順應學生思維 發展核心素養

李玲鋒 成冬元 黃蘭妹

在2019年廣西普通高中數學關鍵問題教學設計主題教研暨優質課評比活動中，來自不同地區的兩名教師同課異構《角的概念的推廣》（人教A版必修4三角函數1.1.1），優點和不足之處驚人相似.這不由得引發了我們的深思：高中數學概念教學，究竟應該是“順應”學生的思維，還是“順著”課前的教學設計“順利”地走完流程呢？本文將基于本次活動中二等獎第一名的該課例教學，談談我們對高中數學概念教學的思考.

一、課例實施過程回顧及評析

（一）創設情境，以舊引新

師：同學們喜歡看奧運會嗎？下面我們一起來回顧幾個精彩片段，請看視頻.（師播放視頻）在剛才的視頻中，解說員說了幾個數據？

生：540°，1 080°，后曲兩周.

師：這是體操運動員在翻轉過程中形成的角的度數.大家回想一下，在初中我們是如何定義角的？角的范圍有多大？

生：由公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角，角的范圍是[0°～360°].

師：（問題1）初中我們學過的角一般不超過360°，而實際生活中有很多角超過了360°，你能舉出生產生活中其他大于360°的角嗎？

生：電風扇旋轉、車輪旋轉、摩天輪旋轉、齒輪旋轉等.

教師展示生活化的幻燈片圖片（略），提示圖片中的“這些角”都是在運動過程中形成的.很明顯，初中所學角的定義已經不能滿足實際生活的需要，高中數學有必要將角的概念進行推廣（板書課題：角的概念的推廣）.

點評：創新情境，制造認知沖突，讓學生體驗新知產生的過程、感受數學來源于生活.執教教師通過大量實例讓學生認識到初中所學角的定義和范圍的局限性，順勢引出高中數學角的概念的推廣.

（二）探究問題，建立概念;數形結合，研究概念

1.任意角的概念

師：（問題2）用初中所學角的知識能否解決以下問題？（課件出示問題：①表慢了5分鐘，如何將它校準，此時分針應該旋轉多少度？②鐘表快了1.25小時，如何將它校準，此時分針應該旋轉多少度？）哪位同學上臺來幫忙校準鐘表？（學生上講臺演示校準鐘表）這位同學在校準鐘表的過程中，分針發生了怎樣的變化？

生：慢5分鐘，可順時針旋轉30°;快1.25小時，可逆時針旋轉[450°].

師：這位同學在兩次校準鐘表的過程中，分針的旋轉所形成的角有什么不一樣嗎？

生：大小和方向不一樣.

師：（問題3）通過這個實驗，你們覺得我們還可以從哪個方面來描述角？

生：旋轉方向和旋轉大小.

師：既然可以從旋轉方向來描述角，那么我們如何從旋轉的角度來給角下定義呢？（師板書角的定義，見圖1相關內容）

師：（問題4）現在，我們對角有了兩種定義.請問初中定義的角和高中定義的角有什么區別？

生：初中所學角的范圍是[0°～360°]，高中所學角的范圍是任意角;初中所學的角不旋轉，高中所學的角是旋轉而來的.

師：初中的角是靜態角，高中的角是動態角.下面我們通過幾何畫板演示角的生成……

接下來，執教教師一邊演示一邊講解，間或板書任意角有關概念（如圖1相關內容），指出正角、負角只是表示具有相反意義的旋轉量，正、負規定純屬習慣，并舉出一兩個角作圖示范，如60°角、-240°角、390°角.再利用幾何畫板演示正角、負角的形成過程，一個是逆時針旋轉，一個是順時針旋轉，正角可以無限大，負角可以無限小，從而將角擴展為任意角.最后強調三點：①在不引起混淆的前提下，“角[α]”或“[∠α]”可以簡記為“[α]”;②零角的終邊與始邊重合，如果[α]是零角，則[α]=0°;③角的概念經過推廣后，包括正角、負角和零角.

點評：執教者創設情境引發探究，首先讓學生從旋轉量與旋轉方向來描述，然后再引導學生與初中所學知識進行對比，并運用幾何畫板讓學生直觀體驗角由旋轉而成且有正負之分、角既可以無限大也可以無限小，讓學生一方面從運動的角度重新認識了角，另一方面加深了對任意角的概念及角的分類的認識.值得一提的是，當學生提出可以從“旋轉方向和旋轉大小”兩個方面去描述角的時候，教師如能適時追問“你認為刻畫這些角的關鍵是什么？”“如果把旋轉中心作為角的頂點，如何表示不同的旋轉方向呢？”“為了區分形成角的兩種不同的旋轉方向，可以作出怎樣的規定？”“如果射線沒有作任何旋轉，它還能形成一個角嗎？”，便可以“順應”學生的思維，自然地引出角的一系列概念，從旋轉方向導出旋轉量，從而將學生的自主探究引向深入，進一步引發學生的認知沖突，讓學生“自主發現”正角、負角、零角與旋轉方向的關系，并能利用任意角的定義來重新回答問題3中的情境問題.

2.象限角的概念及擴充

師：（問題5）為了討論問題的方便，我們常在直角坐標系中討論角.如果把角放在直角坐標系中，那么怎樣放既方便又合理？

生：把角的頂點放在原點上.

師：在直角坐標系中表示角，對角的頂點和始邊有什么要求嗎？

生：頂點與坐標原點重合，始邊與非負半軸重合.

師：（追問）角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角（課件呈現象限角概念及相關判斷題，如圖2），如60°角、210°角、-240°角（演示動畫，以同一條射線為始邊，在坐標系中畫出所列舉的角;之后讓學生判斷圖2中的練習題，學生順利作答）.那90°角呢？

生：不屬于任何象限，不是象限角.

師：角的終邊落在坐標軸上，此角不屬于任何象限，這種角稱為軸線角，如90°角、-90°角.你還能舉出其他的軸線角嗎？

生：0°角、180°角、270°角、360°角……

點評：對角的概念進行推廣，讓學生進一步理解象限角的概念，可以培養學生的數學探究能力，強化數形結合思想，為下面引出“終邊相同的角”做鋪墊.

3.終邊相同的角

師出示問題，要求學生獨立、規范作圖，完成練習2（如圖3）;學生獨立思考，小組討論;教師選擇學生代表作答，投影學生作品并點評，指出學生作圖中的問題，并小結“象限角只能反映角的終邊所在的象限，不能反映角的大小”，于是引出終邊相同的角.

師：（問題6）觀察在直角坐標系中第一組角的終邊，你有什么發現？

生：終邊再轉一圈、兩圈，又可以回到-32°角這個位置.

師：（問題7）從形上看它們終邊相同，從數量上來看，這些角有什么關系嗎？

生：（學生討論后，小組代表作答）與-32°角終邊相同的所有角，在數量上都與這個角相差360°的整數倍.

師：（投影展示學生討論結果并追問）你能用一個式子來表示與-32°角終邊相同的所有角嗎？

生：-32°+[k]·360°，[k∈Z].

師：非常好，謝謝這位同學！（停頓）這樣的角有多少個？

生：無數個.

師：（問題8）如何用集合表示與-32°角終邊相同的所有角？

生：[S={β | β=-32°+k·360°，k∈Z}].（師用幾何畫板給學生演示相關答案，如圖4）

師：（問題9）那所有與60°角終邊相同的角的集合如何表示？所有與[α]角終邊相同的角的集合如何表示？

生：把式中的-32°改為60°或[α].

在師生的交互中，終邊相同的角的概念呼之欲出.所有與角[α]終邊相同的角，連同角[α]在內，可以構成一個集合：[S={β | β=α+k·360°，k∈Z}]，即任一與[α]角終邊相同的角，都可以表示成角[α]與整數個周角的和.然后師生共同分析終邊相同的角的概念需要注意的問題，強調三點：（1）[k∈Z].（2）[α]是任意角.（3）終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同;終邊相同的角有無數多個，它們相差360°的整數倍.

點評：執教者讓學生通過作圖感受角的形成及角的終邊位置，從中引出終邊相同的角的概念;通過交流討論可以從形和數上描述與-32°角終邊相同的所有角，發現終邊相同的角相差360°的整數倍的規律;通過用幾何畫板演示，讓學生進一步體會終邊相同的角周而復始的變化規律，進而歸納出終邊相同的角的表示方法，初步認識用集合表示終邊相同的角需要注意的幾個問題.以上教學過程層次清晰，有機地滲透了數形結合的思想以及從特殊到一般、從具體到抽象的歸納思想，培養了學生的數學觀察和邏輯推理能力.

（三）概念應用，拓展創新

教師課件出示教材中的例1（在[0°～360°]范圍內，找出與[-950°12′]角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角），引導學生分析討論找到[k]值的方法，學生嘗試演算后作答.

生：[129°48′=-950°12′+3×360°].所以在[0°～360°]范圍內，與[-950°12′]角終邊相同的角是[129°48′]，它是第二象限角.

于是教師示范解題步驟（略）.

在拓展創新環節，教師給出變式1（寫出與100°角終邊相同的角的集合[S]，并把[S]中在[-360°～720°]范圍內的角寫出來），讓學生自行解決;學生展示答案，教師適時點撥.

之后是出示例2（寫出終邊在[y]軸上的角的集合[S]）.教師引導學生先在[0°～360°]中找到滿足條件的角，再寫出終邊在[y]軸上的角的集合.兩個學生給出了兩個答案，生1的答案是[S={β | β=90°+k·360°，k∈Z}]，生2的答案是[S={β | β=][270°+k·360°，k∈Z}].教師再次點撥：集合化簡的目標是形式上統一，以上兩個集合求并集的關鍵是把270°改寫成[90°+180°].

點評：概念應用，一是從靜態角度鞏固理解“終邊相同的角”的表示方法，二是從動態角度體會角的終邊旋轉180°后得到[α=90°+k×180°（k∈Z）]的過程，運用了由形到數、由數到形的數形結合思想方法，順利突破了教學難點，很好地順應了學生的思維.

（四）課堂小結，課后作業

在課堂的最后，教師本想引導學生小結“本課學習了角的哪些相關知識”，在學生短暫語滯后，便自行總結包括任意角的概念，正角、負角、零角、象限角、軸線角的定義，終邊相同的角及其表示等相關知識了;最后是布置課后作業（過程略）.

二、總評及概念教學的深度思考

如何讓概念教學的過程由抽象變具體、由枯燥變生動，使學生更好地理解和掌握數學概念，這是當前中小學數學教師必須認真思考的問題.在上面的課堂教學中，教師通過創設問題情境，以問題串的形式引導學生展開學習過程，問題導學特征明顯：從反思初中所學角的定義的局限性，激發學生擴充角的定義的欲望，進而得出任意角的概念，再在探究研究角的方法的過程中發現角的終邊重復出現的特點，最終在直角坐標系中得到象限角和終邊相同的角的表示方法，一步一步地將學生引入本節知識的核心內容，整個教學設計自然、流暢.但是，執教者因過度關注課堂進程能否按預設順暢進行、能否在規定時間內完成課前預設，導致課堂教學多個環節有意無意地忽略了學生真實的思維狀態，教師以自己內心深處的有序思維“順走了”學生的無序思維.我們認為，課堂教學尤其是概念課教學順應學生思維，是2017年版高中課標要求的發展學生學科核心素養的重要體現.

根據皮亞杰的觀點，順應是主體的圖式不能同化客體，必須建立新圖式或調整原有圖式，引起圖式的質的變化，使主體適應環境的過程.在課堂教學中，我們倡導教師順應學生的思維展開教學，確保學生最終都能夠用數學的方式去發現和提出問題、分析和解決問題，從中發展數學學科核心素養.本課教學在順應學生思維方面，需要努力做到以下幾點.

第一，尊重學生的思維現狀.本課問題導學特征十分明顯，但是，面對學生在課堂教學中各種始料不及的反應或作答，教師應尊重學生的思維現狀，通過洞察學生的思考過程，敏銳地捕捉到稍縱即逝的課程資源并對這些資源進行合理、有效的挖掘，讓自己的問題更能體現發展學生核心素養的學科教學要求，進而引導學生學會積極、主動、有建設性地思考.比如在本課“數形結合、概念深化”環節，當教師與學生共同校準鐘表后，教師不應硬拉著學生給出角的定義，而應順應學生的思維，有梯度地展開追問（見上文點評），這樣才能更好地發展學生的數學抽象思維.置學生的思維現狀于不顧，生拉硬扯地往預設環節上走，長此以往，必然會消磨學生數學學習的興趣，泯滅學生數學學習的智慧，阻礙學生數學學習的成功體驗.

第二，留給學生思考的空間.楊振宇教授在對比中美學生的差異時談道：“中國學生學得多，悟得少;美國學生則學得少，悟得多.”剖析其中的原因，我們認為是我們的教學把課堂塞得過滿，學生根本沒有時間去體悟自己所學的東西.要學生悟，就要給學生一些啟發、一些思考的余地和能夠自由控制的時間[1].目前我們的教學現狀基本上還是教師講、學生練，也就是學生學得多、悟得少，教師為了完成教學任務總是用自己的思考替代學生的思考.數學學習是一個充滿價值判斷的過程，學生面臨困難時，首先有一段含有價值判斷的“嘗試推理，窺測方向”，然后才是帶著一定邏輯意義的行為，并用可以言傳的方式表達出來.比如本課在“概念應用，拓展創新”環節讓學生探究終邊相同的角之間的關系以及探究例1解題方法的過程中，執教者便有意無意地取代了學生面臨問題時“窺測方向”的過程，也就是忽視了學生面臨問題時的原創思維，造成了學生思維的斷層.課后與執教教師交流，的確是“為了盡快完成預設的教學任務”.其實，不給學生時間、空間，學生的思維得不到啟發，當再次遇到問題時，便容易造成思維等待，而不是主動去思考問題解決的方法，從而阻礙了學生思維的自主發展.

第三，激發學生交流的需求.心理研究表明：學生的思維活動總是由問題開始，又在解決問題的過程中得以發展.問題導學的重點在“學”，當教師提出問題以后，一定要給學生思考和說的機會，有時還要刻意激發學生“有話要說”的需求[2].在本課課堂小結環節，教師設計了幾個問題讓學生對課堂所學內容進行歸納，但因為時間和學生反應較慢的關系，最后全部變成了教師來說.其實，教師過多地遵循自己的預設，或者過早地以“正確觀點”結束自己所提出的問題，都是對師生間客觀差異的否定，也是對學生主體的漠視.我們認為，教師應鼓勵學生發表自己的看法、闡述自己的理由、傾聽他人的想法，在大膽的交流、辯論、分析中發展自己的學科核心素養，讓數學思維走向深刻.

參考文獻：

[1]劉玉蘭，蘇忠菊.課堂教學要“順應”學生的思維——以《平行四邊形的面積》教學為例[J].小學教學設計，2014.

[2]張莉.數學教學應順應學生的思維規律[J].青海教育，2018.

（責編 白聰敏）