柯西中值定理在解題中的應(yīng)用

陳書坤

摘 要：柯西中值定理不僅是高等數(shù)學(xué)中微分學(xué)的理論基礎(chǔ)之一，并且也具有廣泛的應(yīng)用.由于教材中對(duì)于柯西中值定理的應(yīng)用涉及的較少，因此本文從柯西中值定理出發(fā)，給出了其在證明等式、不等式、函數(shù)有界性、單調(diào)性、求函數(shù)極限等方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：柯西中值定理;不等式;函數(shù)極限

微分中值定理是高等數(shù)學(xué)中微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，其主要包括三個(gè)中值定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，其中拉格朗日中值定理是核心，羅爾定理是其特殊情況，柯西中值定理是其推廣。對(duì)于微分中值定理的應(yīng)用，大部分教材只是例舉了羅爾定理和拉格朗日中值定理的應(yīng)用，對(duì)柯西中值定理的應(yīng)用涉及的較少。為了使初學(xué)者更好地掌握柯西中值定理在解題方面的應(yīng)用，下面給出了柯西中值定理在證明等式、不等式、函數(shù)有界性、單調(diào)性、求函數(shù)極限等方面的應(yīng)用。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文主要例舉了在解題時(shí)經(jīng)常遇到的有關(guān)柯西中值定理的應(yīng)用思路和技巧，還有部分不太常見的柯西中值定理的應(yīng)用，沒有涉及。以上列舉的柯西中值定理的思路和技巧，不僅可以加深初學(xué)者對(duì)于柯西中值定理的理解，還可以拓寬初學(xué)者在解決某些問題時(shí)的思路。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]毛羽輝，韓士安，吳畏，等.數(shù)學(xué)分析（第四版）學(xué)習(xí)指導(dǎo)書[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3]胡春陽(yáng).微分中值定理在不等式證明中的應(yīng)用[J].白城師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，31（2）：13-16.

[4]鄭華盛.高等數(shù)學(xué)一題多解300例[M].北京：科學(xué)出版社，2019.

[5]張躍平，葛健芽，沈利紅. 柯西中值定理的證明與應(yīng)用[J].金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，6（3）：57-60.

[6]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2006.