LED全反射透鏡計算新方法

周士康，杜 金，陳春根

(上海三思電子工程有限公司，上海 201199)

引言

全反射(TIR)透鏡具有其他類型透鏡無法達到的高效率。有兩個原因造成了TIR透鏡的高效率，其一是這種透鏡可以將LED發(fā)出的全部180°的光收集并射出去，其二是采用了反射率近100%的全反射面。

目前大多數(shù)LED為熒光粉轉換白光LED，而由于熒光粉和芯片的位置有偏移，藍光和黃光經(jīng)過透鏡出射后的方向也將有偏移，使得照明產(chǎn)生了色差。不過由于這一偏移的方向在反射時和透射時相反，因此當透鏡中既有反射又有透射時上述偏離會在一定程度上抵消，這使得TIR透鏡會比其他類型的透鏡的色差小些。

正是由于TIR透鏡以上獨特的光學性能，才使得TIR透鏡成為目前市場上使用量最大的LED透鏡。透鏡設計時，廠家往往是選擇一個已有的透鏡，用商用模擬軟件對透鏡的形狀加以修改。由于現(xiàn)有的計算方法[1-7]大多比較復雜，用戶需要一個方便的計算透鏡形狀的方法。本文用光通量線(LFR)方法[8]較好地解決了LED的TIR透鏡的計算問題，沒有復雜的計算，而且可以用在許多場合。

1 透鏡表面形狀計算的光通量線方法

1.1 求單個小面的基本方法

可以由兩條LFR依據(jù)折射定律計算得到一個透鏡的小表面。用圖形表示如圖1所示，由入射線方向、折射線方向用折射定律求得折射小面法線的方向。其中偏折角是指光線的入射角和折射角之差，透鏡表面的作用就是“偏折”光線。也就是已知折射點以及入射和出射兩個角度，求得折射小面方向。而兩組LFR將計算得到N個首尾相接的小面(折線)，當N很大時，折線就變成平滑曲線。

在本文的光通量線(LFR)方法[8]中，LFR既有各自的方向又有相同能量。這樣，照度分布就成了LFR的密度分布，LFR密集的地方能量就大，照度就高，只要求得LFR的分布，就可求得該照度分布下的透鏡形狀，可以比較容易地處理預先給定的照度分布問題。本文也有給定表面求LFR方向的情況。此時就像常規(guī)情況那樣，是已知折射點、入射線和折射面，求折射線方向。

1.2 求整個單面的方法

求整個表面的形狀需要知道該面的所有入射線的位置和方向以及所有出射線的方向，但并不需要知道所有折射點的位置，只需要知道起始點的位置即可。因為用1.1的方法求得第1個小面后，再求該面和第2條入射線的交點就是第2小面的起始點，這樣可以逐次求得全部小面，從而得到整個面，見文獻[8]。

可見LFR方法求一個表面的關鍵是得到該表面所有入射線和出射線的角度，構成兩個序列。

例如，設光從位于坐標原點的LED出發(fā)，12條入射LFR如左方的射線簇所示，已知右方的12條線的角度代表了出射線的方向，折射面的起始點在x=6，可以依次求得12個小面，如圖2所示，求得的表面一般是一個自由曲面。這一過程很容易寫成子程序，應用于所有面的計算。

正是因為LFR賦予了能量的屬性，所以就可以由照度分布求得出射LFR的角度分布，這樣才能事先給定照度分布來計算表面形狀。此外，此方法的限定條件是被照明的尺度比透鏡尺度大得多的情況，這樣才能只關心出射光線的方向而不關心其落點。

圖2 由兩個方向序列求一個面

2 TIR準直透鏡的計算

2.1 符號及分區(qū)

本文討論的問題限定在具有5個光學面的TIR透鏡。我們把透鏡劃分為兩部分，A區(qū)有2透射面，B區(qū)有1個反射面和2個透射面，如圖3所示。本文中使用的符號定義如下：

Na：A區(qū)光線數(shù)；

Nb：B區(qū)光線數(shù)；

N：光線總數(shù)，N=Na+Nb；

Io(α)：物方光強分布函數(shù)；

IM(β)：像方光強分布函數(shù)；

EM(β)：像方照度分布函數(shù)；

α1：A區(qū)中面1入射線角度序列(Na維)；

β2：A區(qū)中面2出射線角度序列(Na維)；

α3：B區(qū)中面3入射線角度序列(Nb維)；

β5：B區(qū)中面5出射線角度序列(Nb維)；

γ12：面1面2間的光線角度序列(Na維)；

γ34：面3面4間的光線角度序列(Nb維)；

γ45：面4面5間的光線角度(Nb維)；

SO：物方總能量；

SM：像方總能量。

以上定義使用的一般規(guī)則為：α代表入射線角度，β代表出射線角度，γ代表透鏡內部光線角度，注意αβγ等代表的是多個數(shù)組成的序列。I為光強，E為照度，S為能量，O為物方，M為像方。阿拉伯數(shù)字代表表面的序數(shù)，其中α和α3共同組成透鏡的入射線，β2和β5共同組成透鏡的出射線。這里我們沿用了幾何光學的物方(LED方)和像方(照明方)的概念。

第一個例子是一個如圖3所示的最簡單的平表面TIR準直透鏡[9，10]。面5和面1重合，且垂直于光軸，面4為全反射面，其余各面均為透射面。

圖3 平表面TIR透鏡

2.2 求物方LFR分布

為了求得表面形狀，我們需要求得該面的所有入射和出射LFR的角度。由于LED向某一方向發(fā)射的光通量正比于該方向的光強與立體角的乘積，因此可以即將光強分布曲線在整個發(fā)光角范圍內積求得總光通量SO。再將SO等分成N份，讓每一份的能量和方向用一條LFR來代表，這N份就給出了N條LFR。這就得到了既有相同能量又有方向的物方LFR方向的分布。

物方光強分布是已知的。以Osram WSAM和Cree 7090這兩種LED為例，其光強分布可以是廠家給出的或測量得到的極坐標下的曲線，如圖4所示，顯然應該得到不同的LFR分布。

圖4 LED光源的光強分布函數(shù)

現(xiàn)有的非成像光學設計方法[1-7]都是把LED看成是朗伯體，其光強分布為相同的余弦分布。而在LFR方法中，余弦分布只是一個特例，可見本文的方法更為廣泛且精確。

本文用一個數(shù)學函數(shù)來表示LED的光強分布函數(shù)。這函數(shù)可以用常見的擬合方法來求，一般是一個分段函數(shù)，令其為I0(α)。

物方的總能量設為SO，它應正比于光強分布函數(shù)對全部角度的積分：

(1)

其中αa和αb為物方邊緣光線的角度。把SO分為相等的N份，而每一份中有一條LFR，此LFR的方向αi是通過式(2)的N個方程來求得的。這樣的方程用Maple或Matlab等數(shù)學工具很容易求解。

(2)

這就得到了物方LFR角度數(shù)列α=αi(i=1，…，N)：

α=(α1,α2，…，αN)

(3)

2.3 求像方LFR分布

由于我們不知道像方的光強分布IM(β)，只知道用戶要求的照度分布EM(β)，因此像方的LFR計算和物方的略有不同。

對于平面被照明面，IM(β)與EM(β)有著確定的關系，可以由圖5推得其關系式。圖中O為LED的位置，設其法向沿直線OA，A為垂直被照明的位置。由照度的距離平方反比定律可知在被照明面上任一點B處的發(fā)光強度IM(β)應該為IM(β)=EM(β)·(OB)2=EM(β)·((OA)2+(OB)2)=EM(β)·(OA)2(1+tan2(β))∝EM(β)·(1+tan2(β))，其中1+tan2(β)就是像面為平面時照度與光強的關系因子。

圖5 平面像面的照明示意圖

有了IM(β)，就可以與物方的方法類似，以像方邊緣光線的角度βa和βb為積分區(qū)間，由式(4)得到式(5)，從而求得像方光通量線的角度數(shù)列如式(6)所示。

(4)

(5)

β=(β1,β2，…，βN)

(6)

于是就得到了式(3)的入射LFR角度分布α和出射LFR分布角度β，可以將兩者建立一一對應的關系。

2.4 光通量線分區(qū)

得到式(3)和式(6)后，把它們各分成兩部分。舉例說明，令N=22，分為Na=12和Nb=10，α和β就各自分成了兩部分，分屬A和B兩個區(qū)，這兩部分比例將影響透鏡的形狀。

(7)

(8)

2.5 A區(qū)面1面2的計算

首先給定面1面2的起點，分別為光軸上的兩個點x=6和x=23，其位置決定了TIR透鏡的尺寸。在本文的特殊情況下，已知面2為垂直平面，出射為平行光，即β2=0, 因此有γ12=0。用2.2節(jié)的方法順序計算得到面1的Na個小面，見圖6。

圖6 A區(qū)表面的計算結果

在一般情況下，面1和面2的計算和一般雙面透鏡的計算是一樣的[2]。為了同步計算兩個面，引入表面的“偏折力”的概念[9]，其含義是表面偏折光線的能力。圖1給出了偏折角的含義。令面1和面2的偏折力的權重分別為C1和C2，則由文獻[11]中的方法可得透鏡內部光通量線角度的數(shù)列為：

(9)

當C1=C2時，

(10)

γ12=(γ121,γ122，…，γ12Na)

(11)

這就得到了三個LFR角度數(shù)列：物方的數(shù)列、像方數(shù)列以及透鏡內部LFR的角度數(shù)列。注意這三個數(shù)列中所有α1i都從原點出發(fā)，γ121從點x=6出發(fā)，β21從點x=23出發(fā)，得到面1面2的第1個小面后再用1.2節(jié)的方法得到面1面2的全部小面。

2.6 B區(qū)面3的計算

B區(qū)有三個待定面(面3面4面5)，只需要使其滿足α3和β5這兩個角度序列，因此可以在一定程度上選擇面3的形狀，常常用一條與水平軸線成一個小夾角的直線，這樣有利于零件注塑時拔模，此時γ34可以方便地用常規(guī)折射定律得到，見圖7。

圖7 面3為一斜線

2.7 B區(qū)反射面4和出射面5的計算

為了透鏡邊緣有一定厚度，可以選擇面4的起點離面3的終點有一定距離。現(xiàn)在由于γ34已知，還需要知道γ45。在本例的簡單情況下，輸出平行光，即β5=0,γ45=0，這就可以用2.2節(jié)的方法依次求得面4的位置，結果是一個自由曲面，見圖8。

圖8 面4為自由曲面

用γ45=0和β5=0，雖然面5已知，仍然按照1.2節(jié)的方法求得面5為一個平面，見圖9。最后結果見圖10。

圖9 面5為一垂線

圖10 平表面準直透鏡最后計算結果

在本文的簡單情況下，面2面3和面5都是給定的直線，但為了編寫程序簡單化，在實際情況下它們仍然是用由LFR的角度計算出來的，結果和給定的面完全一致。

在一般情況下，β5≠0,γ45≠0，還可令面5的起點離面2的終點有一定距離，并由式(9)的β5和γ45求得面5。

3 其他類型透鏡

3.1 非準直透鏡

本方法處理非準直透鏡十分簡單，這就是一般給定照度分布的透鏡計算。這時β2，β5，γ12和γ45均不為0。用2.2節(jié)的方法可以求得像方LFR的分布β2和β5，然后用由常規(guī)折射定律計算得到γ12和γ45，再用同一程序計算，得到面2面5為平面。

此時，面2和面5的出射角度范圍可以重合，也可以各自不同。這給設計帶來了靈活性，也就是說，照明的要求可以由β2和β5的序列的分布協(xié)同來達到，這要結合A和B兩區(qū)的分區(qū)情況及照度要求靈活掌握。

圖11為平表面非準直透鏡的一個例子。光束角為40°，N=22,Na=12,Nb=10,β2和β5的分布范圍相重合。

圖11 平表面光束角40°

3.2 非平表面透鏡

為滿足光學和結構上的一些要求，例如希望有更大的出射光束角，TIR透鏡表面可以是非平面，這用本方法也易于解決。非平面表面的TIR透鏡，也可以處理給定照度分布的情況，再結合選擇不同的計算起點，可以得到多種類型的TIR透鏡，下面只舉其中的兩個例子。

給定下列條件：β2≠0，β5≠0；β2和β5的范圍重合；面5為直線；面5的起點和面2的終點重合；出射光束角為60°；N=22,Na=12,Nb=10；C1=C2。用2.5節(jié)的方法可以同步求得面1面2，C1，C2的變化還可以方便地改變面1面2的形狀。圖12是C1=C2時的計算結果，相比面2為平面的情況，這時面1的曲率半徑較大，這將有利于加工，而且由于入射角相對于平表面的TIR透鏡的要小，其Fresnal反射也小，從而雜散光也會變小[11]。

圖12 凸表面TIR 透鏡60°光束角

如果給定面5的起點和面2的終點不重合，則會得到圖13的結果。這種透鏡的優(yōu)點是重量減少而且注塑后形變小，這在需要比較大的透鏡時常常被使用。這里，為了控制透鏡形狀不致太大，還給定了γ34的范圍，并使得面3為一個自由曲面。

圖13 一種下陷表面的TIR透鏡

3.3 全景TIR透鏡

如果計算時把類似圖12的透鏡對稱軸旋轉90°，就可以得到360°的TIR透鏡。圖14是一個機場用的障礙燈的計算結果，計算方法和上面的其實是一樣的。這里透鏡注塑時拔模的方向不同了，所有面都不是直線而是自由曲面，從而得到了十分緊湊的透鏡形狀。出射光強分布見圖15，達到了全景照明的要求。

圖14 機場障礙燈用的全景透鏡

圖15 全景透鏡的光強分布

以上都是旋轉對稱透鏡，這種2維的計算實際上還可以通過選擇不同的照度分布，選擇各面是否為直線，選擇各面的起始點的位置等來得到多種形狀的透鏡，在此不一一列舉。

3.4 非旋轉對稱透鏡

本方法也可以處理非旋轉對稱的透鏡。此時，要給定各個橫截面上不同的照度分布，用3維坐標系計算。圖16給出一個18個截面N=20時計算結果的圖形，這是一個橢圓形照度分布的TIR透鏡，但由于非子午光線的影響，情況會復雜得多，這里不再詳細描述。

圖16 橢圓照明光斑時的非旋轉對稱TIR透鏡

4 結論

通過給定各面入射線和出射線角度序列和起始點的位置可以求得透鏡的表面，其形狀和大小都易于控制。計算過程簡單，不需要如求解偏微分方程等復雜的方法。而且每一步驟的物理意義和和幾何表示都很明確。在計算透射區(qū)時，通過設置兩個表面的偏折能力權重，可以同步計算和控制兩個表面的形狀。本方法適用范圍很廣，可以計算平面表面、自由曲面表面、非準直透鏡、事先給定的照度分布和非旋轉對稱透鏡等類型的透鏡。