改進(jìn)的非參數(shù)時(shí)間序列模型在地下水位動態(tài)預(yù)報(bào)中的研究

楊淇翔，張瓊楠

(1.河南省水利勘測設(shè)計(jì)研究有限公司，鄭州 450016；2.水資源高效利用與保障工程河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，鄭州 450045)

0 引 言

地下水位是衡量生態(tài)環(huán)境優(yōu)劣和地下水資源的一個(gè)重要指標(biāo)，開展地下水位動態(tài)預(yù)報(bào)對于科學(xué)研判地下水位演變規(guī)律、保護(hù)地質(zhì)生態(tài)環(huán)境和分析評估地下水超采區(qū)治理工程效益重要的理論意義和實(shí)踐價(jià)值，尤其是最嚴(yán)格水資源管理制度下對開展水資源“雙控”行動意義重大。目前地下水動態(tài)變化預(yù)測的方法較多，概括來講主要分為以有限差分法、有限單元法等數(shù)值法為基礎(chǔ)的分布式參數(shù)數(shù)學(xué)模型和以人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、門限自回歸模型、混沌理論等非線性時(shí)間序列預(yù)測理論為基礎(chǔ)的集總式參數(shù)數(shù)學(xué)模型。應(yīng)當(dāng)指出，分布式參數(shù)模型雖然一定程度上地解決了解析法中要求的含水層均質(zhì)各向同性、結(jié)構(gòu)規(guī)則、分布無限等限制，但模型的建立需要大量水文地質(zhì)數(shù)據(jù)作為支撐，同時(shí)模型對初始條件、邊界條件具有較強(qiáng)的敏感性，決定了模型的預(yù)測結(jié)果有很大的不確定性；而集總式參數(shù)模型中，無論時(shí)間序列模型中的隨機(jī)項(xiàng)自回歸系數(shù)[1]、小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)上遺傳算法[2]、支持向量機(jī)中先驗(yàn)知識和適宜核函數(shù)的選用[3]等也影響著模型的預(yù)報(bào)精度。

可以看出，傳統(tǒng)的時(shí)間序列預(yù)測應(yīng)用研究主要集中于與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、自回歸模型等其他非線性理論的耦合[4-6]，模型結(jié)構(gòu)和計(jì)算過程相對較為復(fù)雜，尤其對于缺乏長期實(shí)測資料且影響因子關(guān)系復(fù)雜不明確的時(shí)間序列存在一定的局限性。鑒于此，本文借鑒相似預(yù)測理論，探討以最大相似度準(zhǔn)則改進(jìn)的非參數(shù)時(shí)間序列模型，并首次應(yīng)用于地下水水位動態(tài)預(yù)測的研究中，以期為地下水水位動態(tài)預(yù)報(bào)提供新的研究思路。

1 改進(jìn)的非參數(shù)地下水位動態(tài)預(yù)報(bào)模型建模步驟

設(shè)有地下水位時(shí)間序列Y={x(t)}(t=1,2,…,n)，鑒于含水層系統(tǒng)地下水位動態(tài)演變的滯后響應(yīng)效應(yīng)，即第t年地下水位x(t)取決于前m個(gè)相鄰樣本值x(t-1)，x(t-2)，…，x(t-m+1)，x(t-m)，定義集合Ai=[x(t),x(t+1),…,x(t+m-1)](t=1,2,…,n-m)的預(yù)測值為Ai的后續(xù)值x(t+m)。可簡單理解為：作為因變量的第(t+m)年地下水位預(yù)測值x(t+m)是集合At中m個(gè)自變量元素(影響因子)的函數(shù)：

x(t+m)=f[x(t),x(t+1),…,x(t+m),x(t+m-1)]

(1)

對于預(yù)測后續(xù)值第(n+1)年地下水位x(n+1)，可采用基于最大相似度的地下水位動態(tài)預(yù)報(bào)的集對分析模型，分析集合An+1=[x(n-m+1),x(n-m+2),…,x(n-1),x(n)]與At的同一度、差異度和對立度關(guān)系。具體建模步驟如下：

(1)構(gòu)造集合A1，A2，An-m和An+1及其對應(yīng)的后續(xù)值x(m+1)，x(m+2)，…，x(n)和x(n+1)，如表1所示。m取值不宜過小，否則不能客觀反映地下水位動態(tài)變化的滯后延遲效應(yīng)；m取值也不宜過大，否則地下水位時(shí)間序列非線性關(guān)系不能準(zhǔn)確表達(dá)，同時(shí)造成序列中變量間較強(qiáng)的相依性。m取值建議在區(qū)間4～6較為合適。

表1 地下水位時(shí)間序列構(gòu)成的集合表

(3)根據(jù)已建立的分類標(biāo)準(zhǔn)，符號量化第(n+1)年地下水預(yù)測水位x(n+1)所對應(yīng)的集合An+1=[x(n-m+1),x(n-m+2),…,x(n-1),x(n)]，集合An+1分別與(n-m)個(gè)集合At分別構(gòu)造集對H(An+1,At)t=(1,2,…,n-m)，將集合An+1～At對應(yīng)元素逐一進(jìn)行同異反比較分析。統(tǒng)計(jì)符號相同(同一性)的個(gè)數(shù)，記為S；統(tǒng)計(jì)符號相差一級(偏同差異)的個(gè)數(shù)，記為F1；統(tǒng)計(jì)符號相差二級(全差異)的個(gè)數(shù)，記為F2；統(tǒng)計(jì)符號相差三級(偏反差異)的個(gè)數(shù)，記為F3；統(tǒng)計(jì)符號相差四級(對立性)的個(gè)數(shù)，記為P。計(jì)算各集對H(An+1,At)的聯(lián)系度μt(An+1,At)。

(2)

式中：ωk為K個(gè)相似集合相對于集合An+1的權(quán)重，在數(shù)值上等于集合An+1中元素平均值與集合Ai元素平均值的比值。

2 實(shí)例分析

2.1 研究區(qū)概況

根據(jù)中牟縣水文地質(zhì)條件和地下水觀測井分布情況，由于18號觀測井位于極富水區(qū)，地下水位埋藏較淺，地下水位動態(tài)主要受黃河側(cè)滲影響，變化類型為徑流-補(bǔ)給型，年際與年內(nèi)水位變化相對較大，因此可選取18號觀測井驗(yàn)證改進(jìn)的非參數(shù)地下水位動態(tài)預(yù)報(bào)模型在地下水位預(yù)報(bào)中有效性的。根據(jù)水文地質(zhì)部門提供的地下水動態(tài)資料，本文以1999-2016年逐月淺層地下水埋深構(gòu)建時(shí)間序列，其中以1999-2014年時(shí)間序列數(shù)據(jù)構(gòu)建模型，以2015-2016年時(shí)間序列數(shù)據(jù)作為改進(jìn)模型的驗(yàn)證。

2.2 地下水埋深動態(tài)預(yù)報(bào)

2.2.1 地下水埋深年內(nèi)動態(tài)預(yù)報(bào)

2015年逐月地下水埋深值以1999-2014年月時(shí)間序列構(gòu)建模型，2016年逐月地下水埋深值以1999-2015年月時(shí)間序列構(gòu)建模型，為最大程度利用實(shí)測數(shù)據(jù)，2015年逐月地下水埋深值采用實(shí)測值。限于篇幅，本文以2015年5月地下水埋深為例詳細(xì)說明基于相似預(yù)測理論以最大相似度準(zhǔn)則改進(jìn)的非參數(shù)時(shí)間序列模型的預(yù)測過程。

(1) 將1999-2015年5月數(shù)據(jù)按照表1構(gòu)建12個(gè)集合A1～A12和當(dāng)前集合An+1(A13)，如集合A1=(5.24,5.19,5.15,4.90,4.88)分別對應(yīng)于1999-2003年5月地下水埋深時(shí)間序列，其后續(xù)值x(6)=5.10對應(yīng)于2004年5月地下水埋深值，依此類推。

表2 均值標(biāo)準(zhǔn)差法標(biāo)定預(yù)測精度等級

表3 集合A13的相似集合及其聯(lián)系度(數(shù))

(5)根據(jù)式(1)容易計(jì)算求出改進(jìn)的非參數(shù)地下水位動態(tài)預(yù)報(bào)模型下2015年5月地下水埋深 的預(yù)測值為6.03 m。同理可以計(jì)算出2015-2016年其他月地下水埋深的預(yù)測值，結(jié)果見表4。為直觀起見，圖2～圖3給出了基于改進(jìn)模型的2003-2004年逐月地下水埋深預(yù)測值和實(shí)測值的時(shí)間序列圖。

表4 中牟縣18號觀測井2015-2016年逐月地下水埋深改進(jìn)模型預(yù)測值與實(shí)測值對比

表4說明：在2015-2016年共24個(gè)月的地下水埋深預(yù)測值和實(shí)測值擬合序列中，相對誤差|δ|全部在20%范圍內(nèi)，符合《水文情報(bào)預(yù)報(bào)規(guī)范》(SL 250-2000)要求[7]。其中，|δ|≤5%有19個(gè)，占到79.2%；5%<|δ|≤10%有4個(gè)，占到16.6%；10%<|δ|≤15%有1個(gè)，占到4.2%。

圖1 中牟縣18號觀測井2015年逐月地下水埋深預(yù)測值與實(shí)測值對比

圖2 中牟縣18號觀測井2016年逐月地下水埋深預(yù)測值與實(shí)測值對比

另外，從圖1～圖2中可以看出，中牟縣18號觀測井2015-2016年年內(nèi)逐月地下水埋深動態(tài)模型預(yù)測值與實(shí)測值具有較好的擬合優(yōu)度，兩者呈現(xiàn)較強(qiáng)的趨勢性，即同時(shí)在人工開采占主導(dǎo)因素的每年7月地下水埋深達(dá)到最大值，在地表水體補(bǔ)給淺層地下水占主導(dǎo)因素的每年5-9月地下水埋深達(dá)到最小值。埋深值平均絕對誤差為0.30 m，其中最小絕對誤差僅為0.03 m，最大絕對誤差在2015年8月達(dá)到0.68 m，在2016年6月達(dá)到0.54 m，這是由于6～8月處于黃河調(diào)水調(diào)沙時(shí)段，地下水側(cè)向補(bǔ)給及受人類活動影響相對復(fù)雜，往往對應(yīng)著峰值轉(zhuǎn)變產(chǎn)生的隨機(jī)因素突變，模型由此產(chǎn)生了較大的系統(tǒng)誤差。

2.2.2 模型驗(yàn)證

(1)有效性和可靠度檢驗(yàn)。模型的有效性和可靠度可以通過分析所建立地下水位時(shí)間序列模型的實(shí)測值與預(yù)報(bào)值的絕對誤差、相對誤差及合格點(diǎn)數(shù)的百分率等指標(biāo)予以驗(yàn)證。本文采用后驗(yàn)差檢驗(yàn)法對模型的有效性和可靠度進(jìn)行驗(yàn)證[8]。將2015-2016年中牟縣18號觀測井地下水逐月埋深實(shí)測數(shù)據(jù)和模型預(yù)測數(shù)據(jù)為例進(jìn)行后驗(yàn)差檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果見表5所示。

表5 改進(jìn)的非參數(shù)地下水位動態(tài)預(yù)報(bào)模型后驗(yàn)差檢驗(yàn)結(jié)果

由表5分析可知，改進(jìn)的非參數(shù)地下水位動態(tài)預(yù)報(bào)模型應(yīng)用于中牟縣18號觀測井2015-2016年地下水逐月埋深預(yù)測中，C值均小于0.35，小誤差概率P均大于0.9，該模型泛化能力較好，預(yù)測精度較高。

(2)不同時(shí)間序列預(yù)測方法結(jié)果比較。為進(jìn)一步說明本文提出的基于最大相似度準(zhǔn)則的地下水動態(tài)預(yù)報(bào)模型的可靠性，考慮神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在時(shí)間序列預(yù)測中，過程較為煩瑣且預(yù)測結(jié)果受網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)、最小訓(xùn)練速率、動態(tài)參數(shù)、迭代次數(shù)、允許誤差等影響較大，擬選取與本文提出的模型預(yù)測思路、理論和方法相對一致的門限自回歸模型作對比分析。

以1999-2015年月時(shí)間序列構(gòu)建門限自回歸模型，預(yù)測2016年中牟縣18號觀測井地下水逐月埋深為例，門限變量延遲取2，模型延遲階數(shù)取6，經(jīng)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理，門限值為5.156 9，相關(guān)系數(shù)為0.915 8，2016年18號觀測井地下水逐月埋深預(yù)測值見表6。

表6 本文模型與門限自回歸模型預(yù)測結(jié)果比較

根據(jù)《水文情報(bào)預(yù)報(bào)規(guī)范》(SL 250-2000)，在2016年共12個(gè)月的地下水埋深預(yù)測值和實(shí)測值擬合序列中，本文提出的基于最大相似度準(zhǔn)則的地下水動態(tài)預(yù)報(bào)模型和門限自回歸模型相對誤差均全部在20%范圍內(nèi)。但門限自回歸模型相對誤差|δ|≥10%有3個(gè)，占比25%；5%<|δ|≤10%有5個(gè)，占比42%；|δ|≤5%僅有4個(gè)，占比33%，相對本文提出的模型預(yù)報(bào)精度較低。門限自回歸模型預(yù)報(bào)誤差較大的月份出現(xiàn)在7月、11月和12月，主要原因是受黃河河道水位變化較大，側(cè)向補(bǔ)給條件復(fù)雜等因素影響，延遲階數(shù)范圍內(nèi)的最優(yōu)回歸模型擬合度較差，地下水位預(yù)報(bào)精度降低，而本文提出的改進(jìn)的非參數(shù)時(shí)間序列預(yù)測模型可以最大程度利用多個(gè)最相似的歷史樣本的地下水位，減小系統(tǒng)隨機(jī)誤差，提高預(yù)報(bào)精度。

2.3 結(jié)果分析

(1)本文提出的五元聯(lián)系度模型刻畫了地下水時(shí)間序列中集對H(An+1,At)的同一度、差異度以及對立度的復(fù)雜非線性關(guān)系結(jié)構(gòu)，不確定性關(guān)系能夠定量予以表示。例如，表4中在預(yù)測中牟縣18號觀測井2015年8月地下水埋深中，集合An+1(A13)與集合A6的同異反聯(lián)系度向量(0,0.4,0.4,0.2,0)表示對應(yīng)元素均值標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)定的等級下，集對(A13,A6)中對應(yīng)元素等級相同的同一度為0，相差1級的偏同差異度為0.4，相差2級的全差異度為0.4，相差3的偏反差異度為0.2，相差4的對立度為0。

(2)改進(jìn)的非參數(shù)地下水位動態(tài)預(yù)報(bào)模型從同異反聯(lián)系度的角度來測度地下水位時(shí)間序列歷史樣本之間的相似性，以最相似歷史樣本的地下水位作為設(shè)定月(年)地下水位的預(yù)測值，為地下水位動態(tài)預(yù)報(bào)提供了新穎的研究思路。此外，本文提出的地下水埋深模型改進(jìn)了傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)預(yù)報(bào)理論的模式，即預(yù)報(bào)函數(shù)形式是隨著歷史數(shù)據(jù)資料變化而變化的。因此，基于樣本之間最大相似度的預(yù)報(bào)模式符合地下水文系統(tǒng)的實(shí)際演變情況。表4從絕對誤差-相對誤差的角度，說明改進(jìn)的非參數(shù)地下水位動態(tài)預(yù)報(bào)模型應(yīng)用于地下水埋深預(yù)報(bào)中具有較高精度，達(dá)到了相關(guān)規(guī)范要求；圖2～圖3直觀表明預(yù)測值與實(shí)測值具有較高的擬合度，年最大埋深月份和最小埋深月份等趨勢性基本保持一致，符合觀測井區(qū)域補(bǔ)徑排特征和動態(tài)變化特性。總體來講，改進(jìn)的非參數(shù)地下水位動態(tài)預(yù)報(bào)模型依據(jù)科學(xué)合理，計(jì)算過程簡單有效，在時(shí)間序列分析預(yù)測中具有較好的推廣應(yīng)用前景。

3 結(jié) 語

本文提出的改進(jìn)的非參數(shù)時(shí)間序列預(yù)報(bào)模型在地下水位動態(tài)預(yù)報(bào)中的應(yīng)用以定量的形式描述了的樣本間的相似度，如何更準(zhǔn)確、客觀地量化聯(lián)系度是提高地下水位動態(tài)預(yù)報(bào)精度的關(guān)鍵問題，而差異度不確定性系數(shù)I的取值是值得深入探討的。本文的重點(diǎn)在于闡述集對分析在地下水位動態(tài)預(yù)報(bào)中的應(yīng)用研究，而差異度不確定性系數(shù)I1、I2和I3的取值為方便起見采用特殊值法分別賦值為-0.5、0、0.5，但特殊值法有可能成為地下水位動態(tài)預(yù)報(bào)中相對誤差偏大、預(yù)報(bào)精度偏低的原因之一。以2015年8月的埋深值預(yù)測為例，預(yù)測絕對誤差為0.68 m，相對誤差達(dá)到10.78%，而此時(shí)歷史樣本之間的最大相似度(聯(lián)系數(shù))為0.4，也就是說以聯(lián)系數(shù)0.4作為最大相似度是值得商榷的。

因此，三角模糊數(shù)法[9]、梯形模糊數(shù)法[10]以及文獻(xiàn)[4]提出的馬爾科夫理論優(yōu)化差異度不確定性系數(shù)等方法為深入研究I的合理取值提供了理論指導(dǎo)。同時(shí)，本文基于均值標(biāo)準(zhǔn)差法對集合At中各個(gè)元素進(jìn)行了等級分類和符號化處理，在此基礎(chǔ)上界定了集對H(An+1,At)的同一度、差異 度和對立度，但尚缺乏堅(jiān)實(shí)的科學(xué)基礎(chǔ)，也需要對集對分析原理進(jìn)行深度探索。以文獻(xiàn)[9]提出的以三角模糊數(shù)確定聯(lián)系數(shù)為例，針對差異度系數(shù)I在區(qū)間[-1,1]連續(xù)變化特征，可引入α截集和置信區(qū)間概念，確定不同α取值條件下置信區(qū)間長度的變化規(guī)律，以置信區(qū)間形式而不是一個(gè)固定值預(yù)定地下水位埋深是值得深入研究的。

此外，地下水系統(tǒng)是一個(gè)受水文地質(zhì)條件控制,并受降雨、氣候和人類工程活動等多種因素影響而發(fā)展演化的非線性耗散動力結(jié)構(gòu), 內(nèi)部各因素之間以及內(nèi)部因素與外部因素之間存在著復(fù)雜的交互作用和因果關(guān)系，并且具有明顯的混沌特征。對于聯(lián)系數(shù)的確定，還需進(jìn)一步探討研究如何在集對分析框架下與隨機(jī)性、灰色性、模糊性、未確知性、分形和混沌等其他理論耦合以定量深入表征不確定性關(guān)系。混沌理論中的相空間重構(gòu)技術(shù)從實(shí)際單因變量時(shí)間序列拓?fù)錇閯恿W(xué)系統(tǒng)吸引子結(jié)構(gòu)未改變的高維空間，包含了系統(tǒng)所有變量長期的演化信息。因此，從相空間重構(gòu)的角度出發(fā)尋求時(shí)間序列的混沌特征、時(shí)間延遲τ和嵌入維數(shù)m的確定方法，構(gòu)建混沌-集對分析耦合模式進(jìn)行降水-徑流、地下水動態(tài)預(yù)報(bào)等水文預(yù)測將成為時(shí)間序列新的研究方向和熱點(diǎn)，同時(shí)對于優(yōu)化聯(lián)系數(shù)取值、提升集對分析應(yīng)用研究也具有重要的意義。

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