非實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下完成拉伸法測(cè)金屬絲的楊氏模量

李永治,侯小娟，李林風(fēng)，李麗榮，陳 華

(內(nèi)蒙古科技大學(xué) 理學(xué)院, 內(nèi)蒙古 包頭 014010)

用拉伸法測(cè)金屬絲的楊氏模量是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的經(jīng)典內(nèi)容，通過(guò)該實(shí)驗(yàn)可以使學(xué)生全面學(xué)習(xí)長(zhǎng)度測(cè)量基本工具的使用，同時(shí)利用光杠桿放大法使學(xué)生學(xué)會(huì)微小伸長(zhǎng)量測(cè)量的設(shè)計(jì)，以及運(yùn)用誤差均分法設(shè)計(jì)物理量的測(cè)量方案. 針對(duì)楊氏模量測(cè)量的實(shí)驗(yàn)研究很多，有將縱向拉伸改成橫向進(jìn)行測(cè)量[1]，或?qū)⒓す馄饕牍飧軛U[2-3]，將智能手機(jī)APP測(cè)量楊氏模量[4]以及其他非光杠桿法的測(cè)量[5-7]. 也有利用居家材料搭建實(shí)驗(yàn)裝置，在實(shí)驗(yàn)室之外實(shí)現(xiàn)楊氏模量的測(cè)量，既可完成教學(xué)任務(wù)，又能有效提高學(xué)生實(shí)驗(yàn)技能和動(dòng)手能力，更重要的是啟發(fā)學(xué)生在設(shè)備有限的情況下采用合理的方法完成測(cè)量任務(wù)并保證實(shí)驗(yàn)精度.

1 實(shí)驗(yàn)原理

物體在外力作用下，總會(huì)發(fā)生形變. 當(dāng)形變不超過(guò)某一限度時(shí)，外力消失后，形變隨之消失，這種形變稱(chēng)為彈性形變. 發(fā)生彈性形變時(shí)，物體內(nèi)部產(chǎn)生恢復(fù)原狀的內(nèi)應(yīng)力. 楊氏模量正是反映固體材料形變與內(nèi)應(yīng)力關(guān)系的物理量. 本實(shí)驗(yàn)只考慮拉伸形變，即金屬絲沿軸向發(fā)生的形變. 設(shè)金屬絲長(zhǎng)為L(zhǎng)，橫截面積為S，沿長(zhǎng)度方向受外力F后伸長(zhǎng)ΔL. 單位橫截面積上的垂直作用力F/S稱(chēng)為正應(yīng)力，金屬絲的相對(duì)伸長(zhǎng)量ΔL/L稱(chēng)為線應(yīng)變. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在彈性形變范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比，即

(1)

其中，比例系數(shù)E稱(chēng)為楊氏模量. 用拉伸法測(cè)量金屬絲楊氏模量的常見(jiàn)實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示[8]. 金屬絲長(zhǎng)度微小伸長(zhǎng)量的測(cè)量是實(shí)驗(yàn)中最難的，也是最關(guān)鍵的部分. 依據(jù)誤差均分原理和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析可知，金屬絲橫截面積的測(cè)量精度對(duì)結(jié)果的準(zhǔn)確性也有很大影響. 要準(zhǔn)確測(cè)量微小伸長(zhǎng)量必須采用放大的方法，常用的是光杠桿放大法. 實(shí)驗(yàn)室常見(jiàn)的光杠桿放大系統(tǒng)由光杠桿、標(biāo)尺和望遠(yuǎn)鏡組成，其組成與放大原理如圖2所示. 圖2中鏡面到標(biāo)尺的距離為D，光杠桿的足長(zhǎng)為b. 調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡可以看清平面鏡內(nèi)反射的標(biāo)尺像，以望遠(yuǎn)鏡中叉絲橫線為參考讀出標(biāo)尺上相應(yīng)的刻度值. 設(shè)金屬絲長(zhǎng)度變化前刻度為x0，當(dāng)金屬絲伸長(zhǎng)ΔL時(shí)，光杠桿后足隨之下降，并帶動(dòng)平面鏡轉(zhuǎn)動(dòng). 設(shè)轉(zhuǎn)角為θ，則平面鏡上的反射光線將轉(zhuǎn)過(guò)2θ. 此時(shí)視場(chǎng)中叉絲橫線對(duì)應(yīng)的刻度值變?yōu)閤i，令Δx=xi-x0，當(dāng)ΔL?b時(shí)，近似有θ≈ΔL/b或2θ≈Δx/D. 為顯示清楚，圖2中的θ做了放大處理. 金屬絲的橫截面積一般可以用直徑計(jì)算S=πd2/4，將上述各值代入式(1)中，即可得出楊氏模量的計(jì)算公式為

(2)

圖2中的望遠(yuǎn)鏡也可用激光器代替，將激光器放在平面鏡附近，測(cè)量光杠桿后足隨金屬絲移動(dòng)造成照射到遠(yuǎn)處的激光反射光斑的移動(dòng).

圖1 拉伸法測(cè)金屬絲楊氏模量裝置圖

圖2 鏡尺裝置放大圖

2 實(shí)驗(yàn)方法

2.1 實(shí)驗(yàn)器材與裝置

實(shí)驗(yàn)測(cè)量對(duì)象為細(xì)銅絲，選用3 m長(zhǎng)的多股銅線，剝皮后，抽出3根備用. 利用找到的細(xì)銅絲，進(jìn)行拉斷預(yù)實(shí)驗(yàn)，根據(jù)斷裂所需拉力設(shè)計(jì)砝碼的總重量，砝碼總重力小于斷裂拉力的1/10時(shí)，金屬絲的形變?cè)趶椥孕巫兎秶鷥?nèi). 拉斷實(shí)驗(yàn)顯示，本實(shí)驗(yàn)所用銅絲在吊起0.63 kg物體時(shí)會(huì)發(fā)生斷裂，因此設(shè)計(jì)了12個(gè)質(zhì)量為4.30 g的砝碼. 本實(shí)驗(yàn)用硬紙片制作了砝碼，也可用普通A4紙制作砝碼，經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)量其質(zhì)量為(4.35±0.04) g. 用小圓平面鏡、膠帶和小棍制作光杠桿. 將銅絲掛在高處，如升降晾衣架上，在銅絲下端安裝1塊硬紙板用來(lái)放光杠桿的后足，之下再安裝砝碼吊框，實(shí)驗(yàn)裝置主要部分如圖3所示.

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置主要部分

2.2 實(shí)驗(yàn)步驟

1)將激光器開(kāi)關(guān)用膠帶紙粘住，保持常開(kāi)狀態(tài)；調(diào)整激光器和平面鏡角度，使激光光斑落在正對(duì)面墻上合適的位置；移動(dòng)激光器和光杠桿底座，將光杠桿后足放在銅絲下端的硬紙板上；調(diào)整硬紙板高度，使光杠桿能夠繞前支點(diǎn)小角度轉(zhuǎn)動(dòng).

2)在墻上激光光斑處用膠帶紙粘1張白紙，保證平整；找到激光光斑中標(biāo)志明顯部分，畫(huà)出1條橫線作為零刻線，再畫(huà)出一條相交的豎線；向吊框中依次加砝碼，待激光光斑穩(wěn)定后，在墻上的白紙標(biāo)出激光光斑的位置；加完12個(gè)砝碼之后，再依次取下，標(biāo)記激光光斑的位置.

3)用卷尺測(cè)量銅絲的長(zhǎng)度L，測(cè)量平面鏡距墻面的距離D；用直尺測(cè)量光杠桿的有效足長(zhǎng)b；用密排法測(cè)量銅絲的直徑d(密排法是指將銅絲緊密地并排繞在1根細(xì)棍上形成線圈，通過(guò)測(cè)量線圈寬度和線圈匝數(shù)，計(jì)算出單根銅絲的直徑).

4)將標(biāo)記好的白紙從墻上取下，用直尺量出每條線到零刻線的距離，填入數(shù)據(jù)記錄表中，計(jì)算出6個(gè)砝碼重力造成的銅絲伸長(zhǎng)量Δx.

5)將以上數(shù)據(jù)代入式(2)，計(jì)算出銅絲的楊氏模量E，并分析實(shí)驗(yàn)誤差的來(lái)源.

3 數(shù)據(jù)處理及分析

實(shí)驗(yàn)中對(duì)銅絲長(zhǎng)度L、距離D、足長(zhǎng)b和直徑d進(jìn)行了測(cè)量，數(shù)據(jù)記錄于表1中. 測(cè)得銅絲受力拉伸后激光斑點(diǎn)位置的變化值，記錄于表2中，并在表中計(jì)算出6個(gè)砝碼造成的伸長(zhǎng)量. 利用表1和表2中的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出各直接測(cè)量量的平均值與不確定度，計(jì)算不確定度時(shí)儀器誤差的取值：卷尺為1 cm、米尺為0.05 cm、密排法測(cè)直徑為0.000 8 cm(0.05 cm/60取整).

用表1中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以計(jì)算出L=(184±1) cm，D=(572±1) cm，b=(7.12±0.07) cm，d=(0.173±0.001) cm，Δx=(3.22±0.06) cm. 將以上數(shù)據(jù)代入式(2)中，計(jì)算出銅絲的楊氏模量E=(99±2) GPa，這與銅的楊氏模量理論值[8]105～130 GPa相差不大，可以算出楊氏模量測(cè)量值的相對(duì)不確定度約為2%，對(duì)不確定度貢獻(xiàn)最大的是Δx，這與實(shí)驗(yàn)室測(cè)量時(shí)一致；貢獻(xiàn)較大的還有b，這是非實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下光杠桿前后足不好固定造成的，這與實(shí)驗(yàn)室測(cè)量不同.

表1 銅絲長(zhǎng)度L、距離D、足長(zhǎng)b和直徑d的測(cè)量

表2 增加砝碼激光斑點(diǎn)位置變化值

在實(shí)驗(yàn)中，引起測(cè)量結(jié)果存在誤差的原因有：光杠桿不容易固定，前后2個(gè)支點(diǎn)會(huì)發(fā)生滑動(dòng)，且與金屬絲鏈接支點(diǎn)會(huì)隨金屬絲轉(zhuǎn)動(dòng)，光杠桿足長(zhǎng)也不容易測(cè)準(zhǔn)確. 在取下砝碼的過(guò)程中，容易造成光杠桿失去平衡，減砝碼讀數(shù)很難實(shí)現(xiàn).

4 結(jié)束語(yǔ)

利用居家材料，引導(dǎo)學(xué)生在非實(shí)驗(yàn)室環(huán)境中完成自制光杠桿和搭建拉伸法測(cè)楊氏模量實(shí)驗(yàn)裝置，學(xué)會(huì)長(zhǎng)度、長(zhǎng)度微小變化量和細(xì)絲直徑的測(cè)量，掌握逐差法處理數(shù)據(jù)的方法. 居家完成楊氏模量的測(cè)量，不僅為該物理量的測(cè)量提供了一種實(shí)驗(yàn)方法，也為其他物理實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目在非實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下完成提供了有益的借鑒經(jīng)驗(yàn).