范數最小估計的海底大地控制點精密標校方法

胡致遠，王盼龍，唐秋華，周興華，周東旭

范數最小估計的海底大地控制點精密標校方法

胡致遠1,2，王盼龍3，唐秋華1,2，周興華1,2，周東旭2

（1. 山東科技大學 測繪科學與工程學院，山東 青島 266590；2. 自然資源部第一海洋研究所，山東 青島 266061；3. 自然資源部大地測量數據處理中心，西安 710054）

針對海洋測繪水下聲學定位中常用的最小二乘平差法易受粗差和系統誤差影響，導致解算精度和穩定性較差的問題，提出1種水下控制點解算的方法：介紹海底大地控制點標校基本原理和方法，給出全球衛星導航系統（GNSS）和水下聲學定位模型；然后選用中國科學院測量與地球物理研究所（IGG）選權迭代法和一次范數最小法，用于水下聲學定位數據精密標校。實驗結果表明，一次范數最小法能有效抗拒異常觀測擾動，抗差能力較強，能夠實現淺海海底控制點厘米級定位精度。

海底大地控制點；水下聲學定位；一次范數最小法；選權迭代法

0 引言

海洋占地球表面積的71 %，對其進行調查研究和合理開發利用，對我國這樣的海洋大國是必不可少的。以海洋大地控制網為代表的海洋基礎測繪設施建設，是完成這些工作的先決條件，而高精度的水下聲學定位技術是建設海洋大地控制網的基本保障。

1985年，斯克里普斯海洋研究所的Spiess教授首次提出利用全球定位系統（global positioning system, GPS）和聲學定位系統相結合來構建海底大地控制網[1-2]。該方法利用GPS動態差分的方法求出測量船在地固坐標系下的坐標，結合聲學信號測量船載換能器和水下應答器之間的傳輸時間，聯合平差解算得到海底控制點絕對坐標。自該方法提出以來，美國、日本、歐洲等國家和地區先后開展了海底大地控制網的研究與布測[3-15]，通過不斷完善海洋大地測量的基礎設施建設，有效地提升了海洋學科的綜合實力。我國海洋大地測量基準建設，雖然較陸地相關研究發展較晚，但相關的海洋技術研究和應用卻發展迅速[16]。近年來，國內學者對海洋大地測量基準建設涉及的關鍵技術進行了深入研究，取得了一些成果[17-20]。

高精度海底大地控制點坐標的獲取，需要全球衛星導航系統（global navigation satellite system, GNSS）技術和聲學定位技術相結合后，進行高精度的標校才能滿足要求；但由于海洋環境復雜多變，水下的聲線傳播存在傳播延時和聲線彎曲等影響，這給水下聲學測距帶來較大誤差，給海底大地控制點的精確標校帶來困難[17-20]。本文針對聲學測距結果包含大量粗差和系統誤差、常用的最小二乘法易受粗差和系統誤差的影響，其解算精度和穩定性較差的問題，提出基于一次范數最小法的抗差最小二乘估計，用于水下控制點的解算，并使用青島靈山島附近海域實驗數據進行了驗證。

1 GNSS/水下聲學定位模型

通常海底控制點（應答器）位置精確標校是由安裝在測量船底部的換能器發射出聲信號，位于海底的應答器接收該聲信號并給予反饋，反饋的聲信號由換能器接收并記錄聲信號在海水中的傳播時間；通過對聲速的測量獲取聲速，聲速乘以聲信號單程傳播時間即可獲得換能器和應答器之間的距離。當觀測到3個以上的距離值后，利用距離交會方法可以精確解算出海底應答器的3維坐標位置，如圖1所示。

圖1 海底應答器精確位置解算示意

線性化式（1）后得

當觀測歷元數大于3，在不考慮系統誤差影響的前提下，根據式（2）得出誤差方程為

根據最小二乘推導法方程為

解得

協方差陣為

2 水下聲學定位抗差估計方法

受海洋環境復雜多變的影響，水下聲學觀測數據存在著一定的粗差。在經典最小二乘平差中，通常假定觀測值中僅含偶然誤差，并且觀測誤差服從正態分布，由此可以根據最小二乘準則求出未知參數最優估值，并進行精度分析。這種條件下，估計的參數是最優線性無偏估計。水聲觀測數據中的粗差會破環最小二乘無偏估計的前提。近代測量平差中，通常有2種粗差處理方法[21-22]：將粗差歸入隨機模型處理。第1種方法使用3倍中誤差作為限差，對數值較大的粗差處理效果好，但是難以發現數據中數值較小的粗差；第2種方法根據逐次迭代平差的結果不斷修正觀測值的權或方差，最終使含有粗差的觀測值的權趨向于零或者方差趨向于無窮大，對較小的粗差也有很好的處理結果。

本文將常用的隨機模型抗差法，即選權迭代法和一次范數最小法用于水下聲學定位粗差探測。

1）IGG選權迭代法。IGG（Institute of Geodesy & Geophysics, Chinese Academy of Sciences）選權迭代法由中科院測量與地球物理研究所周江文[21]提出，其函數來源于M估計，即

IGG選權迭代法表明：當觀測值服從正態分布時，采用最小二乘估計；當觀測值超出給定范圍時采用降權估計，當有觀測值出現明顯的異常就采用淘汰法將其剔除。

自IGG選權迭代法提出以來，眾多學者對其在測量數據抗差估計的應用中做了大量研究和改進。文獻[22]提出采用最小二乘法（least square method, LS）估計的IGG Ⅲ方案；文獻[23]提出了1種可容忍較大面積數據污染的符號約束抗差估計方法；文獻[24]提出了分別采用了IGG Ⅲ方案和雙因子等價權函數的抗差估計法。該抗差方法在GNSS數據處理中應用效果較好，但在水下聲學定位數據處理中應用還不多見。

2）一次范數最小法。抗差估計的抗差性及有效性主要取決于初值的準確性與權函數的合理性。目前通常選取最小二乘估計的結果作為抗差估計的初值，但最小二乘估計對粗差具有不敏感性和均衡性，致使含有粗差的觀測值的殘差并非最大，導致選權迭代時易出現錯誤判斷[25]。采用一次范數最小估計法，由于其有較強的穩健性，對測量數據的粗差發現有著較好的效果[26-27]，能有效削弱濾波后的觀測值中誤差對結果的影響。

誤差方程寫為

得

3 實驗與結果分析

3.1 實驗數據采集

為檢驗本文提出的海底控制點坐標位置標校方法的正確性，在青島靈山島東部海域進行海上標校實驗，實驗場如圖2所示。該海域地勢較為平坦，水下地形起伏變化不大，平均水深在20~30m之間，且海底沉積物類型為砂質粉砂，無地質災害賦存的跡象，能夠滿足海底控制點布設要求。

圖2 海底控制點標校實驗位置

標校實驗前，嚴格測定船載換能器、GNSS天線和慣性測量裝置（inertial measurement unit, IMU）姿態傳感器在船體坐標系下的坐標，將其歸算至統一坐標系統下。標校過程中，測量船圍繞海底應答器，進行田字走航和圓形走航測量（如圖3所示），同步采集高精度船載GNSS、水下聲學定位數據。

圖3 海底控制點標校實驗航跡

3.2 聲速確定

實驗海區位于青島靈山島周圍的淺海區域，海水深度在25 m左右，通過現場實測的溫、鹽、深等參數計算出來的聲速剖面如圖4所示。

圖4 標校實驗海區聲速剖面

有研究表明，在聲速變化不超過1 m/s的水域，當聲學定位入射角小于80°時，聲線彎曲造成的測距誤差為毫米級[28]，可以用平均聲速代替聲線跟蹤算法標校淺海海底控制點坐標。

在淺海水下定位中，求聲速常用方法的有平均聲速法，初始平均聲速為

3.3 不同航跡組合解算結果比較

分別提取小圓、大圓和田字等3種簡單圖形的航跡定位數據。其中，小圓半徑約為77 m（3倍水深），大圓半徑約為200 m（10倍水深），田字航跡中心位于應答器正上方附近，最大邊長為120 m。將3種不同形狀單一航跡進行組合，形成套圓、小圓加田字、大圓加田字以及套圓加田字等4種組合航跡圖形。7種航跡圖形如圖5所示。

圖5 7種不同標校航跡

為了驗證海底控制點精密標校方法與精度，設計了3種海底控制點標校解算方案。

1）方案①：利用平均聲速1498.39 m/s進行最小二乘迭代解算，得海底控制點的坐標。將所有觀測值的權值設為1，假設換能器到應答器的距離觀測值不受系統誤差影響，觀測誤差均由隨機誤差引起，聲速值為1498.39 m/s。通過最小二乘迭代法解算，得到各走航航跡下應答器坐標及定位精度，其結果如表1所示。

表1 經典最小二乘法海底控制點解算結果 單位：m

由表1可知，利用平均聲速進行最小二乘法坐標解算，不同航跡的海底應答器坐標解算精度都不高，尤其高程變化較大，高程精度遠低于平面精度。其中：

①半徑為77 m的小圓航跡標校精度最高，平面中誤差為3 cm，高程方向解算精度為6 cm；原因主要是，小圓航跡在水平方向上近似對稱，利用最小二乘法解算時，可以消除或減弱平面方向上的系統誤差。

②半徑為200 m的大圓航跡坐標解算結果迭代發散，解算結果為平面中誤差超過80 cm，高程中誤差大于5 m，無法滿足海底控制點精密標校要求。

③田字航跡平面中誤差為5 cm，平面解算精度低于小圓，分析其原因是，圓形的對稱性優于田字，小圓平面精度優于田字；但田字航跡在高程方向增加了約束，高程中誤差為6 cm，優于小圓高程精度。

④利用3種單一航跡，組成4種組合航跡，組合后的航跡解算結果并非都優于單獨航跡，其中，小圓加田字解算平面中誤差為5 cm，高程中誤差為9 cm，精度低于小圓、田字航跡結果。

2）方案②：使用IGG方法進行抗差處理，選用平均聲速1498.39 m/s進行海底控制點坐標解算。由于實驗區域位于海洋環境比較復雜的淺海區，觀測值中必定會存在較大的偶然誤差乃至粗差。經典最小二乘法對粗差十分敏感，且沒有抗差的能力，使用經典最小二乘法解算的結果必定會受觀測數據中的粗差影響。為了減小粗差對數據解算精度的影響，將IGG選權迭代法應用于水下聲學定位解算，其解算結果如表2所示。

表2 IGG法海底控制點解算結果 單位：m

從表1和表2可以看出，觀測數據中的粗差對最小二乘法解算精度影響嚴重，在使用了IGG抗差估計法后，解算精度顯著提高，各航跡的坐標精度明顯優于經典最小二乘法。其中：

①7種航跡中，平面精度最高的仍為小圓航跡；高程（）方向上，田字航跡的中誤差最小，解算精度相對最優。

②大圓航跡在最小二乘解算時發散（如表1所示，平面中誤差超過80 cm），無法獲得高精度的海底控制點坐標位置；而采用IGG抗差估計法時，大圓平面解算精度大幅提高，解算精度和小圓解算精度基本相近，北方向（）和東方向（）中誤差分別由原來的85、82提高到了3、3 cm。

③同時與大圓組合的航跡解算精度均明顯提升，套圓組合后，方向、方向定位精度分別從58、58提高到4、4 cm；大圓加田字組合后，方向、方向定位精度分別從58、52提高到3、3 cm；套圓加田字組合后，方向、方向定位精度分別從44、41提高到4、3 cm。

3）方案③：使用一次范數最小方法進行抗差處理，選用平均聲速1498.39 m/s進行海底控制點坐標解算。前人研究表明[27]，在觀測數據中存在粗差較多的情況下，IGG選權迭代法并不一定能達到預期的精度。為了更好地進行觀測數據的抗差處理，采用一次范數最小法對海底應答器坐標位置進行解算，其解算結果如表3所示。

表3 一次范數最小法海底控制點解算結果 單位：m

對比表2和表3可以看出：

1）采用IGG選權迭代法的方案②和采用一次范數最小估計的方案③，其小圓航跡海底控制點解算精度相當，平面位置解算精度都在2 cm左右，高程位置解算精度在5 cm左右。

2）大圓航跡的解算結果表明，利用一次范數最小法解算的坐標精度優于IGG選權迭代法解算的坐標精度1 cm左右。分析原因是：大圓航跡半徑大，受淺海環境影響，觀測數據中粗差較小圓航跡和田字形航跡多，而IGG選權迭代法首次平差是在等權的條件下進行的，這使得粗差被分配到各個改正數上，影響下1次水聲測量觀測值權的確定；而一次范數最小法首次平差時的權由殘差決定，因此一次范數最小法能更好地減小可能存在的粗差影響，從而提高整體抗差性。

3）與大圓組合的航跡解算精度均有明顯提升，在方案③中的7種不同航跡的解算結果較方案①和方案②總體精度有較大提高。

對比以上3種方案解算結果可知：當觀測數據中存在粗差時，最小二乘法受粗差影響最大，平面和高程解算精度都不高，不能滿足高精度海底控制點標校要求；當觀測數據含有較多粗差時，一次范數最小法要優于IGG法，它具有較強的粗差探測能力，在第1次平差時能快速確定粗差位置，并對相應觀測值進行降權，能較好地處理初次平差時的權分配問題；利用一次范數最小法能快速獲取高精度海底控制點坐標位置。

4 結束語

本文介紹了海底大地控制點標校基本原理與方法，通過將抗差估計算法應用于水下聲學定位解算，對比了IGG選權迭代和一次范數最小2種抗差估計方法在水下聲學定位中的精度。實驗結果表明，一次范數最小法抗差能力較強。最后利用淺海海底大地控制點實測數據驗證后得到以下結論：

1）不同標校航跡情況下海底控制點坐標解算精度不同。實驗證明小圓航跡具有良好圖形對稱性，平面解算精度最高；田字航跡具有交叉點約束，高程解算精度最高。

2）經典最小二乘法在水下聲學定位計算中受粗差和系統誤差影響較大，解算精度不高，結果也不穩定，不能滿足海底控制點精密標校需要。利用IGG和一次范數最小法2種抗差估計法解算海底控制點坐標，可將海底控制點定位精度由分米級提高到厘米級。

3）實驗結果表明，1次范數最小法抗差能力較強，尤其是在標校航跡圖形結構不好的情況下，通過一次范數最小法解算得到的海底控制點坐標精度更高、更穩定，有效提高了海底控制點標校作業的靈活性。

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Precision calibration method of subsea geodetic control points based on norm minimum estimation

HU Zhiyuan1,2, WANG Panlong3, TANG Qiuhua1,2, ZHOU Xinghua1,2, ZHOU Dongxu2

（1. School of Surveying and Mapping Science and Engineering, Shandong Science and Technology University, Qingdao, Shandong 266590, China; 2. The First Institute of Oceanography, Ministry of Natural Resources of the People's Republic of China, Qingdao, Shandong 266061, China; 3. Geodetic Data Processing Center, Ministry of Natural Resources of the People's Republic of China, Xi’an 710054, China )

Aiming at the problem that it is liable to gross errors and system errors for least squares adjustment method commonly used in underwater acoustic positioning of marine surveying and mapping, leading to low solution accuracy and weak stability, the paper proposed a solving method of underwater control points: the basic principle and method of subsea geodetic control point calibration were introduced, and the GNSS/underwater acoustic positioning model was given; then IGG weighted iterative method and L1-norm minimum method were selected to implement the precise calibration of underwater acoustic positioning data. Experimental result showed that the L1-norm minimum method could effectively resist the disturbance of abnormal observation with a strong anti-error ability, and achieve the centimeter level positioning accuracy of subsea control points in shallow sea.

seafloor geodetic control point; underwater acoustic positioning; L1-norm minimum method; weighted iterative method

P228

A

2095-4999(2020)03-0015-08

胡致遠，王盼龍，唐秋華，等. 范數最小估計的海底大地控制點精密標校方法[J]. 導航定位學報, 2020, 8(3): 15-22.（HU Zhiyuan,WANG Panlong, TANG Qiuhua, et al. Precision calibration method of subsea geodetic control points based on norm minimum estimation[J].Journal of Navigation and Positioning, 2020, 8(3): 15-22.）

10.16547/j.cnki.10-1096.20200303.

2019-12-13

國家重點研發計劃（2016YFB0501703）；國家自然科學基金（41904040）。

胡致遠（1996—），男，山東青島人，碩士研究生，研究方向為水聲定位數據處理算法研究。