭、圓柱平面壓頭直徑均為2 mm,以及特征壓入深度hc為0.8 mm 時半錐角分別為53?,60?,65?,70.3?,75?錐壓頭進行有限元分析確定k0,k1,k2.

假設受壓試樣的材料本構關系符合 Mooney-Rivlin 模型律,應用有限元分析軟件Ansys14.5 對如圖2 所示的球、平面、錐壓入的軸對稱網格模型完成有限元計算.Mooney-Rivlin 模型參數C10和C01取值分別滿足C10∈(0.01,2)MPa 和C01∈(0.1,2)MPa,網格模型采用Plane 182 平面單元,試樣的受壓接觸面使用Contact 172 接觸單元,并在接觸區域采用高密度網格,而在離接觸區域稍遠處用較低密度網格.

圖1 有限元軸對稱模型Fig.1 The axisymmetric FEA indentation model

對符合C10∈(0.01,2) MPa 的C10分別取0.01,0.1,0.5,1,1.5,2 MPa 及符合C01∈(0.1,2) MPa 的C01分別取0.1,0.5,1,1.5,2 MPa,共計30 種材料進行FEA 計算得到3 類壓入下的P-h壓入曲線,通過式(14)分別確定C,得到球、平面、錐3 類壓入下的3 組方程,進而通過簡單回歸可得到球、平面壓入下SHIM 參數k0,k1和k2如表1 所示,特征壓入深度hc為0.8 mm 時不同角度錐壓入下SHIM 參數k0,k1和k2如表2 所示.

表1 球壓入與平面壓入下SHIM 參數Table 1 Parameters of SHIM for spherical and flat indentation

表2 錐壓入下SHIM 參數Table 2 Parameters of SHIM for conical indentation

由表1 可見,k0是規則的常數,特別在平面壓入下k0=2,即P-h壓入曲線呈線性; 對于球壓入及平面壓入,SHIM 參數與直徑無關.

由表2,對于錐壓入,不同半錐角下SHIM 變形系數k1,k2不同,但變形指數k0均為3,即錐壓入P-h關系符合拋物律.圖2 表明,k1,k2與半錐角余弦值cosθ 關系之間符合冪律

式中,系數β11,β21和指數β12,β22由表3 給出.

圖2 變形系數k1,k2 隨cosθ 的變化曲線Fig.2 Variations of deformation coefficient k1,k2 with cosθ

表3 變形系數kTable 3 Deformation coefficient k

2 有限元驗證

2.1 向驗證:壓入載荷?深度關系比對

對1.3 節計算中采用的30 種材料本構關系參數,可通過SHIM 預測得到材料分別在3 類壓頭壓入下的P-h壓入曲線,圖3 示出了SHIM 預測的P/P*-h/D壓入曲線與FEA 分析曲線,可見30 種材料條件下兩者之間密切吻合,SHIM 有很好的P-h壓入曲線預測精度,并有很強的材料普適性.

圖3 預測P-h 壓入曲線與FEA 結果比較Fig.3 Comparisons of predicted P-h indentation curves and those from FEA

2.2 反向驗證:應力?伸長比關系比對

對1.3 節的30 種材料FEA 分析得到的球、平面、錐壓入下P-h壓入曲線,通過3 類壓頭兩兩組合壓入的方式,由式(15)分別得到3 組加載系數:C,C′,進而可分別求得3 組Mooney-Rivlin 模型參數:C10,C01,再根據式(6) 分別得到3 組本構關系曲線(應力?伸長比曲線).圖4 示出了預測的3 組本構關系曲線與FEA 條件曲線,可見30 種材料條件下各類預測曲線之間、與FEA 條件曲線之間均密切吻合,SHIM 有很好的單軸本構關系預測精度.

圖4 預測應力?伸長比關系與FEA 結果比較Fig.4 Comparisons of predicted stress-stretch ratio curves and the FEA results

3 試驗方法與驗證

3.1 拉伸與壓入條件

對天然橡膠(NR)、氯丁橡膠(CR)、丁基橡膠(IIR) 進行單軸拉伸試驗并進行球、平面、錐壓入試驗.

基于國家標準GB/T 528—2009[29]對3 種橡膠材料進行單軸拉伸試驗如圖5 所示,采用標準裁刀將購置的2 mm 厚橡膠板加工成標準啞鈴狀試樣,采用CARE 原位雙向拉壓試驗機以2 mm/s 加載速率完成單軸拉伸試驗.

圖5 單軸拉伸試驗裝置Fig.5 Uniaxial tension test equipment

采用圖 6 所示的 IMTSC型壓入儀完成壓入試驗,壓頭分別選取直徑 2 mm 球形及圓柱形平面壓頭和半錐角 70.3?錐形壓頭,試樣尺寸40 mm×40 mm×30 mm,試驗加載速率為3μm/s[30],3 類壓頭的最大壓入深度h均為0.8 mm,每種材料試樣進行兩次單壓頭壓入試驗.

圖6 壓入試驗裝置Fig.6 Indentation test equipment

3.2 雙壓試驗方法與試驗比對

由式(14),對球、平面、錐單壓頭壓入下的P-h試驗曲線進行回歸可得加載系數CS、CC、CF,進而可得它們關于Mooney-Rivlin 模型雙參數C10和C01的表達式

對式(17) 中3 個方程任意兩兩組合,即可求解C10和C01; 此外,不同半錐角條件下也可形成兩組獨立的加載系數求解方程.由球、平面、錐單壓頭壓入兩兩組合及不同半錐角下的錐?錐壓頭壓入下獲取Mooney-Rivlin 模型參數的試驗方法統稱為雙壓試驗方法(indentation method due to dual indenters,IMDI).此外,不同直徑的雙球壓頭壓入或雙圓柱平面壓頭壓入因k1,k2不隨壓頭直徑變化的自相似性,而不能采用同類壓頭壓入配對方式獲得材料本構關系.

圖7 給出了3 種材料的單軸拉伸載荷P-位移l試驗曲線,由單軸拉伸條件下伸長比λ 和應力σ 的定義

可求出拉伸過程中λ 和σ 的試驗數據.式(18)中l0為試樣原長,l為拉伸試樣等直段位移.圖8 給出了應力?伸長比曲線.

圖7 單軸拉伸載荷?位移曲線Fig.7 Uniaxial tension load-displacement curve

圖8 單軸應力?伸長比曲線Fig.8 Uniaxial stress-stretch ratio curve

圖9 壓入載荷?深度曲線Fig.9 Indentation load-depth curve

圖9 示出了球、平面、錐壓頭獨立壓入試驗下3 種材料的P-h壓入試驗曲線,對獲得的P-h壓入試驗曲線進行冪律回歸,為消除系統誤差,平移P-h壓入試驗曲線,直至回歸的P-h壓入試驗曲線的指數k0與表1 或表2 中的k0相同.針對P/P??h/D試驗曲線,球壓入時選h/D∈[0.15,0.4]數據段、平面壓入時選h/D∈[0.1,0.4] 數據段、錐壓入時選h/D∈[0.15,0.4]數據段進行回歸分別得到加載系數CS,CF,CC.

圖10 給出了使用雙壓試驗方法IMDI 對球、平面、錐壓入兩兩結合預測的材料本構關系及單軸拉伸試驗結果,可見IMDI 預測超彈性材料本構關系之間及與單軸拉伸試驗結果之間均吻合良好.

圖10 預測應力?伸長比關系曲線與單軸拉伸結果對比Fig.10 Comparison between predicted stress-stretch ratio curve with the uniaxial tensile results

4 結論

(1)基于能量密度等效原理,提出了球、平面、錐3 類壓頭獨立壓入條件下,描述載荷、深度、Mooney-Rivlin 關系參數、幾何尺寸之間關系的壓入模型SHIM,SHIM 正向預測的P/P??h/D壓入曲線與FEA分析曲線之間密切吻合;球、平面、錐壓頭兩兩組合壓入下SHIM 反向預測的3 組本構關系曲線之間及與FEA 條件本構關系曲線之間均密切吻合.

(2) 提出了由球、平面、錐單壓頭兩兩組合壓入下及具有不同半錐角的雙錐壓頭壓入下獲取Mooney-Rivlin 模型參數的雙壓試驗方法.

(3) 對3 種橡膠材料分別進行單軸拉伸試驗及球、平面、錐壓入試驗,結果表明,通過雙壓試驗方法預測得到的本構關系曲線均與單軸拉伸試驗結果具有良好的一致性.