在“類比”中思考 在“轉(zhuǎn)化”中解決

文張衛(wèi)明

（作者單位：江蘇省鹽城市初級(jí)中學(xué)）

在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)用到“類比”和“轉(zhuǎn)化”的思想方法。類比是指由兩個(gè)對(duì)象具有某些相同的性質(zhì)，推出它們的其他性質(zhì)也可能相同。轉(zhuǎn)化是指把待解決或難解決的問題化為已有知識(shí)范圍內(nèi)的可解問題。下面就與大家談?wù)勅绾斡眠@兩種思想方法學(xué)習(xí)本章內(nèi)容。

一、用類比的方法去思考問題

我們知道，分式與分?jǐn)?shù)有許多相似之處。同樣，分式方程與整式方程也有很多共同之處。由此，就可通過類比得到本章知識(shí)的框圖。

分?jǐn)?shù)與分式之間有很多地方可以做類比。例如，小學(xué)我們學(xué)過分?jǐn)?shù)的約分，，利用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)約去分子和分母的公因數(shù)。類比分?jǐn)?shù)約分，學(xué)習(xí)分式約分也就很輕松了。

例1約分

【分析】分式的分子與分母有公因式6abc，利用分式基本性質(zhì)約去分子和分母的公因式。

【評(píng)注】與分?jǐn)?shù)約分類似，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母分別除以它們的公因式。本題可視為分子、分母是單項(xiàng)式的分式約分問題。約去分子、分母中相同字母（或含字母的式子）的最低次冪，并約去系數(shù)的最大公約數(shù)即可。

例2約分

【分析】先對(duì)分子和分母因式分解，再約分。

【評(píng)注】分式約分的關(guān)鍵是找出分子和分母的公因式。如果分子、分母都是多項(xiàng)式，還需先將分子、分母分別因式分解，將其轉(zhuǎn)化為因式乘積的形式，然后進(jìn)行約分。約分通常要把分式化為最簡(jiǎn)分式或整式。

二、用轉(zhuǎn)化的思想去解決問題

異分母的分式相加減，本質(zhì)就是把異分母轉(zhuǎn)化為同分母。同樣，解分式方程的基本思路是在分式方程兩邊都乘各分式的最簡(jiǎn)公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程。

例3解方程：

【分析】在方程兩邊同乘各分式的最簡(jiǎn)公分母x（x-2），轉(zhuǎn)化為一元一次方程。

解：在方程兩邊同乘x（x-2），得

3（x-2）-2x=0。 （轉(zhuǎn)化為整式方程）x=6。

檢驗(yàn)：把x=6代入x（x-2）≠0，

所以x=6是原方程的解。

【評(píng)注】在方程兩邊同乘各分式的最簡(jiǎn)公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。由于變形后的整式方程的解可能使原來分式方程中的分母的值為零，從而使原分式方程失去意義，因此解分式方程必須對(duì)解得的根進(jìn)行檢驗(yàn)。

【分析】在要求解的方程兩邊同時(shí)減去2，把（x-2）看成一個(gè)整體，就可轉(zhuǎn)化成已知方程的形式。

【評(píng)注】恰當(dāng)使用整體法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以使得求解更方便。

類比和轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中的重要思想方法，相信同學(xué)們只要在“分式”一章的學(xué)習(xí)中細(xì)心體會(huì)，靈活運(yùn)用，就會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。