復(fù)雜曲面輪廓誤差高精度在線計算研究

楊樂 張立強 李冬冬

摘 要：高精度在線計算輪廓誤差可有效降低數(shù)控加工中的控制輪廓誤差。因此，提出一種基于三點弧線理論的方法，在補償輪廓誤差之前對輪廓誤差進行精確計算。首先根據(jù)插值參考位點與加工過程中的實際位置，計算距離實際位置最近的參考位點;然后根據(jù)最近參考位置及其相鄰兩點形成的近似外接圓弧，計算實際位置到該圓弧的距離，即求得刀尖位點輪廓誤差，采用同樣方法計算刀具方向輪廓誤差。實驗結(jié)果表明，該算法比原有算法刀尖位點輪廓誤差均值減小了0.056um，刀具方向均值比原有算法減少7.166um。基于三點弧線理論的算法僅需考慮實際位置與距離實際位置最近的參考位點坐標，可精確計算較大的曲率處，且無需考慮傳統(tǒng)計算方法中刀具干涉問題，簡化計算過程的同時還可保證計算精度。

關(guān)鍵詞：輪廓誤差;三點弧線;刀具軌跡

DOI：10. 11907/rjdk. 191880 開放科學(xué)（資源服務(wù)）標識碼（OSID）：

中圖分類號：TP306文獻標識碼：A 文章編號：1672-7800（2020）005-0069-05

0 引言

復(fù)雜曲面加工在工業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用愈加廣泛，如整體葉輪、螺旋槳、機翼等。數(shù)控系統(tǒng)動態(tài)特征決定零部件加工精度高低，在多軸加工過程中，單軸伺服系統(tǒng)頻率與帶寬會造成每個軸跟蹤誤差[1]。若軸動態(tài)特性不匹配則會造成輪廓誤差，減小輪廓誤差比跟蹤誤差更重要，因為前者直接影響加工零件形狀精度[2-3]。傳統(tǒng)減小輪廓誤差的方法主要有兩種，一是通過控制各軸跟隨誤差間接達到減小輪廓誤差的目的，如Syh-Shiuh[4]提出利用零相位方法計算單軸跟蹤誤差;另一種是直接控制輪廓誤差大小，如莊丙遠等[5]用D-H法建立輪廓誤差計算模型，設(shè)計PID輪廓誤差補償器，對輪廓誤差進行補償。在補償輪廓誤差之前，首先必須精確計算出輪廓誤差大小，因此如何在線精確計算輪廓誤差大小尤為重要。趙歡等[6]提出在插值點處用二階泰勒展開的方法計算輪廓誤差;隋振等[7]提出根據(jù)實際加工點與理論位點之間的滯后量計算輪廓上的校正位點，依據(jù)是進給速度與切向跟蹤誤差;Wang[8]用多次密切圓的方法計算輪廓誤差;Uchiyama等[9]用二階展開公式計算平面圓的輪廓誤差，并結(jié)合交叉耦合控制補償輪廓誤差;Mohammad等[10]運用密切圓局部逼近待加工的自由曲線，并用麥克勞林二階展開式求解輪廓誤差近似值;林獻坤等[11]提出基于點到空間曲線距離函數(shù)的輪廓誤差二階估計方法。在曲面加工中利用上述方法可使小曲率處的加工精度提高，但若在大曲率位置，如尖點處、拐角處等，計算精度會下降。岳磊[12]利用足點定義，進行迭代計算，將輪廓誤差計算精確化，該方法雖然計算精度有所提升，但是計算量相當龐大，計算時間較慢;林志偉[13]結(jié)合任務(wù)坐標系法對輪廓誤差進行計算和補償，但在路徑曲線上因局部曲面曲率變化等原因出現(xiàn)微小波動，會對實際加工造成不良影響。

本文提出一種基于三點弧線理論的算法，進行刀尖位點與刀具方向輪廓誤差計算[14]。該算法優(yōu)點在于僅需考慮實際加工點位置和最近參考位點位置，無需考慮刀軸間的干涉問題與曲面曲率，在較大曲率處也能精確計算[15-16]。本文算法通過計算實際位置和最近參考位置與其相鄰兩點構(gòu)成的弧線之間的距離，計算刀尖位點輪廓誤差，引入比例因子，在單位圓中根據(jù)刀尖位點位置計算相應(yīng)的刀具方向位置，引入比例因子可確保刀尖位點與刀具方向同步，以同時計算刀尖位點與刀具方向輪廓誤差。

1 五軸輪廓誤差算法設(shè)計

五軸輪廓誤差主要受刀尖位點與刀具方向兩個誤差的影響，因此在計算輪廓誤差時，需將刀尖位點與刀具方向輪廓誤差定義在同一個坐標系中[17-19]，如圖1所示。

其中[（Pr，Or）]是理論輪廓上刀尖位點和刀具方向的參考位置，[（Pa，Oa）]是實際加工過程中刀尖位點與刀具方向的位置，[Pc]是理論輪廓上距離實際刀尖位點[Pa]最近的刀尖位置，[Oc]是[Pc]位置對應(yīng)的刀具方向位置。如圖1所示，[εp]是刀尖位點輪廓誤差，[ε0]是刀具方向輪廓誤差。

1.1 刀尖位點輪廓誤差計算

如圖2所示，[P1，P2，？Pn]是參考路徑上的插值參考位置，[Pr]是參考位置，[Pa]是對應(yīng)于[Pr]的實際加工位置。首先，需找到在期望輪廓上距離實際位置[Pa]最近的位置，記為[Pr-k]，[k∈-M，M]。計算公式見式（1）。其中，M是參考位置[Pr]附近的搜索范圍。[Pr-k-1]和[Pr-k+1]是與[Pr-k]相鄰的左右兩點。本文算法假設(shè)[Pr-k]既不在軌跡起點，也不在軌跡終點，且[Pr-k-1]、[Pr-k+1]、[Pr-k] 3點不共線。根據(jù)得到的[Pr-k-1]、[Pr-k+1]、[Pr-k] 3點，可以畫出外接圓，如圖2所示，外接圓圓心[O0]可根據(jù)公式（2）計算。

1.2 刀具方向輪廓誤差

為將刀尖位點與刀具方向協(xié)同到同一個坐標系中求解輪廓誤差，需保證刀尖位置[Pc]距離相鄰參考位置的比例系數(shù)與刀具方向[Oc]距離相鄰參考位置的比例系數(shù)相同。

[Pc]可能落在[Pr-k]的左右兩邊，計算刀具方向輪廓誤差方法假設(shè)[Pc]在[Pr-k]的左邊，如圖2所示。左右邊計算公式相同。比例系數(shù)[λ]的引入是為了定量描述計算得到的刀尖位置[Pc]與參考位置[Pr-k-1]、[Pr-k]之間的關(guān)系，同時保證同步計算刀尖位點與刀具方向輪廓誤差。計算公式為：

若[γ<π2]，則將[（Pn-2，On-2），（Pn-1，On-1），（Pn，On）]看作[（Pr-k-1，Or-k-1），（Pr-k，Or-k），（Pr-k+1，Or-k+1）]，然后根據(jù)1.1和1.2中提出的方法分別計算刀尖位點輪廓誤差和刀具方向輪廓誤差。

（2）當相鄰的參考點共線時，即[（Pr-k-1，Or-k-1），][（Pr-k，Or-k），（Pr-k+1，Or-k+1）] 3點共線時，如圖6所示，首先計算[（Pr-k+1-Pr-k-1）./（Pr-k-Pr-k-1）]，判斷得到的向量是否[x=y=z]，若相等，則3點共線;如圖6所示，[Pc]為[Pa]在線段[Pr-k-1Pr-k]上的投影。

原始算法計算結(jié)果見圖8，刀尖位點誤差均值為0.000 158 20mm，刀具方向輪廓誤差均值為：1.570 796 22mm;經(jīng)過改進后的算法見圖9，刀尖位點輪廓誤差均值為0.000 102 17mm，相比減少了0.056um，刀具方向輪廓誤差均值為：1.570 796 04mm，相比減少了7.166um。說明本文算法計算精度更高。

3 結(jié)語

輪廓誤差是標識復(fù)雜曲面加工質(zhì)量的重要指標。復(fù)雜曲面加工中不可避免會產(chǎn)生輪廓誤差，因此需對輪廓誤差大小進行補償，以達到預(yù)期加工效果。在補償輪廓誤差之前需精確計算輪廓誤差，因此本文提出了一種基于三點弧線理論的方法在線精確計算輪廓誤差。針對原始算法需考慮刀具加工中的干涉問題，以及其它算法在較大曲率處計算精度較低的問題，本文算法僅考慮最近實際位點和最近參考位置，所以適用于不同類型的曲面加工，同時在較大曲率處也能進行精確計算。經(jīng)過試驗驗證，本文算法可精確計算復(fù)雜曲面加工中輪廓誤差大小，為后續(xù)進行輪廓誤差補償提供依據(jù)，便于設(shè)計輪廓誤差補償器進行輪廓誤差補償，以達到理想的加工效果。

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（責任編輯：江 艷）