漸進演化類拓撲優化算法的優化準則對比研究

張鵠志，張棒，謝獻忠，馬哲霖

(湖南科技大學 a.土木工程學院；b.結構抗風與振動控制湖南省重點實驗室，湖南 湘潭 411201)

近20年來，結構拓撲優化成了實現結構輕量化的重要手段之一，這是一種根據設計區域、優化目標、設計載荷等約束條件來尋找結構最優材料分布的優化方法。優化結果被廣泛應用于建筑、機械、航天、海洋工程等領域。隨著相關研究的深入，漸進類拓撲優化演化算法得到了不斷的改進和優化，取得了不少研究成果。

漸進結構優化(簡稱ESO)算法[1-3]最早由Xie等提出，并證實其具有高效性和穩定性的特點。榮見華等[4-5]利用ESO算法對車輛結構進行優化設計，驗證了ESO算法在機械工程領域中的應用價值，王磊佳等[6]對ESO的刪除準則進行改進，提出了加窗漸進結構優化算法。Querin等[7]提出了與ESO優化進程相對的算法，即在高應力區域逐漸添加材料，以獲取拓撲解的遞增演化結構優化(簡稱AESO)算法。之后，Xie等[8]、Rozvany等[9]、Yang等[10]又在此基礎上提出結合AESO與ESO的雙向演化結構優化 (簡稱BESO)算法，母德強等[11]使用BESO算法實現了對大型龍門工程機械橫梁的拓撲優化。江旭東等[12]利用BESO算法實現了結構多目標動態優化設計。而隨著王小平等[13]對遺傳算法的推廣，易偉健等[14]將ESO算法和遺傳算法結合，提出遺傳演化結構優化 (簡稱GESO) 算法，提高了這類算法全局尋優的能力，張玉順[15]利用GESO算法完成了鋼筋混凝土三維構件拓撲優化方法，張望喜等[16]在GESO基礎上提出了遺傳遞增演化結構優化算法(簡稱GAESO)。

當前，ESO、BESO和GESO等3種算法均可以穩定地獲得拓撲解，但由于其優化準則的差異，使得3種算法對同一構件完成優化時結果不盡相同。由此，以簡支深梁為算例，針對漸進演化類拓撲優化算法的優化準則進行對比研究，一方面討論確定性優化準則和概率性優化準則的差異，另一方面探索單向優化準則和雙向優化準則的差別，討論不同的優化準則造成優化過程和優化結果上的異同，并分析造成這種現象的原因，以探討不同優化準則的優劣和適用范圍。

1 漸進演化類拓撲優化算法對比

1.1 算法基本思想

漸進演化類算法的基本思想是先利用有限元軟件，對結構進行力學分析，借助分析結果獲取每一個單元的靈敏度并對之進行排序，以此判斷單元對于結構性能指標的貢獻度，再基于算法使用的優化準則，逐步刪除對整體結構性能指標貢獻較低的單元或者增加對結構性能指標貢獻較大的材料，促進結構向最優化解演化，最終使得結構能夠在滿足特定性能指標的前提下盡可能地降低材料的消耗，從而降低建造成本。

1.2 確定性和概率性的優化準則

優化準則是獲取最優拓撲的關鍵一環，有多種分類方法，第一種是按選擇優化單元的方式分為確定性優化準則和概率性優化準則。確定性優化準則是指在優化過程中選擇刪除的無效材料或增加的有效材料完全根據應力計算結果，優勝劣汰，如ESO算法即采用這種優化準則；概率性優化準則有所不同，如GESO算法即加入遺傳算法的遺傳和突變特性，以改變每代刪除或添加的單元位置和數量，實際選擇優化單元的方式具有一定的隨機特性，所以，重復一次完整的優化過程可能會得出有所區別的解，但大多數解應該大同小異。

1.3 不同優化方向的優化準則

優化準則的另一種分類方式是按優化方向進行劃分，當前包括正向優化、反向優化以及結合兩者而形成的雙向優化方法。正向優化即初始域是滿設計域，優化過程單向刪除低效和無效材料，演化出最優拓撲解；反向優化則剛好相反，初始域僅存在必要單元，優化過程單向補充高效材料，演化出最優拓撲解；雙向優化則取兩者所長，既可能從正向優化開始，也可能從反向優化開始，但伴隨優化的進行，迭代過程維持著一邊刪除低效和無效材料，一邊補充高效材料的雙向演化狀態，最終演化出拓撲解。

2 優化準則的確定性與概率性

從材料力學來看，深梁不滿足平截面假定，屬于典型的復雜受力構件，與適用于傳統抗彎和抗剪理論的淺梁受力有明顯區別。以深梁為例，探討采用確定性優化準則的ESO算法和采用概率性優化準則的GESO算法的差異。算例均以ANSYS有限元軟件為平臺，假定結構材質均勻，各向同性，且所有結構處于平面應力狀態，因此，選用PLANE82單元將鋼筋和混凝土視為復合材料，對其線彈性行為進行模擬，建模時輸入的材料彈性模量為E=3.0×104N/mm2，泊松比為v=0.2，網格劃分時單元尺寸設定為20 mm×20 mm，對結構進行線彈性分析，即僅考慮結構彈性階段的變形，忽略裂縫的開展和塑性階段的變形，在此參數設置下建立的有限元模型可以模擬鋼筋混凝土共同工作下梁彈性階段的受力變形情況。ESO算法每代淘汰單元個數為20，GESO算法中雜交率為0.2，變異率為0.2，最優個體選擇率為0.3。ESO算法和GESO算法的具體操作流程和淘汰率選取分別依據文獻[1]和文獻[14]的建議。

2.1 簡支開洞深梁數值算例

由于結構功能的需要，荷荷載有時作用于深梁下部，形成所謂的吊掛荷載，如料倉、水箱的側壁以及高層建筑的墻梁等都屬于下部受荷深梁。對三點承載的簡支開洞墻梁[17]進行優化，算例的結構尺寸為2 000 mm×1 000 mm，有兩個對稱洞口，洞口尺寸均為500 mm×500 mm，洞口位置及其他具體的幾何尺寸如圖1所示，梁底四分點處分別施加大小為P=40 kN的3個集中荷載，ESO算法的優化過程如圖2所示，GESO算法的優化過程如圖3所示。

從圖2(b)和圖3(b)可以看出，對于多點加載的簡支開洞深梁，兩種算法初期即在跨中的受壓區表現出顯著的差別，且造成該區域接下來優化過程中腹桿角度及腹部間拉桿位置的明顯差異(如圖2(c)和圖3(c)所示)，該區域的最優拓撲也有著較大的區別，ESO的兩根斜壓桿在底部交于一點，而GESO的兩根斜壓桿向下分別轉成豎直壓桿，形成了兩條完全不相交的壓力路徑(如圖3(d)和圖4(d)所示)。

經統計，ESO算法比GESO算法節省時間50%～60%。這是由于GESO算法需要進行遺傳的仿生過程，每一次迭代都需要進行選擇、雜交和變異，造成優化效率下降。由此可見，ESO盡管優化能力略弱于GESO，但卻有著更高的優化效率。

圖1 簡支開洞深梁幾何尺寸Fig.1 Dimension of simply supported deepbeam with openings

圖2 簡支開洞深梁ESOFig.2 ESO of simply supported deep beam with openings

圖3 簡支開洞深梁GESOFig.3 GESO of simply supported deep beam with openings

2.2 算例結果分析

兩種算法的優化過程表現出較大差異，這是因為：

1)ESO采用每代固定刪除單元數量或者刪除率，當部分區域內單元的靈敏度值十分接近時，也可能因刪除數量和浮點精度的影響而產生不對稱的單元刪除，并在隨后的優化過程中因應力重分布和應力集中加劇這種畸變現象。而GESO則會在計算完靈敏度后對單元進行變異和雜交等遺傳過程，再計算單元的適應度和每個單元被刪除的概率，正是因為這種全設計域內概率性選擇刪除方式，GESO一方面很大程度上降低了浮點計算精度產生畸變的可能，另一方面，即使早期少量畸變的發生，之后的概率性選擇刪除也能在一定程度上消除這種畸變。

2)根據文獻[18]推導的此類結構的Michell桁架解(符合滿應力的解析解)，壓桿之間的夾角整體上是均勻分布的，對稱軸附近適當減小。對比兩種算法下的拓撲解，GESO結果中一直保持著Michell桁架解的壓桿分布特性(如圖3(c)和圖3(d)所示)，其結果中上部斜拉桿的夾角要明顯小于ESO優化結果中的上部斜向拉桿(如圖2(c)和圖2(d)所示)，GESO的優化結果穩定性要明顯強于ESO優化結果。由此可知，GESO對于復雜應力構件的優化又優于ESO算法。

對于荷載條件、邊界條件或傳力路徑較模糊的構件，確定性優化準則誤刪單元的可能性更大(根據實例研究所知，對于受力簡單傳力路徑明顯的結構，ESO算法和GESO算法優化結果十分相似，誤差易收斂)。從圖2(d)和圖3(d)還能看出，ESO算法的優化程度只達到了70%，較GESO算法低5%，當對處于吊掛荷載下的開洞深梁這類傳力路徑復雜的構件進行優化時，ESO得到的最優拓撲的棋盤格現象和優化畸變均要大于GESO得到的最優拓撲，如各桿相交的節點處，不論對稱性還是演化出桿件的清晰度，GESO都略勝一籌。

3 優化準則中的優化方向

以深梁為例，探討優化準則中優化方向對優化過程及結果的影響。有限元分析參數及優化參數的選取基本與2.1節算例相同，BESO設定每代淘汰單元數為20，復活單元數為5，具體操作流程和優化參數選取參考文獻[2]。

3.1 固支開洞深梁數值算法

考慮到邊界條件越復雜，結構受力就越復雜，早期誤刪單元的可能性也越大，在尋求這種情形下的全局最優解時，加入復活機制形成雙向優化準則，優勢也更明顯，故選用與2.1節相同的構件尺寸和荷載條件，但將原有的兩端簡支換成了兩端固定支座，如圖4所示，ESO算法的優化過程如圖5所示，BESO算法的優化過程如圖6所示。

圖4 固支開洞深梁幾何尺寸Fig.4 Dimension of fixed-fixed deep beam with openings

圖5 固支開洞深梁ESOFig.5 ESO of fixed-fixed deep beams with openings

圖6 固支開洞深梁BESOFig.6 BESO of fixed-fixed deep beams with openings

從圖5(b)和圖6(b)可以看出，兩種算法初期差別不太大，僅ESO在跨中局部出現不對稱拓撲的小幅畸變，整體上結構左側單元數量略多于右側單元，在后續優化過程中，這一畸變效應產生的不對稱拓撲繼續發展，在整個結構頂部尤為明顯(如圖5(c)和圖6(c)所示)，最終得到的最優拓撲，ESO算法較BESO算法多刪除3%的單元量，ESO算法的結果依然在頂部呈現明顯的不對稱(如圖5(d)和圖6(d)所示)；而BESO在整個過程中對稱性保持良好，僅在最后階段兩側底部出現輕微不對稱畸變，且該畸變對最優拓撲影響不大。此外，與ESO略有不同的是，BESO的最優拓撲在跨中腹部保留有一根水平系桿。

經統計，ESO算法比BESO算法節省時間一半以上。這主要是因為BESO算法在完成類似ESO算法的靈敏度計算以刪除部分單元后，還需要對當前被刪除的所有單元進行二次靈敏度的計算以復活部分單元，所以優化耗時更長。

3.2 算例結果分析

兩種算法的優化過程和拓撲解表現出一定異同，這是因為：

1)首先，根據文獻[18]推導的此類結構的Michell桁架解(符合滿應力的解析解)展開分析可知，由于洞口位置對上部壓桿分布的影響，該結構的跨中腹桿不可能為一根豎直拉桿，圖5和圖6中的斜腹桿分布很大程度上符合Michell桁架解的桿件分布特性。

2)仔細對比可以發現，圖6(d)所示的BESO拓撲解中，跨中腹部水平系桿的兩端結點處，上下的斜腹桿間存在小角度的夾角，而圖5(d)所示的ESO拓撲解中，該位置沒有折角，對這兩個拓撲解建立桁架模型完成結構力學計算可知，一方面，圖6(d)中這根水平系桿對于保證其兩側的壓桿穩定有著重要的意義，另一方面，圖6(d)中斜腹桿的軸力小于圖5(d)中的斜腹桿。由此可見，BESO尋得的拓撲解優于ESO。

3)BESO比ESO尋優能力更強的原因在于其優化準則中存在的復活機制，當發生類似ESO過程中刪除單元引起拓撲優化進程向局優解或畸變發展時，能夠通過對被刪除單元進行靈敏度二次計算，復活一定比例的單元，三點加載的兩端固支開洞深梁相較于2.1節中的簡支開洞深梁具有更為復雜的邊界條件和傳力路徑，BESO的雙向優化準則一方面能在較大程度上消除畸變，另一方面可以對陷入局優的拓撲解逐漸修正，所以，BESO較之ESO擁有更強的全局尋優能力。

4 遺傳雙向漸進演化結構優化算法

單向和確定性優化準則的ESO算法，在面對較復雜的工程對象時，易于優化早期誤刪單元，導致優化過程出現畸變或陷入局部最優。GESO算法引入遺傳算法的概率思想，可以在一定程度上避免因確定性優化準則造成的誤刪；而BESO算法則通過改進出雙向優化準則，前期的誤刪單元有了被復活的可能，同樣能避免過早刪除最優解單元的問題。GESO算法的概率性優化準則和BESO算法的雙向優化準則均能在很大程度上減少優化過程中誤刪單元的問題，避免優化結果陷入局部最優解。

然而，GESO終因不可復活誤刪單元而存在局限性，BESO也終因確定性的優化準則而存在一定的弊端，所以它們的全局尋優能力依然還需進一步加強。將概率性優化準則和雙向優化準則結合，發展出遺傳雙向漸進演化結構優化 (簡稱GBESO) 算法是一條顯而易見的思路，其操作流程如圖7所示。在利用GBESO進行第2節和第3節的開洞深梁拓撲構造時，拓撲解呈現出一定的畸變，這可能是由于開洞后直接的傳力路徑受到阻礙，引起拓撲解復雜化，而當前對GBESO的開發還處于起步階段，對淘汰機制和復活機制間的權重關系研究還不充分，故僅以未開洞的簡支深梁作為算例，簡要展示GBESO過程，構件尺寸及拓撲優化分別如圖8和圖9所示。

圖7 GBESO算法流程圖Fig.7 Flow chart of GBESO algorithm

圖8 簡支深梁幾何尺寸Fig.8 Dimension of simply supported deep beam

圖9 簡支深梁GBESOFig.9 GBESO of simply supported deep beam

GBESO算法先使用遺傳算法對單元進行變異和雜交，初次刪除的單元中僅包含少數高應力單元，隨后使用雙向優化準則，對被刪除單元進行第二次靈敏度計算，復活其中被刪除的單高應力元，進一步減輕誤刪單元造成的結構畸變現象以獲取全局最優解。當然，一方面，算法的實現有待落實，算法的穩定性、普適性等多方位的性能也有待進一步驗證；另一方面，隨著概率性復活單元操作的加入，GBESO算法的優化效率可能會較GESO和BESO算法進一步降低，這也有可能成為限制其工程應用的一大障礙。

5 結論

1)ESO等采用單向和確定性優化準則的漸進演化類結構優化算法，易在優化前期誤刪單元，從而發生畸變和陷入局部最優，適用于荷載、邊界等條件較簡單的情形，在這些情形下能高效地得到拓撲解。

2)GESO等采用概率性優化準則的漸進演化類結構優化算法，因優化中引入變異率，有一定概率避免前期誤刪單元的問題，從而具有較高的全局尋優能力，但也正因為概率性的優化準則，穩定性和計算效率都不及確定性優化準則的算法。

3)BESO采用雙向優化準則的漸進演化類結構優化算法，優化過程中能夠復活前期誤刪的單元，因而較之單向優化準則的算法更易獲取全局最優解，適用范圍也更廣，但雙向優化的過程降低了其優化效率。

4)GESO和BESO的計算效率問題隨著計算機硬件的發展已處于工程上可以接受的水平，結合雙向和概率性優化準則發展出GBESO是進一步提高全局尋優能力的思路，但計算效率可能會進一步降低，此外，算法本身也有待更深入的研究以確定其穩定性和普適性等多方面的性能。