追本溯源 不忘其根

文仇玉海

（作者單位：江蘇省鹽城市初級中學）

分式方程有解與無解都與增根有著密切的聯系。有解是指整式方程有解且這個解不是增根。無解分兩種類型：（1）整式方程有解，且這個解是增根；（2）整式方程無解。鑒于此，下面老師以幾道中考試題為例與大家一起分析，構建解題思路。

一、由分式方程增根求字母的值

解：方程兩邊都乘（x-2），得

3x-x+2=m+3。

∵原方程有增根，

∴x-2=0，

解得x=2，

將x=2代入整式方程，得m=3。

故答案為3。

【評析】要理解分式方程增根產生的原因。增根是分式方程化為整式方程后產生的不適合分式方程的根。我們可以先確定增根的值，讓最簡公分母x-2=0，得到x=2，然后代入整式方程算出m 的值。所以增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0，確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程，即可求得相關字母參數的值。

二、由分式方程“有解”求字母參數的取值范圍

例2（2019·江蘇宿遷）關于x 的分式方程的解為正數，則a的取值范圍是 。

解：去分母，得1-a+2=x-2，

解得x=5-a。

由題意得x-2=0，即增根為x=2。

∵方程的解是正數，

∴5-a≠2，5-a＞0。

故a＜5且a≠3。

【評析】“分式方程的解是正數”包含三層含義：①整式方程有解；②這個解不是增根；③這個解是正數。這種情形與增根還是密切關聯的。我們求出增根x=2，解出整式方程的解x=5-a，滿足5-a≠2 且5-a＞0，所以a＜5且a≠3。

變式（2019·黑龍江齊齊哈爾）關于x的分式方程的解為非負數，則a的取值范圍為________。

解：方程兩邊同乘x-1，得2x-a+1=3·（x-1），解得x=4-a，

由題意得x-1=0，即增根x=1。

∵方程的解是非負數，

故答案為a≤4且a≠3。

【評析】分式方程的解是非負數可以理解為：①整式方程有解；②這個解不是增根；③這個解是非負數。只要涉及分式方程的解總繞不開增根。要保證整式方程的解，不能為增根，需要先把這種導致分式方程無解的情況排除，然后才能考慮這個解是非負數，從而確定字母參數的范圍。

三、由分式方程“無解”求字母參數的取值范圍

A.k＞-4 B.k=4

C.k=-4 D.k＜4且k≠-4

解：分式方程去分母，得k-（2x-4）=2x，解得

由題意得2（x-2）=0，即增根為x=2。

∵分式方程無解，

∴k=4。故選B。

【評析】把分式方程轉化為整式方程，發現整式方程一定有解，但分式方程無解，說明整式方程的解是增根，所以故k=4。

解：去分母，得1-ax=x-2，∴（1+a）x=3。

由題意得x-2=0，即增根為x=2。

∵分式方程無解，

∴整式方程的解有兩種情形：

（1）當整式方程無解時，即1+a=0，∴a=-1。

（2）當整式方程有解時，且解為增根，即1+a≠0，∴a≠-1。

【評析】關于x 的整式方程ax=b（a、b 為常數，b≠0），它的解可能存在兩種情況：①當a=0 時，方程無解；②當a≠0 時，方程一定有解。本題中的整式方程未知數的系數是1+a，所以需要對它進行分類討論，分為整式方程無解或整式方程有解且解為增根兩種情形。

數學家華羅庚說過：面對復雜的問題，善于退，足夠地退，退到最原始而又不失重要性的地方，是學好數學的一個訣竅。有些同學對于分式方程的增根和無解似懂非懂，認為只是一個概念，這樣的想法是錯誤的。要想徹底弄明白這一類問題，我們需要回到最初增根產生的那一步，理解分式方程與整式方程的關系，無論是在解答有解問題還是無解問題時，都不能忘記考慮增根，要追本溯源，不忘其根。