鐵路路基動態變形模量的數值模擬分析

魏瑤 夏瓊 王旭

（蘭州交通大學土木工程學院，蘭州 730070）

鐵路路基壓實質量是保持線路穩定與平順，保證列車高速、安全運行的重要條件，關系到整個工程的施工進度、質量等。科學合理的路基檢測方法是路基施工質量的重要保證。路基的壓實質量主要通過控制填料的密實度指標和強度指標來實現。目前鐵路路基質量檢測指標主要有壓實系數K、地基系數K30、7 d 飽和無側限抗壓強度和動態變形模量Evd，其中Evd主要是用于檢測高速鐵路和重載鐵中的路基基床部位，反映在高速或重載列車動荷載作用下路基基床抵抗動變形的能力。TB 10621—2014《高速鐵路設計規范》和TB 10625—2017《重載鐵路設計規范》分別規定高速鐵路、重載鐵路基床部位壓實質量檢測均包含Evd指標，TB 10623—2014《城際鐵路設計規范》規定城際鐵路無砟軌道基床部位也包含Evd指標。

我國在1999 年開始對Evd檢測方法進行立項研究。Evd的檢測方法于2004 年正式寫入TB 10102—2010《鐵路工程土工試驗規程》，引用了當時部分相關研究成果。黃大維等［1］通過蘭新鐵路第二雙線路基試驗段戈壁填料現場填筑試驗，運用三維動態有限元數值分析并結合現場檢測結果，對Evd值的影響因素進行了分析。常丹等［2］通過有限元分析，運用線性回歸的方法得出了K30與Ev2，K30與Evd的線性關系表達式及線性相關系數。但對Evd進行測試時，沖擊荷載作用下承載板與土體的接觸壓力、Evd測試結果的影響因素、有效測試深度等還需要進一步研究。

本文從彈性靜力學理論出發，在一定的假設條件下推導Evd的理論計算公式；利用有限元數值方法模擬動態變形模量測試儀的工作原理，考慮落錘沖擊荷載及被檢測土體的彈塑性本構關系；分析承載板與土體接觸壓力、承載板下土體內豎向動應力衰減規律及豎向動位移發展規律等；進一步研究Evd測試結果的影響因素、有效測試深度等，從而為合理進行Evd試驗提供依據，為今后的鐵路路基壓實質量檢測提供參考。

1 動態變形模量Evd理論公式

動態變形模量測試儀由加載裝置、荷載板和沉陷測定儀3部分組成。其工作原理主要是利用落錘從一定高度自由下落在彈簧阻尼裝置上，產生的瞬間沖擊荷載通過彈簧阻尼裝置及傳力系統傳遞給φ300 mm的承載板，在測試面產生與土體工作條件相符的動應力，使承載板發生沉陷，該沉陷幅值由沉陷測定儀采集記錄［3］。

Evd雖然是反映動荷載下土體抵抗變形的指標，但由于落錘對路基表面施加動荷載時，落錘對路基的作用時間非常短，一般情況下不超過25 ms，路基還未出現塑性變形，荷載就已經卸除。所以，可以認為在落錘的沖擊下路基主要產生了彈性變形［4］。Evd的理論計算公式是基于彈性力學理論推導得出的［5-6］。半無限空間彈性體表面放置圓形剛性承載板，在其中心作用豎向荷載P時，板中心下不同深度處土體豎向附加應力σz、豎向位移s理論計算公式分別為

式中：p為等效均布荷載集度，p=P/πr2；r為圓形載荷板半徑；z為深度；μ為土體的泊松比；r0為計算點到作用點的距離

動態變形模量理論計算公式是根據承載板底面接觸壓力和位移的峰值計算地表面z=0 處的接觸壓力、位移。將z=0 分別代入式（1）、式（2）即可得到圓形剛性載荷板中心點下接觸壓力σ及Evd的理論公式分別為

將μ= 0.21 代入式（4），可以得到動態變形模量Evd的常用計算公式為

式（5）正是TB 10102—2010 給出的動態變形模量Evd計算公式34.0.7—1。不同的是該規程對p解釋為承載板下的最大動應力并標定為0.1 MPa。通過以上的分析可知，式（5）中的p（即TB 10102—2010 式34.0.7—1 中的σ）并不是承載板下的最大動應力，而是承載板下等效均布荷載計算值，式（3）表明p值是承載板下最大動應力的2倍。如果用承載板下的最大動應力來計算Evd，則應該按式（6）計算。

TB 10102—2010 中Evd試驗采用的測試儀最大沖擊力為7.07 kN，圓形承載板的直徑為300 mm，計算得到承載板下等效均布荷載p= 0.1 MPa，代入式（5）可得出

式（7）正是TB 10102—2010 中Evd簡化計算式34.0.7—2。可見，TB 10102—2010 對Evd計算公式中的σ解釋欠準確，但其數值是按理論公式（5）中p來取值，故TB 10102—2010中Evd簡化公式34.0.7—2與式（7）相同。

2 動態變形模量Evd有限元模擬分析

2.1 有限元模型

根據Evd試驗過程，用MIDASGTS 有限元軟件來模擬分析土體Evd的測試結果，建立土體有限元模型如圖1 所示。為了減小邊界效應，模型尺寸定為3 m ×3 m×3 m 的正方體土體模型，選用Drucker-Prager 本構模型模擬其彈塑性力學性質。模型的邊界條件側面為黏性邊界［7］，底部采用固定約束。承載板選用圓形鋼板，采用彈性本構模型，鋼板直徑為30 cm、厚度為2 cm。土體及鋼板的材料參數見表1。

圖1 有限元模型

表1 材料參數

鋼板周圍進行網格劃分的大小為0.03 m，模型邊緣尺寸為0.1 m。鋼板附近網格劃分越來越密，這可使鋼板影響范圍內的計算更準確。

根據動態變形模量測試儀的作用原理，作用在圓形剛性承載板上的豎向荷載P為沖擊荷載。根據動態變形模量測試儀標定情況可得，當沖擊時間為4 ms時，沖擊力達到最大值7.07 kN，荷載脈沖寬度為18 ms，參照文獻［2，8］確定沖擊動荷載時程曲線，見圖2。

圖2 沖擊荷載時程曲線

2.2 承載板下接觸壓力分析

在一定的假設前提下推導的圓形剛性板作用中心豎向荷載P時，板下接觸壓力p(r)即在彈性半無限空間下且沒有考慮土體的性質對接觸壓力的影響［9-10］，見式（8）。實際的土體一般是非線性材料，且在Evd測試時承載板上作用沖擊荷載，此時承載板下接觸壓力與理論公式（8）計算值不一定相等。

式中，a為距承載板中心處的距離。

在沖擊荷載作用下，承載板下接觸壓力也是隨時間變化的，以承載板中心點為例，接觸壓力時程曲線見圖3。可知，接觸壓力在4 ms時達到幅值，與沖擊荷載幅值對應的時間是一致。以下的分析均取接觸壓力的幅值。

圖3 承載板下中心處位移時程曲線

承載板下接觸壓力沿荷載直徑的分布見圖4。對比理論計算值和數值模擬結果可知，理論計算與數值模擬的接觸壓力分布形狀相似，沿承載板直徑方向變化趨勢是一樣的。承載板中心附近接觸壓力最小，越往承載板邊緣接觸壓力越大，理論計算承載板邊緣處的接觸壓力是趨于＋∞，這與實際是不相符的。在沉降發生之前，邊緣應力已經使土體屈服而導致壓力重分布，結果使得中央小而邊緣逐漸增大［11］。接觸壓力理論計算值與數值模擬結果在承載板中心點附近差別較明顯，以土體動彈性模量Ed=40 MPa 為例，以中心點為圓心半徑0.09 m 范圍內數值模擬結果較理論計算值要大，中心點理論計算值為50 kPa，數值模擬結果為62.53 kPa，較理論計算值大20.04%。

圖4 接觸壓力沿荷載板直徑的分布

分析兩者差異原因可能是：理論計算公式是在靜力作用下通過彈性力學的理論推導出來的；數值模擬中土體按彈塑性材料考慮，在圓形剛性承載板上作用豎向沖擊荷載，圖4 中基底接觸壓力在圓形剛性承載板中心處有小的突起，可能是由于應力波在中心處交匯處所產生的［12-13］。由圖4 可知，不同的動彈性模量下接觸壓力沿荷載板直徑的分布基本上沒有變化，可以忽略土體動彈性模量對接觸壓力的影響。

2.3 土體表面動位移分布規律

在沖擊荷載P作用圓形鋼板的整個過程中，承載板中心處土體表面豎向位移與時間的變化關系見圖5。

圖5 承載板中心處土體表面豎向位移時程曲線

由圖5 可知：承載板中心土體表面的豎向位移在4 ms時達到幅值，在沖擊荷載結束時即18 ms降低至0附近，之后隨時間還產生微小波動直至220 ms。在動態變形模量測試儀產生的沖擊荷載下，土體產生的是彈性變形，最終可以完全恢復至0。不同的土體動彈性模量下，承載板中心土體表面位移時程曲線幅值差別明顯，即隨著土體的動彈性模量增大，荷載板中心處的位移逐漸減小，達到幅值的時間基本一致；沖擊荷載結束后位移的小幅值波動略有差別，動彈性模量較小時的波動幅值較大，且響應時間會更長。當Ed=20 MPa 時，位移的響應時間大約為220 ms；當Ed=40 MPa 和Ed=60 MPa，位移的響應時間大約為150 ms。

位移響應時間差異的原因是沖擊荷載作用下土中形成一脈沖波，土體有明顯的位移波形，不同的動彈性模量下土體的位移回彈次數也不一樣。動彈性模量越小，土體的位移回彈現象越明顯。這是由于在沖擊荷載下土體動彈性模量越小其內部受到的擾動越明顯［14-15］。

2.4 動態變形模量的影響因素

2.4.1 動彈性模量Ed

在土體的其他參數不變的條件下，動彈性模量分別取10，20，30，40，50，60 MPa進行動態變形模量模擬分析，模擬結果見表2。表2 中Evd模擬值是利用荷載板中心下最大動應力、土體表面位移按式（6）計算的，Evd計算值是利用土體表面位移按式（7）計算的。

對表2中數值進行擬合計算，可知：在不同的動彈性模量下，Evd與Ed之間是一種近似的線性關系，模擬值和計算值的相關系數分別為0.99，0.98，說明Evd和Ed之間存在著很好的線性關系，Evd作為檢驗路基壓實質量標準與Ed具有相似的力學意義。數值模擬結果總體較理論計算結果大，這是因為兩者計算所用的土體表面動應力幅值不一樣。前面分析已顯示數值模擬得到的土體表面動應力幅值較理論計算值大；當動彈性模量變化范圍較小的時候，數值模擬結果與理論計算結果的差別較小；隨著動彈性模量的增大，數值模擬結果與理論計算結果相差越來越明顯。

表2 不同Ed時Evd結果

2.4.2 土體泊松比μ

其他參數不變，泊松比分別取0.10，0.21，0.30，0.40 來模擬分析土體（Ed=40 MPa）動態變形模量，計算結果見表3。

表3 不同泊松比時Evd的計算結果

由表3可知：隨著土體泊松比μ增大，Evd總體呈逐漸增大的趨勢，但泊松比對Evd的影響不是很明顯，泊松 比 由0.1 增 加 至0.4，Evd由60.92 MPa 增 加 至69.59 MPa。如果不考慮泊松比按式（7）（對應μ=0.21）計算Evd，當μ=0.1，μ=0.3，μ=0.4 時計算結果誤差分別僅為4.74%，5.86%，8.82%。這說明不考慮土體泊松比的影響，按式（7）Evd所導致的誤差可以忽略。

2.5 Evd的有效測試深度

2.5.1 按承載板中心土體豎向位移確定

TB 10102—2010 中規定豎向位移衰減70%～80%對應的深度為動態變形模量的有效測試深度。根據數值模擬結果計算，得出承載板中心處土體的沉降衰減達到70% ～80%對應的深度約為0.5～0.7 m（Ed=40 MPa，μ=0.21），見表4。

表4 承載板下豎向位移衰減百分比

2.5.2 按承載板中心豎向附加應力確定

沖擊荷載作用下，承載板中心土體的豎向附加應力在z=0.1 m 處達到最大值，z在0～0.1 m 內，附加應力隨深度的增加而增加，當z ＞0.1 m 時，附加應力逐漸減小。根據數值模擬的結果計算，得出承載板中心處土體的豎向附加應力衰減達到70% ～80%對應的深度約為0.5～0.6 m（Ed=40 MPa，μ=0.21），見表5。

表5 荷載板下豎向附加應力衰減百分比

綜合考慮按豎向位移和豎向附加應力衰減確定的有效測試深度［16-17］，建議動態變形模量測試儀的有效測試深度取0.5～0.6 m。

3 結論

1）承載板下接觸壓力模擬結果與理論值整體變化規律相似，在承載板中心一定范圍內，模擬結果較理論計算值大；土體動彈性模量對接觸壓力影響較小，計算時可忽略其影響。

2）在動態變形模量測試沖擊荷載作用下，承載板中心土體表面的豎向動位移在4 ms時達到幅值，在沖擊荷載結束時即18 ms 降低至0 附近，之后隨時間在0附近產生微小波動，經過一段時間后最終板中心位移恢復至0，說明土體沒有產生累積塑性變形，且波動時間與動彈性模量有關。

3）動態變形模量Evd與土體動彈性模量Ed呈顯著的線性相關關系，Evd數值模擬結果較理論計算值大，且動彈性模量越大兩者差別越明顯。

4）土體泊松比對動態變形模量影響并不明顯，按μ=0.21來計算動態變形模量，誤差可以忽略。

5）按承載板中心土體豎向位移、豎向附加應力衰減70%～80%兩種方法分析動態變形模量有效測試深度，建議有效測試深度取0.5～0.6 m。