基于實(shí)測(cè)影響線的大跨度橋梁有限元模型修正

肖 祥, 趙 曼, 陳 一, 陳 波

(1.武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，湖北 武漢 430067；2.武漢理工大學(xué) 道路橋梁與結(jié)構(gòu)工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430070)

0 引 言

近年來,隨著大跨度橋梁數(shù)量的增加,如何方便準(zhǔn)確地檢測(cè)大跨度橋梁的實(shí)際工作狀態(tài),以保證橋梁服役階段的安全性成了工程界較為關(guān)注的問題[1]。可靠的橋梁評(píng)估需要依靠大量而準(zhǔn)確的橋梁實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)以及精確反映橋梁結(jié)構(gòu)的模型來展開[2], Asadollahi 等[3]提出的基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的有限元模型更新與評(píng)估結(jié)果表明,更新后的有限元模型可以成功地高精度預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)特性。Wang等[4]采用多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)對(duì)大跨度斜拉橋模型進(jìn)行了多尺度修正研究。以上研究都是通過橋梁實(shí)測(cè)模態(tài)進(jìn)行模型修正研究,然而橋梁實(shí)測(cè)模態(tài)不能準(zhǔn)確反應(yīng)橋梁的局部信息，只能體現(xiàn)橋梁結(jié)構(gòu)的整體特性。鑒于此,本文提出了基于實(shí)測(cè)位移、應(yīng)力影響線和頻率的大跨度橋梁多尺度有限元模型修正方法。

1 基于影響線模型修正的合理性及其優(yōu)點(diǎn)

1.1 基于頻率和模態(tài)振型的傳統(tǒng)模型修正方法的缺陷

有限元模型的修正過程主要包含三個(gè)步驟:

(1) 選擇合理數(shù)量的模型參數(shù)作為模型修正中的調(diào)整參數(shù)。

(2) 制定模型修正中的目標(biāo)函數(shù)及其相應(yīng)約束條件。

(3) 采用合理的優(yōu)化算法求解最優(yōu)模型參數(shù)值,以使修正模型計(jì)算值與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)之間的差異最小化。

結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)(如模態(tài)頻率和振型)是模型修正中最為廣泛采用的實(shí)測(cè)依據(jù),相對(duì)而言頻率較容易實(shí)測(cè)得到,它的靈敏度系數(shù)與結(jié)構(gòu)剛度、質(zhì)量矩陣之間有著如下關(guān)系[5]:

(1)

(2)

(3)

從式(1)(2)可以看出,剛度參數(shù)和質(zhì)量參數(shù)的改變都會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)頻率的變化。從式(3)可以看出,當(dāng)結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量以同樣的比例變化時(shí),結(jié)構(gòu)的頻率將不會(huì)發(fā)生變化。因此,基于結(jié)構(gòu)頻率和模態(tài)振型的傳統(tǒng)模型修正方法沒有考慮結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度之間的比例因子,當(dāng)模型質(zhì)量參數(shù)設(shè)置不合理時(shí),通過剛度參數(shù)對(duì)模型進(jìn)行修正得到的修正結(jié)果不能作為評(píng)價(jià)橋梁安全性的參照標(biāo)準(zhǔn)。

1.2 位移影響線與結(jié)構(gòu)模態(tài)振型之間的關(guān)系

對(duì)于一個(gè)n自由度的橋梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng),假定單位力在自由度i1到il之間移動(dòng),移動(dòng)單位力可表示為:

…

(4)

式中:ik(k=1～l)為移動(dòng)單位力作用處的自由度編號(hào)。

橋梁結(jié)構(gòu)在每一個(gè)單位力向量Pk(k=1～l)作用下的位移可由下式計(jì)算:

Yk=FPk

(5)

式中:Ykn×1為位移向量;Fn×n為橋梁結(jié)構(gòu)的柔度矩陣;n為橋梁結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)量。

在單位力Pk作用下，結(jié)構(gòu)第j個(gè)自由度的位移Yjk可表示為Yk的第j個(gè)元素,可計(jì)算為Yjk=FjPk,實(shí)測(cè)位移Yjk就是柔度系數(shù)fjk;第j個(gè)自由度的位移影響線向量YjIL可以由所有的單位力向量Pk產(chǎn)生的位移Yjk(k=1～l)組集得到:

(6)

從式(4)～(6)可以發(fā)現(xiàn)位移影響線向量YjIL本質(zhì)上就是柔度矩陣的一個(gè)子矩陣。

理論上,如果移動(dòng)單位力在橋梁結(jié)構(gòu)所有自由度上移動(dòng),且所有自由位移影響線均被測(cè)量時(shí),結(jié)構(gòu)的整個(gè)柔度矩陣F可以被測(cè)得,柔度矩陣F與模態(tài)頻率ω和振型φ之間的關(guān)系可表達(dá)成如下形式[6]:

(7)

1.3 應(yīng)變影響線與結(jié)構(gòu)模態(tài)振型之間的關(guān)系

單位力向量Pk(k=1～l)作用下的位移向量Ykn×1與應(yīng)變向量εkm×1可以通過如下線性關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換[7]:

εk=TεYk=TεFPk=FεPk

(8)

相應(yīng)的應(yīng)變影響線向量εjIL由所有的單位力向量Pk產(chǎn)生的應(yīng)變?chǔ)舑k(k=1～l)組集得到:

(9)

很明顯應(yīng)變影響線向量εjIL本質(zhì)上就是應(yīng)變?nèi)岫染仃嚨囊粋€(gè)子矩陣。

1.4 位移和應(yīng)力影響線的實(shí)測(cè)

在橋梁通車動(dòng)載實(shí)驗(yàn)中,假定一輛試驗(yàn)卡車,或有著固定間距的幾輛試驗(yàn)卡車，引起的橋梁j測(cè)點(diǎn)位移響應(yīng)時(shí)程為Rj(t),它與該點(diǎn)位移影響線之間的關(guān)系如下:

Rj(t)=Ψ(x)YjIL

(10)

(11)

式中:x=vt為第一輛車前軸的位置;v為車輛運(yùn)行速度;pj為車隊(duì)中第j個(gè)軸的軸重;N為所有車輛的總軸數(shù);ζij(x)為第i個(gè)測(cè)點(diǎn)位置處第j個(gè)軸重的插值函數(shù)。

當(dāng)實(shí)測(cè)得到位移時(shí)間序列Rj(k·dt)后(k=1～T,T為采樣總數(shù),dt=1/f,f為采樣頻率),位移影響線可由下式計(jì)算：

(12)

類似地,結(jié)構(gòu)應(yīng)力影響線也可由車輛荷載作用下結(jié)構(gòu)應(yīng)力時(shí)程得到。從式(10)～(12)可以發(fā)現(xiàn),在車輛軸重、軸距、車速和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)采樣頻率確定后,影響線與實(shí)測(cè)時(shí)程數(shù)據(jù)是線性的比例關(guān)系。進(jìn)一步分析可以得出移動(dòng)車隊(duì)作用下的影響線與單位力作用下的影響線也是線性關(guān)系。

2 基于影響線和頻率的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)及約束方程

通過實(shí)測(cè)頻率定義的目標(biāo)函數(shù)如下:

(13)

式中:ωai為計(jì)算實(shí)測(cè)頻率;ωti為實(shí)測(cè)頻率;i為模態(tài)階數(shù)。

如前所述,每個(gè)位移或應(yīng)變影響線均是柔度矩陣或應(yīng)變?nèi)岫染仃嚨囊徊糠?它們可以取代模態(tài)振型或應(yīng)變模態(tài)振型,為大跨度橋梁的模型修正提供一個(gè)新的指標(biāo)。定義指標(biāo)ΓDi和ΓSi分別作為位移和應(yīng)力影響線的目標(biāo)函數(shù),具體如下:

(14)

(15)

式中:YAi為計(jì)算位移影響線;YTi為實(shí)測(cè)位移影響線;εAi為計(jì)算應(yīng)力影響線和εTi為實(shí)測(cè)應(yīng)力影響線;YAi,peak為計(jì)算位移影響線的最大值;YTi,peak為實(shí)測(cè)位移影響線的最大值;εAi,peak為計(jì)算應(yīng)力影響線的峰值;εTi,peak為實(shí)測(cè)應(yīng)力影響線的峰值;DACi為位移影響線形狀的置信度指標(biāo)(類似于模態(tài)振型的MAC值)；SACi為應(yīng)力影響線形狀的置信度指標(biāo)(類似于模態(tài)振型的MAC值),DNOi表示計(jì)算和實(shí)測(cè)位移影響線峰值的相對(duì)誤差指標(biāo);SNOi表示計(jì)算和實(shí)測(cè)應(yīng)力影響線峰值的相對(duì)誤差指標(biāo);a0為影響線形狀的權(quán)重因子;b0為幅值的權(quán)重因子。

由以上分析可知,通過橋梁結(jié)構(gòu)的頻率和位移影響線定義的目標(biāo)函數(shù)反應(yīng)了與橋梁模型整體性能相關(guān)的參數(shù)修正,通過應(yīng)力影響線定義的目標(biāo)函數(shù)反應(yīng)了與橋梁模型局部性能相關(guān)的參數(shù)修正,要實(shí)現(xiàn)橋梁模型多尺度修正可以通過橋梁結(jié)構(gòu)的頻率、位移影響線和應(yīng)力影響線的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建總體目標(biāo)函數(shù)G(r)。由于這三類目標(biāo)函數(shù)有著不同尺度和物理含義,分別采用了不同的加權(quán)因子加權(quán),得到的總體優(yōu)化目標(biāo)為[8]:

min[G(r)]=min(α1G1+α2G2+α3G3)

(16)

式中:α1、α2、α3分別表示加權(quán)因子,且α1+α2+α3=1,G1、G2和G3具體如下:

(17)

式中：m為實(shí)測(cè)頻率的數(shù)量;l為位移影響線的數(shù)量;k為應(yīng)力影響線的數(shù)量。式(16)(17)中三類目標(biāo)函數(shù)ΓFi,ΓDj和ΓSj應(yīng)限制在容許的誤差區(qū)間內(nèi)[9]:

ΓFi<Δf,ΓDj<Δd,ΓSj<Δε

(18)

式中:Δf,Δd和Δε為這三種指標(biāo)的偏差限值。

在初步選定一定數(shù)量的結(jié)構(gòu)模型參數(shù)后,須對(duì)參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析,最終選定靈敏度較大的前np個(gè)參數(shù),并且為保證模型修正過程中每個(gè)參數(shù)的實(shí)際物理意義,模型參數(shù)須限制在一定的合理區(qū)間內(nèi):

(19)

通過橋梁結(jié)構(gòu)的頻率、位移影響線和應(yīng)力影響線的目標(biāo)函數(shù)與其相應(yīng)的約束方程共同構(gòu)成了有限元模型修正的優(yōu)化模型:

(20)

3 大跨度橋梁有限元模型修正方法研究

3.1 工程簡(jiǎn)介及橋梁試驗(yàn)

本文以一座大跨度鋼混結(jié)合斜拉橋?yàn)楸尘?進(jìn)行多尺度有限元模型修正分析,橋梁跨徑布置為(300+1008+300)m,在橋梁不同位置分別安裝8個(gè)GPS位移檢測(cè)系統(tǒng),如圖1所示，用于監(jiān)測(cè)主塔縱向位移和主梁豎向位移。同時(shí)，由于傳感器數(shù)量的限制,橋梁健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)不能識(shí)別到完整的橋梁模態(tài)振型,只能識(shí)別橋梁的各階頻率(表1)。

圖1 GPS位移測(cè)試系

表1 結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率

3.2 多尺度模型修正

本文選擇4個(gè)質(zhì)量相關(guān)的模型參數(shù)、9個(gè)剛度相關(guān)的模型參數(shù)一共13個(gè)模型參數(shù)(r={ri},i=1～13)作為模型修正中的調(diào)整參數(shù),具體詳見表2。

表2 修正的模型參數(shù)

本文所提橋梁有限元模型修正方法的關(guān)鍵在于選定合理的加權(quán)因子,通過遺傳算法求解公式(16)的最優(yōu)解,式(16)(17)中三類目標(biāo)函數(shù)的偏差限值分別取為Δf=Δε=Δd=0.2,模型參數(shù)的偏差限值均取為Δr=0.2。影響線形狀和峰值權(quán)重因子 [式(14)和(15)]分別取為a0=0.5,b0=0.5,三類目標(biāo)函數(shù)權(quán)重因子分別取為α1=0.3,α2=0.35和α3=0.35。模型修正中僅采用了部分實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),其他均作為驗(yàn)證分析數(shù)據(jù)。

初始有限元模型修正前后模型的前6階頻率對(duì)比見表1,圖2和圖3分別為模型修正前后橋梁模型的整體位移和局部應(yīng)力影響線與實(shí)測(cè)值的對(duì)比圖。

圖2 位移影響線修正結(jié)果比較

圖3 應(yīng)力影響線修正結(jié)果比較

由圖2和圖3中可以看出，修正模型的位移和應(yīng)力值與實(shí)測(cè)值較為接近,而初始模型的位移和應(yīng)力計(jì)算值與實(shí)測(cè)值和修正值差距顯著,表明該修正方法對(duì)橋梁多尺度響應(yīng)均有較好的修正效果。

為進(jìn)一步驗(yàn)證模型修正結(jié)果的合理性,對(duì)4階實(shí)測(cè)頻率、4個(gè)實(shí)測(cè)位移影響線和11個(gè)實(shí)測(cè)應(yīng)力影響線與修正模型進(jìn)行比較分析。實(shí)測(cè)和計(jì)算影響線如圖4和圖5所示,修正參數(shù)變化見表3。

圖4 位移影響線修正結(jié)果驗(yàn)證

圖5 應(yīng)力影響線修正結(jié)果驗(yàn)證

表3 修正的模型參數(shù)

從圖4、圖5和表3可以發(fā)現(xiàn),盡管這些實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)沒有用來作為模型修正的依據(jù),但從對(duì)比結(jié)果可以看出,修正模型的計(jì)算數(shù)據(jù)相較于初始模型更接近實(shí)測(cè)結(jié)果,只考慮頻率的模型修正方法不能滿足多尺度的有限元模型修正要求。相比之下,本文方法能有效地提高整體位移和局部應(yīng)力的分析精度,可滿足多尺度模型修正的要求。

4 結(jié) 論

本文首先論述了傳統(tǒng)模型修正方法的缺陷,說明了橋梁位移影響線、應(yīng)變影響線與結(jié)構(gòu)模態(tài)振型之間的關(guān)系,提出了一種基于橋梁實(shí)測(cè)位移、應(yīng)力影響線的大跨度橋梁多尺度有限元模型修正方法,最后以一座大跨度鋼混結(jié)合斜拉橋?yàn)楸尘皩?duì)本文所提方法進(jìn)行了驗(yàn)證,得到以下結(jié)論:

(1)通過傳統(tǒng)有限元模型修正得到的初始修正模型預(yù)測(cè)的靜態(tài)位移和應(yīng)力與實(shí)測(cè)值差異較大,而基于頻率和影響線對(duì)大跨度橋梁模型進(jìn)行多尺度模型修正得到的修正模型計(jì)算數(shù)據(jù)相較于初始模型更接近實(shí)測(cè)結(jié)果。

(2)對(duì)于沒有用來作為模型修正依據(jù)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),修正模型結(jié)果依舊比初始修正模型精度要高,因此本文所提方法可以有效地提高整體位移和局部應(yīng)力的分析精度,滿足多尺度模型修正的要求。