以問促思 深度引領
——例談數學例題教學中問題的設計

■趙 霞

問題是思維的起點，創造的開始，學習的開端。沒有問題，就沒有數學。因此，要追求數學課堂的有效性，教師可以從問題的設計入手。恰當的課堂提問不僅能鞏固知識，及時反饋教學信息，而且能激勵學生積極參與，激發學生深入思考，啟迪學生的智慧。在數學例題教學中，教師尤其要重視問題的設計。下面筆者就以一道例題的教學為例，來談談數學例題教學中問題的設計。

例題：如圖1，在四邊形ABCD中，AC、BD交于點E，△ABE的面積為4，△CDE的面積為16，求四邊形ABCD的面積的最小值。

一、提問要能引領“知識溯源”

問題1：本題說到底是一道求面積的問題，初中階段我們有哪些常用的求面積的方法呢？

生1：面積公式法、割補法、比值法。

問題2：這三種求面積的方法一般在什么情況下應用？

師生討論：面積公式法常用于規則圖形的面積求解。割補法一般用于不規則圖形的面積計算。我們可以借助割補法將不規則圖形轉化為規則圖形，再算出規則圖形的面積，利用規則圖形的面積的和或差來求得不規則圖形的面積。比值法常用于已知兩個圖形的面積比的情況，如果有一個圖形的面積已知，可以輕松利用這個比值求另一個圖形的面積。如果兩個三角形相似，我們可以借助相似比求出它們的面積比；如果不相似，我們可以觀察這兩個三角形是否同高（等高）或同底（等底），如果同高（等高），面積比等于它們的底之比，如果同底（等底），面積比等于它們的高之比，最后再利用這個比值求出另一個三角形的面積。

鑒于數學問題常常運用所學過的知識加以解決，故借助“知識溯源”，可以為處理問題、明確思考方向、發掘解決問題的基本路徑找到通性通法。例題教學中教師通過恰當的提問喚醒學生已有的解題經驗，既能鞏固學生已有的知識，又能讓學生解決問題時有的放矢，有法可依。

二、提問要能引領“學會選擇”

問題3：結合條件，你認為用面積公式能求四邊形ABCD面積的最小值嗎？

生2：整個圖形是一個任意的四邊形，所以用面積公式法求面積不合適。

問題4：那么用割補法能求四邊形ABCD面積的最小值嗎？

生3：可以將四邊形ABCD的面積看成△ABD和△BCD的面積和，或者四個三角形的面積和，但也解不出來。（教師引導學生交流討論。學生嘗試作出高，如圖2，發現此法仍行不通。）

問題5：還有其他割補的方法嗎？

學生又提出了幾種割補的圖形。如圖3，將四邊形ABCD補成平行四邊形，得出S四邊形ABCD=；如圖4，將四邊形ABCD補成△DCQ，平行四邊形MNKP使S四邊形ABCD=S△DCQ-S△ABQ；如圖5，將四邊形ABCD分割成兩個直角三角形和一個直角梯形，使S四邊形ABCD=S△ABM+S梯形AMND+S△CDN。學生發現這些方法都不能求出四邊形ABCD的面積的最小值，因此割補法也不能解決這一問題。

當學生發現面積公式法、割補法都不能解決四邊形ABCD的面積的最值問題時，就會下意識想到比值法。

在“知識溯源”的基礎上，提問要善于引導學生對知識方法進行比較，引導學生從條件和結論展開聯想，擇優選擇解題方法，為解題明確方向。這樣的提問可以培養學生從眾多知識中篩選有用知識的能力，培養學生尋找最優方法的數學思想，提高學生分析、解決問題的能力。

三、提問要能揭示“思想方法”

問題6：現在只剩下用比值法來求面積了，那么用比值法求面積的關鍵是什么呢？

生4：關鍵是求出未知圖形面積和已知圖形面積的比值。

問題7：很好，如圖2，那么這里應該求出哪些圖形之間的面積比呢？

生5：應該求出△ADE與△ABE、△CDE與△CBE的面積比，因為這里△ABE與△CDE的面積是已知的，如果未知三角形的面積與它們的比值求出來了，就能較容易地求出未知三角形的面積，加之這里△ADE與△ABE、△CDE與△CBE正好等高，它們的面積比就等于DE與BE的比。

問題8：但這里DE與BE的比確定嗎？四邊形ABCD的面積會隨著它們比值的變化而變化嗎？

生6：這里DE與BE的比值不確定，它們的比值改變，四邊形ABCD的面積也會隨之改變。

問題9：四邊形ABCD的面積和DE與BE的比值都是變化的量，在數學上有沒有可以研究兩個變化的量之間關系的數學模型呢？

生7：函數模型可以研究兩個變量之間的關系。

問題10：那這里的自變量是誰？因變量又是誰？

生8：自變量是DE與BE的比值，因變量是四邊形ABCD的面積。

問題11：你們會用函數思想來解決這個問題嗎？

數學的思想方法是數學的靈魂。例題教學中如何滲透數學的思想方法是教師必須思考的問題。利用階梯式的提問讓學生逐步發現解決問題的思想方法，逐步學會用數學的思想方法看待問題，對于學生養成用數學的眼光看世界是非常有益的。

四、提問要能喚醒“基本數學活動經驗”

問題12：通過直接設DE與BE的比值，表示出了四邊形ABCD的面積的函數表達式。但這個函數表達式好像不是我們學過的類型，那如何來求面積的最小值呢？

生10：我們可以畫出這個函數的圖像，通過圖像來觀察它的最小值。

問題13：對于一個陌生函數，我們如何畫出它的函數圖像呢？大家可參考我們初次接觸一次函數時是如何畫出它的函數圖像的。

生11：我們通過確定一次函數的取值范圍，然后列表取很多數值，得到許多對應的點的坐標，然后描點，再用平滑的曲線將點連接起來，發現一次函數的圖像是一條直線。

學生討論，并嘗試列出表格（如下表），畫出函數圖像（如圖6）。教師指導點撥，提醒這里自變量x的取值范圍是x＞0。

問題14：通過列表及圖像，你們認為x取何值時，S取得最小值？最小值是多少？

生12：結合表格和圖像，我覺得x=2時，S取得最小值36。

“基本數學活動經驗”是“四基”之一，也是數學教學目標之一，因此，例題教學要通過恰當的提問來喚醒學生已經獲取的基本數學活動經驗，這樣的提問有助于鞏固數學活動經驗，提升學生對數學知識和技能的應用能力。

五、提問要能提升“思維品質”

問題15：從表格和圖像中我們發現x=2時S=36，并且感覺此時S的值最小，但由于這是一個陌生函數，且在x=2的周圍x還可以取無數個值，你憑什么就認為x=2時，S有最小值？而不是x=2.001或其他值呢？你有什么科學依據嗎？（如果學生回答此問題有困難，教師可適當引導學生從函數表達式的特點來分析。）

問題16：非常棒。到現在為止我們已經成功找到了四邊形ABCD面積的最小值，但老師不想就此結束，老師還想再考考你們。當四邊形ABCD的面積取最小值時，四邊形ABCD在形狀上有沒有什么特殊之處呢？

通過提問將學生的探究引向深入，直至讓學生的數學學習深入數學的本質，這是提高學生綜合分析問題、解決問題能力的重要環節，對于培養學生嚴謹的研學作風，提升學生的思維品質有著極其重要的意義。

總之，例題教學中提問的設計是一門藝術，教師只有巧妙地設計問題，才能引領學生深度學習，才能使學生學會用數學眼光觀察世界，用數學知識認識世界，用數學思維分析世界，用數學邏輯解讀世界，用數學創新建構世界。