曲梁與拱的正應力分析

陳琦，李振東

（1.蘭州理工大學，蘭州730050；2.江蘇大學，江蘇 鎮江212013）

1 引言

曲梁與拱因樣式多樣、造型獨特、結構合理而廣泛應用于現代結構工程中，但也因其原有曲率的存在，使得曲梁與拱的力學性能較為復雜，研究較為困難。

20 世紀50 年代蘇聯學者Vlasov【1】建立了經典的穩定性理論，將曲梁的曲率替換，然后代入直梁的平衡方程中得到求解。Usami【2】等基于薄壁構件理論分析的基本假定，推導出曲梁翹曲位移的近似表達式，并推廣至拱的研究。本文利用卡氏第二定理【3】以及超靜定問題的解得到曲梁的正應力計算公式，并在MATLAB 中以標準實驗構件為研究對象，討論分析了3 種約束條件下曲梁與拱的正應力沿軸線變化的情況，為工程實際提供參考依據，以便于曲梁與拱結構在實際工程中的推廣。

2 理論求解

理論研究對象為彈簧鋼制（60Si2Mn）的矩形斷面曲桿，其圓心角為120°，拱頂有承壓支座，兩側拱腰為30°的對稱截面。改變其約束方式，構建簡支曲梁、二鉸拱和無鉸拱。取構件任一截面S作為研究對象，其與豎直方向夾角φ 為研究對象。

通過查閱相關資料【4】，得到曲梁的正應力σ 計算公式:

式中，a、Jz為系數；A為截面面積；N為截面S的軸力，N；M為截面S的彎矩，N·m；R為構件的曲率半徑，m；y為構件內徑到中性軸的距離，m。

2.1 簡支曲梁

對于截面S，構件頂端施加集中力P，其彎矩M（φ）和軸力N分別為：

簡支曲梁正應力沿截面的變化如圖1 所示。

圖1 簡支曲梁正應力變化圖像

2.2 二鉸拱

對于截面S，構件頂端施加集中力P，利用卡氏第二定理可得，其彎矩M（φ）、軸力N分別為：

利用最小功原理求得其約束力X1：

二鉸拱正應力變化如圖2 所示。

圖2 二鉸拱正應力變化圖像

2.3 無鉸拱

對于截面S，構件頂端施加集中力P，利用卡氏第二定理可得，其彎矩M（φ）、軸力N為：

利用最小功原理求得約束力X1、X2：

無鉸拱正應力變化如圖3 所示。

圖3 無鉸拱正應力變化圖像

3 結語

在曲梁與拱的正應力分析中，可以得到簡支曲梁與無鉸拱的正應力最大截面在φ=0°時，即正應力最大截面在簡支曲梁的頂端以及無鉸拱的拱頂處。而通過高等材料力學中的理論分析，得到二鉸拱正應力最大截面并不存在拱頂處。因此，工程實踐中應當加強曲梁與拱在正應力最大截面處的材料強度，以保證工程實踐的安全性，同時也為在保證強度要求的前提下節約材料提供了方向。