關于Boussinesq型水波方程理論和應用研究的綜述

孫家文，房克照，劉忠波，范浩煦，孫昭晨，王平

( 1. 國家海洋環境監測中心 國家環境保護海洋生態環境整治修復重點實驗室，遼寧 大連 116023；2. 大連海事大學 交通運輸工程學院，遼寧 大連 116026；3. 大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室/DUT-UWA海洋工程聯合研究中心，遼寧 大連 116024)

1 引言

波浪從深水傳播到淺水的過程，存在反射、折射與繞射、淺化以及近岸水域破碎等復雜的物理現象。在這一過程中，波-波非線性相互作用、波浪的頻散以及潮流等背景水流的存在，讓水波呈現出更加復雜的形態。海港碼頭、防波堤等水工建筑物，防止海灘侵蝕等突堤工程和潛堤工程以及各類人工島工程等的建設，都應充分考慮波浪荷載。設計波浪對于海岸工程建設有十分重要的意義，精確把握從一定深水到工程前沿范圍內的波浪情況十分必要。近年來，伴隨著計算機性能的突飛猛進，波浪數值模擬成為極為有效的方式，這又進一步促進了各類水波理論模型，如緩坡類水波方程、Boussinesq型水波方程和非靜壓水波模型等的發展。下面主要從理論推導和數值應用兩個方面對1967-2018年間常用的Boussinesq型水波方程研究歷程進行回顧。

1872年，法國科學家Boussinesq[1]假定水深為常數，垂向速度沿水深呈線性分布，得到一組水平一維弱色散的非線性方程，開啟了對Boussinesq類水波方程研究的大門，后人為紀念他的重大貢獻稱該方程為Boussinesq方程。其后國內外學者也推導了很多此類水波方程，稱為Boussinesq型（類）水波方程。

Peregrine[2]于1967年推導了可以考慮水深變化的水平二維Boussinesq型水波方程，該方程后來被稱為經典Boussinesq型方程，其水平一維表達形式為

經典的Boussinesq型方程有如下特點：（1）控制方程為質量守恒的連續方程和無黏不可壓動量方程，其中動量方程中的時空三階混合導數項稱為色散項，是Boussinesq型方程區別于淺水長波方程的主要標志。（2）以波面和水深積分平均速度為變量，該方程可以模擬波浪折射、繞射、反射和波浪間的相互作用等；其中，波浪繞射體現在二階色散項中存在對空間x和y的混合導數；波浪非線性相互作用主要源于和項。（3）該方程是弱色散性和弱非線性的，其中非線性參數和色散性參數分別是（ A為波幅，h為特征水深）和（L為特征水深），弱非線性與弱色散性假定是指，這表明方程的色散適用范圍是有限的，僅適用于淺水區域的波浪模擬，當波浪相速度誤差不大于5%時，其適用水深僅約為0.2倍深水波長，滿足不了實際工程對水深的要求；而弱非線性則表現為方程中與二階色散性相匹配的非線性項的缺失。（4）該方程不能考慮環境水流的影響，因為方程中沒有包含水流引起的波長變化的多普勒效應項，如與相關的項。（5）盡管國內外學者習慣稱呼方程（1）為精確的連續方程，但其中的速度和方程（2）中的速度是同一變量，由于方程性能限制，該速度并不精確。因此，方程（1）僅在表達形式上是精確的，其他以水深積分平均速度表達的Boussinesq型方程均存在同樣問題。（6）方程中不含有垂向速度，這將復雜的三維水波問題簡化為二維水波問題，因而大大提高了計算效率。

克服上述經典Boussinesq方程存在的缺陷和不足需要引入評價模型精度的度量標準。在建立方程的色散關系式與Stokes線性波色散關系式的關聯問題上，Witting[3]的工作是開創性的，其成功引入了Padé逼近的方法，為Boussinesq型方程色散參數的確定提供了一種最直接有效的方法。為了改善經典Boussinesq型方程在色散性、非線性、波流相互作用等方面的性能，國內外眾多學者做出了不懈的努力，極大推動了Boussinesq型方程的發展。本文以方程中是否含有明顯的垂向速度為標準，將Boussinesq型水波方程分為水平二維和三維兩種情況。多數Boussinesq型水波方程歸納為水平二維方程，控制方程中不存在明顯的垂向速度，其在推導過程中表達為水平速度的顯式函數。這將最終方程的空間維度減少了一個，因此三維復雜問題簡化成水平二維問題是眾多Boussinesq型方程的一個最顯著的特征，其帶來的最大便利就是數值模型的計算效率得到了相當程度的提高。而另外一類則是三維Boussinesq型方程，它的顯著特征是垂向速度在控制方程中仍是獨立未知量。伴隨著計算機硬件技術的發展和并行計算技術方法的出現，三維Boussinesq型方程的計算效率已不再是一個主要限制。事實上，Boussinesq型方程是勢流理論，三維Boussinesq型方程在精度方面不斷逼近以Laplace方程為控制方程的勢流理論，并且計算效率比三維波浪勢流理論要高。因此，三維Boussinesq型水波方程順應了當前海岸（海洋）工程的發展需求，也是水波理論研究領域的前沿方向之一。

2 Boussinesq型水波方程的理論研究

2.1 水平二維Boussinesq型水波方程

2.1.1 注重改進色散性能

Madsen等[4-5]在動量方程中人為加入含有待定系數的三階項，通過與精確線性色散關系的Padé展開擬合確定系數，使方程的色散性達到了O(μ2)（在允許色散性誤差為5%時，kh≤3，k為特征波數）。Madsen等[4]方程系數的確定也考慮了Witting的工作，進而Madsen和S?rensen[5]首次給出了Boussinesq型水波方程的變淺作用系數，該方程后來發展為MIKE軟件中的BW模塊，已被廣泛地用于海岸和近海工程中波浪數值模擬。該方程以通量形式表達，含有不完整的二階非線性項。由于方程推導時通過采用長波方程假定引入了三階項，水平速度沿垂向分布的表達式將不再適用，類似的問題也存在于以水深積分平均速度表達的其他Boussinesq型水波方程中。

與Madsen等理論推導工作不同，Nwogu[6]從歐拉方程出發，建立了以波面位移和沿水深任意處速度為基本變量的弱非線性Boussinesq方程，通過確定速度具體位置Zα可使方程色散性精確到Airy波精確解的Padé[2, 2]階近似。Nwogu推導的方程僅包含弱非線性項，其形式上完全類似于經典Boussinesq型水波方程的弱非線性項。推導該方程的初始目的只是為了改善方程的色散精度。有趣的是，該方程的水平速度沿垂向分布是二階表達的，精度卻相對較高，明顯優于Madsen等[4-5]的方程。在應用Nwogu[6]方程進行數值模型時應注意，在取水平速度位置為Zα=-0.531h時，方程的淺化作用性能較差。

Sch?ffer和 Madsen[7]對 Nwogu[6]模型進行了色散適用水深的擴展，得到了一個含有5個待定參數的改進型Boussinesq方程，通過優化待定參數的取值，可使色散性精確到Airy波精確解的Padé[4, 4]階近似，使其應用水深達到kh≤6。Chen和Liu[8]給出了以水平速度勢和波面位移表達的改進型Boussinesq型水波方程，進而又將方程進行了頻域化處理。與Madsen等[4-5]采用的長波假定類似，Beji和Nadaoka[9]在經典Boussinesq方程基礎上，引入一個改善色散性的參數，推導出一組改進色散性的弱非線性Boussinesq型水波方程。林建國等[10]在經典Boussinesq型水波方程基礎上，首先引入變換速度取代水深積分平均速度，繼而采用類似Sch?ffer和Madsen[7]的方式，最終給出了一組以變換速度表達的弱非線性Boussinesq型水波方程，該方程的色散適用水深也達到kh≤6。與以上處理方式不同，張永剛和李玉成[11]在Nwogu[6]模型基礎上，采用了兩個不同位置處的速度，并以兩層速度進行加權的方式重新改寫連續方程，給出了一組新型的弱非線性Boussinesq型水波方程，該方程的最大色散適用水深也是kh≤6。

以上這些方程主要為了改善經典Boussinesq型水波方程的色散精度，方程中的二階非線性項或被忽略，或部分保留，導致方程僅具有弱非線性特征。同時，大多數方程變量對空間的導數最高為3，其中有的方程是引入了項，有的是原始方程本身就含有類似項（速度u可以是某一水深處的速度，也可以是偽速度（計算速度））。為了避免求解三階空間導數，Zhao等[12]推導了一組以波面位移和水平速度勢表達的弱非線性二階Boussinesq型水波方程，該方程最高空間導數僅為2，便于數值計算程序的開發。

2.1.2 注重改進線性變淺性能

Madsen和S?rensen[5]首次給出了Boussinesq型方程變淺梯度的概念。其后，Chen和Liu[8]和Sch?ffer和Madsen[7]也強調了變淺作用。Beji和Nadaoka[9]認為，對他們的方程而言，無論采用Madsen等[4-5]推薦的方式，還是從能量守恒角度出發，兩種方式推導的變淺梯度是一致的，這引發了Sch?ffer[13]的討論。事實上，采用能量守恒或Madsen等推薦的方式恰好適用Beji和Nadaoka的方程，一些變淺系數的引入則有助于改善方程的變淺性，我們更認同Sch?ffer的觀點。另有 Zou[14-15]，Lynett和 Liu[16]，Liu 和 Sun[17]也對針對變淺作用的改善進行了研究。近年來一些學者，如Galan等[18]和Simarro等[19]在Chen和Liu[8]提出的線性變淺波幅基礎上，對前人的一些Boussinesq型水波方程進行色散和變淺性能改善時系數選擇上進行了一定的探討和研究，認為通過適當選擇系數可較大幅度提高變淺作用性能。與Simarro等[19]的觀點類似，劉忠波等[20]則又強調，采用計算速度（偽速度）取代原方程中的速度變量可以改善如Lynett和Liu[16]和Wei等[21]的Boussinesq型方程在色散性和變淺性能方面的性能。

2.1.3 注重改善非線性性能

不同頻率波浪之間相互作用時，除產生與各自頻率成整倍數的高階非線性波幅外，還會產生和頻（頻率相加）與差頻（頻率相減）波幅。通常用Stokes波的二階、三階波幅以及和（差）頻波幅來考察Boussinesq型方程的非線性性能。

Wei等[21]將Nwogu[6]的Boussinesq型方程發展到近似到二階完全非線性，美國特拉華大學Kirby團隊以該方程為基礎開發了FUNWAVE模型，由于代碼開源，在國內外得到了廣泛的應用，諸多學者利用該數值軟件進行了更為廣泛的科學研究工作，在較大程度上提升了該方程的知名度。必須注意，該方程的變淺性能與Nwogu[6]的Boussinesq型方程一樣，是具有短板的，后續Kirby團隊采用了雙層加權形成偽速度模式改進了該方程的變淺性能。但遺憾的是，這一改進未能體現在后續開發的各版本FUNWAVE代碼中，因而這一問題也引發了Simarro[22]對該方程的系數選取方面的討論。但Choi等[23]在回復中的觀點表明，針對均化統計變量而言，兩組不同系數的計算結果類似。盡管Simarro的討論是合理的，但在理論方面的做法上存在一定的問題，其以犧牲色散精度換取了變淺性能的改善，而原方程的色散精度較高，變淺性能差一些，加上計算的范圍特定，客觀上很難比較出二者的優劣。為了避免這一情況，在不犧牲色散精度前提下，劉忠波等[20]引用偽速度（計算速度）的做法更應值得關注，而這一做法的源頭起源于Zou[15]。

Madsen和Sch?ffer[24]在對前人Boussinesq理論相關文獻分析與評述基礎上，從Laplace方程出發，結合自由面的動力學和運動學邊界條件以及水底的運動學邊界條件，系統地推導了以水深積分平均速度或某一處水深速度表達的具有四階非線性特征的Boussinesq型水波方程，并詳細研究了方程的色散性、變淺性、二階和三階非線性波幅、波幅離散引起的頻散效應、二階和差頻特征和波流相互作用問題。該文獻是Boussinesq型方程理論研究的經典文獻。Chondros和 Memos[25]將 Madsen 和 Sch?ffer[24]的一組以水深積分平均速度表達的Boussinesq型方程中的定常參數改為與無因次水深相關的變化參數，并在理論分析中強調了該方程在線性色散關系與二階非線性性能（同Stokes波浪理論相應解析解比較）是精確的，這引發了Liu和Fang[26]的關注和討論。對于線性規則波來說，將參數與無因次水深關聯可能是有效的，但考慮到近岸水波多以不規則波為主，即便非線性規則波在地形上演化也會產生高頻或低頻波。因此這種做法無法同時精確描述多個不同頻波浪的色散性，類似地，也不能確保方程具備良好的和差頻特性。因此，他們的做法是無效的，并且不具備普適性。

鄒志利[27-29]給出了具有近似到二階完全非線性的Boussinesq型方程，其中文獻[27]是從Laplace方程出發，從水底關于垂向z對速度勢做展開，并綜合考慮了方程的高階與低階非線性相互作用和引入改善變淺性能的系數，得到了以波面位移和水深積分平均速度表達的Boussinesq型方程。在此基礎上，采用了偽速度（計算速度）取代水深積分平均速度，又可延展為新的高階Boussinesq型水波方程[28]。文獻[29]則是從歐拉方程出發，引入了垂向坐標變換，繼而給出了適合復雜地形的近似到二階完全非線性的Boussinesq型方程，最后從理論方面討論了方程在復雜地形上的波浪Bragg反射和透射特性。

Gobbi等[30]發展了Wei等[21]的Boussinesq型水波方程，將方程的非線性由二階提高至四階，其引入了偽速度勢的概念，即采用兩層不同位置處的水平速度勢加權形成新速度勢，推導出一組具有Padé[4, 4]色散關系的Boussinesq型方程。該方程最大的優勢在于水平和垂向速度沿著水深分布的精度均超過了同時期所有Boussinesq型方程。然而該方程的變淺性能至今仍沒有被優化，加上該方程含最高空間導數為5階的項，數值離散較為困難，導致該方程并沒有得到廣泛應用。此外，Zou和Fang[31]從歐拉方程出發，引入垂向坐標變換，推導出一組四階全非線性Boussinesq水波方程，方程中最高導數也是五階，同樣存在數值離散和實際應用困難的情況。

Lynett和Liu[16,32]從歐拉方程出發，經過嚴格的數學推導，得到了具有近似到二階完全非線性的兩層和多層Boussinesq型方程。他們將一層二階完全非線性Boussinesq型方程拓展到多層，實際上是為了獲取更高的色散精度并且也避免求解空間導數超過三階（不含3）情況下的數值解，這開啟了多層Boussinesq型方程的研究模式。從理論分析結果來看，多層方程的水平速度沿垂向分布特征更為精確，非線性性能也得到了一定程度的改善，但適用范圍仍遠小于色散性能。該方程對應的計算模型已經開發成公開源代碼的COULWAVE軟件。類似于Lynett和Liu的工作，Liu和Fang[33]則從Laplace方程出發，推導出3組具有不同色散精度的雙層Boussinesq型方程，特別是第3組的色散性能得到了較大的拓展。

林建國和邱大洪[34]、Hong[35]及Liu和Sun[17]分別推導了不同精度的非線性Boussinesq型水波方程。在方程非線性特性改善研究方面，Kennedy等[36]選取與波面位移關聯的水深速度變量，這一定程度上改善了Wei等[21]方程的二階非線性（含和頻）性能，但卻很難實質性改善差頻性能。以水深積分平均速度表達的Boussinesq型方程的改進工作可參見劉忠波等[37]和Fang等[38]研究，同樣，這些研究工作僅改進了規則波對應的高階波幅和波-波相互作用的和頻性能。

2.2 三維Boussinesq型水波方程

水平二維Boussinesq型方程的發展集中于改善色散、變淺以及部分非線性性能，而非線性適用水深遠遠小于色散性適用水深，速度沿水深分布的精度較差，這是水平二維方程最致命的缺陷。在水平二維Boussinesq型方程中，垂向速度通過水底方程并利用水平速度顯示表達，在大幅度提高計算效率的同時，也不可避免地降低了非線性性能。綜合考慮應用水深和其他各種性能精度，上節所述的水平二維Boussinesq型方程的使用范圍受到限制，不能滿足當前深海工程對強非線性波浪、波浪與結構物相互作用的計算需求，發展具有更高精度、具有三維特征的Boussinesq型水波方程成為趨勢。為了提高非線性性能，垂向速度保留在方程中是有必要的。Agnon等[39]給出了一組高階的三維Boussinesq型水波方程，該方程在色散精度、變淺精度、二階非線性精度等方面的適用水深均達到了kh=6，其改善非線性的做法主要是分離了方程非線性與色散性。該三維方程保留了水底邊界條件、自由面上波浪的動力學方程和運動學方程以及采用靜止水位的水平速度和垂向速度表達的全域速度場。其最大的缺點是速度沿水深分布的精度較低，最大適用水深為kh=2.0。其后，Madsen等[40-41]首先用水深某一處的速度取代靜止水位的速度，進而采用計算速度（偽速度）來取代水深某一處速度，得到了一組具有綜合性能優良的三維Boussinesq型方程。在色散性方面，該方程最大適用水深為kh=25～40，非線性性能在這一量級具有較高精度。其中垂向分布的速度可適用于kh=12。方程中最高空間導數為5，當最高導數退化為3時，色散適用水深kh=10，速度分布精確到kh=3.5左右。

Chazel等[42]結合Madsen等[40]及Lynett和Liu[16]的做法，給出了最高空間導數為2、以偽水平速度勢（計算速度勢）和偽垂向速度表達的雙層三維Boussinesq型方程。方程的色散適用水深約為kh=20，速度垂向分布的精度最大達到kh=6～8，但是他們并沒有分析波浪的二階和三階非線性特征以及不規則波之間的和（差）頻特征等。劉忠波等[43]結合Madsen等[40]及Lynett和Liu[16]的做法，給出了平底情況下空間導數為3和5的雙層高階Boussinesq型方程，繼而考慮了緩變地形變化的水深條件。Liu和Fang[44]進一步給出了空間導數為3、以偽水平速度和垂向速度（計算速度）表達的雙層三維Boussinesq型方程，方程的色散適用水深約為kh=53，速度垂向分布的精度可以最大達到kh=23.2，同時二階非線性特征和不規則波的和（差）頻特性大為改善。在這一工作的基礎上，Liu等[45]一方面將這個方程推至多層，并詳細分析了三層與四層方程的性能。理論分析表明，方程得到了空前的發展，其中四層方程的色散適用水深達到kh=667～800，非線性性能達到了kh=300，速度分布精確到kh=352～423，線性變淺在0＜kh≤300內具有較高的精度；另一方面，他們也給出了具有最高空間導數為2和5的多層Boussinesq型方程。最高導數為5時，四層模型的色散適用水深達到了kh=7 600；導數為2時，四層模型的色散適用水深為kh=179.3，圖1給出了四層方程的色散關系。

圖1 四層Boussinesq方程的相速度（n代表方程中的最高導數）Fig. 1 The dimensionless phase celerity of the four-layer Boussinesq equations (n is the highest order of the spatial derivative)

綜合多年研究，將具有代表性的Boussinesq型方程匯總在表1中，并給出了這些方程在色散性、二階非線性和線性變淺性能、速度分布特征等方面的適用水深。

表1 Boussinesq型水波方程的最大適用水深（kh）Table 1 Maximum application water depth of different Boussinesq-type models

2.3 適合特殊情況的Boussinesq型水波方程

2.3.1 考慮地形滲透

Cruz等[46]假定滲透介質中的水體也近似滿足Laplace方程，考慮了滲透介質對水體的非線性阻力和線性阻力，結合上部自由水體的Laplace方程，推導了一組適合滲透地形的改進型Boussinesq型方程。在不考慮滲透情況下，該方程可以轉化為一組僅改善色散性的弱非線性Boussinesq型方程。Hsiao等[47]和Chen[48]從歐拉方程出發，分別推導了以某一處水深速度表達的高階Boussinesq型方程，兩文獻中的基本方程推導思路是相似的，但是后者更強調了波流相互作用、有旋引起的非線性高階項的處理和四階滲透阻力項的引入。劉忠波和孫昭晨[49]對Hsiao等[47]的一組以水深積分平均速度表達的Boussinesq型方程進行了色散適用范圍的拓展，其后劉忠波等[50-51]又直接耦合了兩組不同高階的Boussinesq型方程和Cruz等[46]滲透介質中水體的動量方程，最終給出了一組混合Boussinesq型方程。在充分考慮前人研究基礎上，劉忠波等[52]從Laplace方程出發，考慮了滲透介質對水體的阻力效應，推導出3組近似到二階完全非線性的Boussinesq型方程。這些模型考慮了一層滲透水體和一層自由水體情況。在單層滲透和多層滲透介質中波浪傳播方程研究中，Hsiao等[53]推導了一組以滲透介質某一處速度表達的Boussinesq型方程，劉忠波等[54]則推導了3組考慮雙層滲透介質情況下的Boussinesq型水波方程。

無論是從Laplace方程還是從歐拉方程出發，均能推導出適用滲透介質情況的Boussinesq型方程。這類方程在色散性和衰減率等性能方面取得了一定的進展。目前，由于難以從理論層面給出不同滲透情況下的理論變淺解析，使得如何優化變淺性能成為一個遺留的問題。另外，在衰減率性能方面的改進仍有較大空間。

2.3.2 考慮水體密度分層

與相對成熟的自由表面波Boussinesq型方程相比，采用Boussinesq型方程考慮界面波（內波）的研究還相對較少，但多數方程與自由表面波的研究方程有一定的聯系。在推導方程中，其中一個假定是密度分層（密度不連續），繼而從Laplace方程或歐拉方程出發，考慮剛蓋假定或自由面存在波動等情況，推導出不同形式的Boussinesq型方程。如Choi和Camassa[55-56]、Lynett和 Liu[57]、Song[58]、Liu 等[59]、Yang 等[60]以及Liu和Wang[61]等。其中Song的方程可以退化為Nwogu的Boussinesq型方程，Yang等的內波方程退化為Madsen和Sch?ffer以水深積分平均速度表達的四階方程。

受實驗室條件的限制，采用有限水深假設研究內波的實驗還十分稀少，這很大程度上限制了Boussinesq型內波計算模型的發展。在大尺度范圍，內波主要表現為內孤立波等形式，采用弱非線性Boussinesq型內波數值模擬內孤立波的研究相對較多。在當前海洋工程日益挺進深遠海、海洋工程裝備需求不斷增大的背景下，采用Boussinesq型方程來研究內波尚存巨大的發展空間。

3 Boussinesq型水波方程的應用研究

數值模型的建立是聯系Boussinesq水波理論和實際應用的橋梁。數值模型通常建立在有限元、有限差分、有限體積以及有限差分-有限體積混合模式基礎上，Brocchini[62]和Kirby[63]關于Boussinesq型水波方程在數值模型計算方法等方面進行了較好的綜述，這里我們不再展開評述，下面僅從工程與科研角度，對Boussinesq型方程在自由表面波的模擬應用方面加以簡述。

3.1 工程中波浪的時域演化

Boussinesq型水波方程的一個主要用途是通過模擬確定對工程荷載產生影響的設計波浪。數值模型需要指定入射邊界條件和出口邊界條件，而入射邊界條件往往需要借助于外海推算或采用淺水波浪譜模型給出。一般來說，這類模型適用的計算區域屬于中等尺度，特別是近年來GPU并行技術的發展以及高性能計算機的出現，促使這類水波方程的數值計算區域更大，如近期Tavakkol和Lynett[64]在Madsen和S?rensen[5]的Boussinesq型水波方程基礎上，基于并行技術，發展了一套CELERIS軟件，該軟件計算效率大為改善。據作者稱，計算速度比實際波浪演化快。模擬中，必須清楚認識到現實中的波浪資料等推算方面存在不確定性，加上其他一些因素，實際工程中的波浪模擬并不能如科學研究那樣可以精準關注某些位置點的波面位移時間歷程，這主要體現在波面相位的精準性難有精確的現場衡量標準。此外，二階Boussinesq型方程很難適用于深水情況，在深水條件下，我們建議可選擇Lynett和Liu[16]的雙層水波模型（COULWAVE模型）為主要模擬工具。此外，劉忠波等[20]對該方程的色散性能和變淺性能進行了改進，發展了以計算速度表達的雙層水波模型可作為數值模擬的有力工具和補充。

3.2 工程中波生流的應用研究

Boussinesq型方程大多是基于勢流理論建立起來的，因而其在本質上不能考慮波浪破碎。為了能近似地考慮波浪破碎帶來的能量消耗，通常采用人工紊動黏性法、水滾法和渦度法。這使得Boussinesq型模型可以計算波高、波浪增減水、波浪爬高以及波生沿岸流和裂流等[65-68]。從以往計算結果與實驗結果的對比來看，統計量下的精準度是可以接受的。波生流會驅動污染物運動和泥沙運動等物質輸運，較小的流速誤差對污染物運動和海底泥沙輸運的精準預報產生較大的影響，這無疑對波生流的準確性提出更高要求。此外，也應該注意Boussinesq型方程是否正確地考慮了水流的多普勒效應[69]。從人與自然親近和諧的角度考慮，如一些海濱浴場所處的近岸海域，波浪破碎引起的離岸流（裂流）會對泳者帶來生命安全隱患。采用Boussinesq型數值模型或引入波浪輻射應力的淺水模型對波生流進行高效預報或應重點考慮。

3.3 海床運動興波的研究

海床運動引起的興波可分為兩類，第一類是由地震引起的海嘯波，第二類是海底滑坡運動引起的海嘯波。準確預報海嘯波抵達時間以及在近岸幅度大小均要求計算模型具有較高精度的色散性和非線性特征。近年來，一些學者應用不同精度的Boussinesq水波模型來模擬海床運動導致的海嘯波產生、傳播演化和近岸爬高[70-73]。在這些研究中，海床運動多假定為剛體，其運動導致興波是通過海底運動學邊界條件實現的，導致海嘯波產生過程過于簡化。精確再現海床運動以及傳播演化中的波浪幅度，都要求模型具有較高的精度，在使用時需要注意Boussinesq型方程的適用范圍。也有學者將Boussinesq類方程用于庫區山體滑坡誘發波浪的傳播模擬，由于方程具有色散性，在模擬興波傳播過程中較不含色散性的非線性淺水方程更為準確，但研究中多將滑坡體視為剛體，而實際中山體滑坡多為松散體。海床運動興波在近岸的爬高和淹沒范圍是工程界關注的焦點，計算中涉及水陸交界面，動邊界的有效處理也是不容忽視的。

3.4 工程中其他波浪問題的應用研究

為了有效控制波浪對岸灘的侵蝕，工程師通常會建設一座或多座潛堤來消耗波浪，這類工程在海岸水域較為常見。拋石潛堤一方面反射波浪，另一方面由于潛堤中滲透孔隙與水體之間存在線性與非線性阻力，導致波能產生損耗，從而有效減少透射波浪。利用波浪Bragg反射共振原理，合理布置多座潛堤將增加波浪反射率。Boussinesq方程中含水深的一階和高階導數項，它們在模擬波浪與潛堤相互作用時往往產生重要影響，合理優化相關參數有助于改善不同地形上的波浪反射與透射性能[74]。實踐中，工程問題多關注強浪向和常浪向，特殊情況下也會考慮其他方向來浪。方案比選中，一些防護結構的平面布置往往需要考慮波浪條件，這可通過合理的Boussinesq模型計算得到。在研究以上問題時，必須明確：（1）完全適合各種陡坡地形的Boussinesq型方程并不存在，相關計算結果仍需結合現場實際情況進行核定；（2）當采用Bragg反射共振特性，一部分波浪能量反射回到來浪方向，這將與其他波浪疊加，或會對附近船舶的通航造成一定的威脅，此時，斷面可選用拋石潛堤，而適合滲透的Boussinesq型方程恰好適用。

Boussinesq型模型應用范圍很廣，它還可用于研究河口波浪與水流相互作用、外海傳入的低頻波引起港灣共振、船體運動產生的表面波與內波、波浪引起的泥沙運動、近岸海床演變以及作用于建筑物的波浪力等方面的計算。

4 結語

針對1967-2018年間的主要Boussinesq方程進行了回顧，分析了常用水波方程的優缺點。作為一類高效的計算模型，其在以下幾個方面尚存發展空間：

（1）在理論層面，Boussinesq型方程在一些特殊領域可得到進一步發展和完善，如前文所述的一些方程在某些性能方面存在改進空間。因此，我們關注點應進一步結合實踐需求，對適應各種特殊情況的水波方程做相關研究，但始終應牢記，此類方程是波浪勢流理論，研究中應明晰適用范疇。

（2）在應用層面，強調掌握水波方程基本理論特性基礎上，利用已有Boussinesq方程研究更大水深的自由表面波和內波等水波水動力問題。同時，也應注重發展適合深海情況的水波模型應用，這對深水情況下Boussinesq模型的計算效率也提出了較大挑戰。此外，在波浪與結構物相互作用層面，強調Boussinesq模型與其他模型的耦合勢在必行。早在2002年，Qi和Wang[75]將改進的Boussinesq型水波方程和基于VOF的Navier-Stokes模型進行耦合，遠場采用Boussinesq方程，近場采用Navier-Stokes模型，這充分考慮了兩種模型的優點。鑒于該耦合模型中，采用的Boussinesq方程性能相對還不夠精確，三維Boussinesq方程可期望成為一個更強有力的計算工具。

Boussinesq型方程在海岸波浪水動力的應用研究之路依然很長。一方面，仍要繼續加強基礎工作的理論研究，另一方面，更應強調理論要服務于工程實踐的理念。一切理論從工程實踐中來，它們也必將到工程實踐中去加以檢驗。