抽水蓄能機組低水頭工況分數階PID控制及多目標優化

周 攀，周建中，賴昕杰，鄧 磊，許顏賀

(1. 國網新源控股有限公司技術中心，北京 100161；2. 華中科技大學水電與數字化工程學院，湖北 武漢 430074)

0 引 言

抽水蓄能機組的可逆式設計導致其全特性曲線相較于普通混流式水輪機具有交叉、聚集和扭轉的特點，呈現出明顯的“S”形區域[1](簡稱“S”特性)。機組運行于低水頭空載工況時，易進入“S”特性區，進而引起機組轉速擺動，導致機組控制品質急劇劣化。

針對這一問題，目前抽水蓄能電站多通過加裝導葉不同步裝置(MGV)，在機組低水頭開機時預開部分導葉，或在機組空載運行時部分開啟球閥進行節流的方式[2]避免機組低水頭空載不穩定現象的發生。然而上述兩種方法均存在一定缺陷，預開部分導葉會破壞轉輪室水力平衡，引發機組振動，降低機組發電效率，而部分開啟球閥則容易引起球閥振動和過流表面的破壞[3]。王國玉[4]等提出了雙通道PID控制方法并在響水澗電站成功應用，雙通道PID在常規PID控制算法的基礎上增加了一個微分通道，雙微分通道采樣頻率不同，可根據機組頻率變化速率自動切換，使機組轉速在網頻值附近具有更小的波動。曹健[5]、許顏賀[6]等在抽水蓄能機組調節系統線性化模型的基礎上，將FOPID控制引入抽水蓄能機組控制，并提出了基于智能優化算法的控制參數優化策略，驗證了FOPID控制的優越性，提升了機組低水頭空載工況的控制品質。歸納已有研究成果，抽水蓄能機組低水頭開機優化研究仍存在以下不足：①抽蓄機組調節系統模型多采用線性化或部分線性化模型，無法準確描述機組在“S”特性區附近的動態響應過程，導致研究結果脫離工程實際，具有較大應用局限性；②只針對額定水頭進行控制參數優化，優化結果的工況適應性不強；③采用的優化方法均基于工程經驗或采用單目標優化策略，將多個目標加權聚合為單個目標，無法體現多個目標之間的矛盾關系，導致優化結果不夠理想。為此，本文提出了一種基于精細化模型的抽水蓄能機組低水頭FOPID控制多目標優化策略，均衡考慮了機組額定水頭和低水頭開機時存在的博弈目標，取得了良好的優化效果，優化結果在保證額定水頭控制品質的前提下，提升了低水頭控制性能，并為提高抽水蓄能電站低水頭空載控制品質提供了技術支持。

1 抽水蓄能機組調節系統精細化模型

抽水蓄能機組調節系統的精確建模是機組分數階PID控制優化研究的前提。為此，本文建立了能精確地描述機組過渡過程真實情況的抽水蓄能機組調節系統精細化模型。該模型分為有壓過水系統、水泵水輪機、微機調節器、液壓執行機構和發電電動機及負載等模塊。

1.1 有壓過水系統模型

本文應用特征線法建立有壓過水系統非線性模型。若考慮水體可壓縮性和管道彈性，對有壓過水管道中的非恒定水流可列寫如下動量方程和連續性方程

(1)

式中，a為水擊波速；C±為水擊波速方向；Hi、Qi分別為分段管道節點出水頭和流量，i=A,B,p；D為管道直徑；A為管道垂直截面面積；f為管道摩阻系數；Δt為仿真步長；g為重力加速度。

采用調整波速法對有壓過水系統進行管道劃分，并根據式(1)對劃分后的過水管道及管道邊界[7]列寫特征線方程。在此基礎上，通過迭代計算即可求解全管道所有節點的水頭及流量變化。

1.2 水泵水輪機模型

抽水蓄能機組低水頭工況下的空載運行軌跡在反“S”區附近，若此時機組受到擾動，極易進入反“S”區。為保證模型在反“S”區域的精度，本文采用改進Suter變換方法[8]對機組原始全特性曲線進行處理，改善原始全特性曲線反“S”區域存在的交叉、聚集和扭轉現象。改進Suter變換公式如下

(2)

式中，WH(x,y)、WM(x,y)分別為變換后的機組水頭和轉矩；k1、k2、Cy、Ch分別為改進Suter變換參數；a、q、h、m、y分別為機組轉速、流量、水頭、轉矩和開度相對值，參數k1>|M11max|

圖1 改進Suter變換處理后的機組全特性曲線

1.3 微機調節器分數階PID模型

FOPID控制器通過引入微分和積分階次將傳統PID擴展到分數領域，相較于傳統PID多了2個自由度，因此具有更強的靈活性和更好的控制效果[9]。FOPID的傳遞函數為

(3)

式中，e為控制偏差；u為控制器輸出量；Kp、Ki、Kd為傳統PID控制器參數；μ∈(0，2)為微分階次，λ∈(0，2)為積分階次。

在此基礎上，綜合考慮測頻時延和頻率死區，可得到基于FOPID控制器的微機調節器框圖，如圖2所示。

圖2 考慮測頻時延和頻率死區的FOPID控制器模型示意

圖3 抽蓄機組調節系統精細化模型示意

1.4 其他環節

液壓執行機構模型為主配壓閥-主接力器兩級結構，并充分考慮隨動裝置死區、主配壓閥飽和與主接力器飽和等非線性環節。

發電電動機及負載采用一階模型，如下所示

(4)

式中，J為發電電動機轉動慣量；n為機組轉速；Mt為主動力矩；Mg為阻力矩。

綜上，本文建立的抽水蓄能機組調節系統精細化模型如圖3所示。

2 抽水蓄能機組低水頭控制優化策略

本文在抽水蓄能調節系統精細化模型的基礎上，引入時間絕對誤差積分指標(ITAE)衡量FOPID的控制性能，構造反映機組額定水頭和低水頭工況下控制品質的雙目標函數，建立抽水蓄能機組低水頭控制組優化模型。在此基礎上，將混合變異和鄰域搜索機制引入多目標粒子群算法，提出了混合變異-鄰域搜索多目標粒子群算法(HNMOPSO)進行模型高效求解。

2.1 目標函數

為保證分數階PID在不同工作水頭特別是低水頭工況下的控制品質，選取機組在額定水頭和低水頭下的時間絕對誤差積分(ITAE)指標作為目標函數，可寫出如下雙目標函數

(5)

式中，Ti(k)，i=1，2為仿真時刻；c為系統響應參考值；xH(k)、xL(k)分別為機組在正常水頭和低水頭工況下的轉速響應。

2.2 模型求解算法

多目標粒子群算法[11](MOPSO)屬于多目標進化算法，具有規則簡單、實現容易、收斂快的優點。群體中粒子的速度和位置更新策略如下所示

(6)

針對MOPSO易陷入局部最優的缺陷，本文通過引入混合變異機制和鄰域搜索機制[12]，提出了混合變異-鄰域搜索多目標粒子群優化算法。

2.2.1混合變異

引入結合高斯變異和柯西變異的混和變異機制。高斯分布的概率密度函數為

(7)

式中，?為均值；σ2為方差。N(?，σ2)為服從均值為?、方差為σ2的正態分布。柯西分布的概率密度函數為

(8)

式中，Ω>0為比例系數；z0為概率密度峰值位置，C(z0，Ω2)為柯西分布。

由此，引出混和變異機制如下：

Xnew=Xold(1+η·Nr(0，1)+(1-η)·Cr(0，1))

(9)

式中，Nr(0，1)為標準高斯分布曲線上的隨機數；Cr(0，1)為標準柯西分布曲線上的隨機數；η為隨迭代次數遞減的權重系數，通常取η=t/T，其中t為當前迭代次數，T為最大迭代次數。該混合變異機制保證了算法迭代初期的全局搜索性能，同時增強了算法迭代后期的局部搜索性能。

2.2.2鄰域搜索

鄰域搜機制通過隨機搜索粒子鄰域空間中可能存在的更優位置，增強算法的局部搜索性能。若發現粒子鄰域空間中存在更優位置，則更新粒子位置，其搜索公式為

(10)

2.3 優化流程

利用HNMOPSO優化不同水頭下FOPID控制參數步驟如下：

(1)算法初始化。設置算法初始參數，包括群體規模N，檔案集規模Nrep，算法迭代次數T，慣性系數w，慣性衰減系數wdamp，自學習系數R1，全局學習系數R2，初始鄰域搜索步長L0，并設置初始迭代次數t=0。依據待優化向量Xi的上下限BU和BL初始化N個個體的位置，個體速度表示為vi(0)，位置表示為Xi(0)。

(3)檔案集初始化。根據Fi(t)進行群體范圍內的非支配排序，由未被支配的個體組成初始檔案集。若檔案集中個體數量n超過Nrep，則計算檔案集中所有個體的擁擠度，刪除擁擠度最高的個體。重復上述操作直至n≤Nrep。

(4)更新群體。根據式(6)更新個體速度向量vi(t+1)和位置向量Xi(t+1)，i=1，2，…，N，并代入精細化模型，求解得到頻率響應x(t+1)并計算目標函數Fi(t+1)。

(5)混合變異與鄰域搜索。對更新后的個體Xi(t+1)，i=1，2，…，N，根據式(9)進行混合變異，并根據式(10)進行鄰域搜索，得到新個體X′i(t+1)，i=1，2，…，N。若新個體支配原個體，則由新個體代替原個體，反之則不進行任何操作，此外，若新個體和原個體互為非劣，則新個體以50%的概率代替原個體。

(6)更新檔案集。以個體目標函數值Fi(t+1)為依據進行群體范圍內的非支配排序，將未被支配的個體加入檔案集，并采用步驟3中方法對更新后的檔案集進行處理，保證檔案集中個體數量n≤Nrep。

(7)t=t+1，若t>T，優化結束，輸出檔案集；否則，轉入步驟(4)。

3 實例研究

本文以某大型抽水蓄能電站為例，機組在t=0 s時刻受到+2%頻率階躍擾動，利用HNMOPSO算法對機組正常水頭和低水頭工況下的FOPID控制參數進行多目標優化，并與PID參數優化結果進行對比分析，闡述FOPID控制多目標優化策略的有效性和優越性。該抽水蓄能電站額定水頭工況下，上游水位735 m，下游水位181 m，機組轉速500 rad/min，流量7.51 m3/s，導葉開度3.58°。低水頭工況下，上游水位716 m，下游水位181 m，機組轉速500 rad/min，流量8.17 m3/s，導葉開度4.45°。

此外，水泵水輪機模型中，全特性曲線改進Suter變換參數為：k1=10，k2=0.9，Cy=0.2，Ch=0.5。液壓執行機構模型中，放大系數k0=7，主接力器時間常數Ty=0.2，主配壓閥時間常數Ty1=0.05，隨動裝置死區設置為0.013 7，主接力器限幅環節最小、最大行程相對值分別設置為0、1.12，主接力器限速環節上、下限相對值分別設置為0.012 44、-0.007 47。發電機及負載模型中，機組慣性時間常數Ta=8.503，發電機組空載狀態自調節系數en=0。HNMOPSO算法中，算法迭代次數T=300，群體規模N=50，檔案集規模Nrep=30，慣性系數w=0.4，慣性衰減系數wdamp=0.9，權重系數c1=c2=2，初始鄰域搜索步長L0=0.4、待優化變量Xi的尋優上、下限分別為BU=[10，10，10，2，2]、BL=[0，0，0，0，0]。

表1 典型控制方案參數

優化結果如圖4所示。在PID和FOPID的Pareto最優解集中分別選取3個解作為典型方案，其對應的參數如表2所示。

圖4 HNMOPSO多目標優化前沿

將表2中的典型方案控制參數代入精細化模型，求解可得對應的機組轉速動態響應過程，如圖5所示。

通過分析表2數據、圖4中的Pareto前沿以及

圖6中的機組轉速動態響應，可得出以下結論：

(1)一組控制參數無法同時保證不同水頭下的控制性能。由圖4可知，在方案A2對應的控制參數作用下，機組的低水頭ITAE指標較小，即控制效果較好，但額定水頭ITAE指標較大，即控制品質較差；在方案C2對應的控制參數作用下，機組的低水頭ITAE指標較大，控制效果較好，但額定水頭ITAE指標較小，控制品質較高。由此可見，一組固定不變的控制參數具有很強的工況局限性；

(2)可通過略微犧牲額定水頭下的控制性能，提升機組低水頭工況下的控制品質。由圖4中的優化結果可知，通過折衷的方法可大幅提升機組在低水頭工況下的控制品質，即選擇方案B2。圖5c-f中的綠色實線分別為方案B2和C2對應的機組轉速動態響應過程，相較于方案C2，方案B2在稍增加機組額定水頭工況轉速超調的前提下，抑制了機組低水頭工況下轉速持續振蕩，大幅提升了機組在低水頭工況下的控制品質；

(3)FOPID相較于PID控制具有更優異的控制品質。由圖4可知，FOPID對應的Pareto前沿位于PID的左下方，具有更小的ITAE指標，更加靠近真實前沿。此外，觀察從圖5中機組在不同水頭下的轉速動態響應曲線可知，FOPID控制器作用下的機組動態響應曲線相較于PID具有更小的超調和更短的穩定時間。

4 結 論

為提升抽水蓄能機組在低水頭工況下的控制品質，本文提出了基于抽水蓄能機組調節系統精細化模型的分數階PID控制多目標優化策略，取得了良好的效果，并得出以下結論：

(1)本文建立的抽水蓄能機組調節系統精細化模型能充分反映過水系統、水泵水輪機構非線性，更接近于電站實際運行狀況，從而精確地描述抽蓄機組低水頭工況下的動態響應過程。

(2)本文提出的抽水蓄能機組低水頭工況分數階PID控制多目標優化策略提升了機組在低水頭工況下的控制品質。

圖5 典型方案轉速動態響應過程

(3)通過HNMOPSO算法獲得的Pareto最優方案集，能有效地指導抽水蓄能電站機組低水頭工況下控制優化，從而為機組的穩定運行提供有力的技術支持。