Buck電路的分數階建模與PIλDμ控制

方數丞 王曉剛

摘 要：基于分數階微積分理論與實際中電感與電容的外特性呈分數階的事實，運用狀態空間平均法建立了在電感電流連續情況下的分數階Buck電路的數學模型和電路模型，提出了分數階Buck電路紋波分析與連續條件，推導出占空比至輸出電壓的傳遞函數和輸入電壓至輸出電壓的傳遞函數。此模型較整數階模型更能精確反映實際電路工作狀態?；贛atlab/Simulink軟件對模型進行了仿真，驗證了該模型的正確性?；贗TAE最優控制方法設計了分數階PID控制器對該模型進行控制，并對補償后的傳遞函數進行了仿真，驗證了該控制器的有效性。

關鍵詞：分數階微積分;Buck變換器;建模;分數階PID控制

0 引言

自從1695年Leibniz在給L′Hospital的書信中第一次提出關于將微分階次從整數階推廣到非整數階的含義的問題，再到由Leibniz所提出的問題開創了一門持續發展了300多年的關于分數階微積分的學說。直至1960年開始，分數階微積分學逐步推廣到科學與工程領域，大量學者做出了杰出貢獻。其中，意大利學者Caputo與Mainardi教授提出了基于分數階導數建立的耗散問題[1];斯洛伐克學者Podlubny教授提出了分數階比例-積分-微分控制器的模型[2];法國學者Oustaloup教授的研究組提出了分數階魯棒控制理論，并將其成功應用于汽車工業的懸掛控制。

近年來，分數階微積分的應用越來越受到各工程學科的關注，電氣工程領域也不例外[3-4]，一方面，在傳統電路中引入分數階元件可以使電路設計變得更加自由和靈活[5-7];另一方面，某些電氣元件的分數階模型可能取代目前使用的常規模型。張波教授在文獻[8]中提出了一種buck-boost電路的分數階建模方法。文獻[9]、文獻[10]分別建立了電感電流連續模式和電感電流偽連續模式下boost變換器的分數階模型。文獻[11]中對Buck電路進行了分數階建模但沒有對電路進行控制。

在薛定宇教授編寫的書籍[12]中，系統地整合出了分數階微積分的基本概念，同時建立了一個完整的分數階系統工具箱，對于將分數階理論運用到科學與工程中做出了杰出的貢獻。

本文將分數階運用于Buck電路中，利用狀態空間平均法建立數學模型，同時建立電路模型，推導出占空比至輸出電壓的傳遞函數和輸入電壓至輸出電壓的傳遞函數，得出電感電流紋波計算公式和電路運行在電感電流連續模式的條件，并運用Matlab/Simulink對其進行仿真分析，在建立的數學模型下利用分數階PID控制，對其進行閉環控制，從回路成型設計方法的角度看，在整數階系統中Bode幅頻特性的漸進線斜率是20 dB/dec的整數倍，而分數階系統則沒有這樣的要求，所以可以任意制定預期的伯德圖形狀，以期得到更好的設計效果。最后對其傳遞函數進行仿真與分析，改善系統的穩態性能。

1 Buck電路的分數階建模

根據文獻[13]可知，分數階電感和分數階電容兩端電壓和電流微積分關系如下：

式中，VL為電感兩端的電壓;iL為流經電感兩端的電流;ic為流經電容兩端的電流;vo為輸出端電壓，同時也是電容兩端電壓;α、β分別為電感階次與電容階次，且滿足0<α，β<1。Buck變換器的電路原理圖如圖1所示，其兩種工作狀態等效電路如圖2所示。

（1）當開關S閉合時，由圖2（a）得出狀態方程為：

（2）當開關S斷開時，由圖2（b）得出狀態方程為：

由式（1）、式（2）、式（3）、式（4）取值平均化，可得以下矩陣方程：

下面根據狀態空間平均法，引入小信號，此時Buck電路中的輸入電壓、電感電流以及輸出電壓等參數均可由直流分量和擾動量的和表示：

注意，各變量的交流分量的幅值遠小于其相應的直流分量。

將式（6）代入式（5）分離直流分量，可得：

由Caputo分數階導數[14]定義可知，常數的分數階微分值為0，可得：

消去式（5）的直流分量，并忽略高次的交流分量，可得交流小信號模型：

從而根據狀態方程可以得到Buck直流變換器輸入到輸出的傳遞函數為：

根據Caputo分數階定義和模態1中式（1）對其兩邊同時求積分，積分時間為0～DT，此時得出電感電流iL在（0，DT）內的增量，即電感的紋波電流：

式中，Г（α）為伽馬函數[14]。

由式（11）可知電感的紋波電流不僅與輸入電壓、電感L、開關周期T有關，還與電感的階次α有關。

由式（11）可求出電感電流的最大值和最小值如下：

根據式（13）可以得出Buck電路電感電流連續的條件為：

2 數值仿真

為驗證上述建模與理論分析的正確性，基于Matlab/Simulink軟件和薛定宇等人提出的Oustaloup濾波器[15]分數階微積分改進算法，建立了電感電流連續模式下分數階Buck電路的數學仿真模型和電路仿真模型，分別如圖3、圖4所示。

在圖3中，運用薛定宇等人提出的改進Oustaloop濾波器，即圖中的Fractional Int s^{-α}模塊有3個關鍵參數：擬合頻率下限ωb、擬合頻率上限ωh、濾波器階數n。電路中元器件的參數設置如下：電容C=100 μF，β=0.6，電感L=1 mH，α=0.7，占空比D=0.4，開關頻率為25 kHz。考慮到還有高于開關頻率的高頻諧波存在，因而設置ωb=1×10-6 rad/s，ωh=1×106 rad/s，階數n=8。再根據電感電流連續的條件可得R<2.76 Ω，這里選取R=0.5 Ω。根據理論計算可得出此時Vo=2 V，IL=4 A，電感電流紋波ΔiL=1.45 A。所得輸出電壓波形和電感電流波形分別如圖5、圖6所示。

由圖6可知，ΔiL=1.697 1 A，Δvo=0.813 8 V與理論值基本一致，證明模型的正確性。但與整數階Buck電路波形圖不同的是該圖像不是三角波，故在計算紋波電壓Δvo時不能根據整數階直接擴展過來。

圖4中關鍵的元件在于分數階電感與電容近似。分抗逼近電路[16]有Roy分型分抗電路[17]、Oldham RC鏈分抗逼近電路[18]等，根據文獻[19]，基于分抗鏈[20]和改進的Oustaloop濾波器的分數階微積分算法[12]，可以得出分數階電感和電容的等效模型，如圖7、圖8所示。

當L=1 mH，α=0.7時，圖7中的電感和電阻值分別為：RL1=14.880 9 Ω，RL2=0.883 5 Ω，RL3=0.077 9 Ω，RL4=0.006 9 Ω，RL5=0.618 67 mΩ;RL6=55.171 μΩ，RL7=4.913 μΩ，RL8=0.425 μΩ，L1=24.984 μH，L2=46.894 μH，L3=0.132 4 mH，L4=0.366 4 mH，L5=0.001 H，L6=0.002 9 H，L7=0.008 2 H，L8=0.022 6 H。

當C=100 μF，β=0.6時，圖8中的電感電容值為：RC1=54.871 kΩ，RC2=435.86 kΩ，RC3=3 488.3 kΩ，RC4=35 822 Ω，RC5=13.389 1 Ω，RC6=109.364 3 Ω，RC7=870.237 7 Ω，RC8=6.907 2 kΩ，C1=0.288 7 mF，C2=0.001 2 F，C3=0.004 5 F，C4=0.014 μF，C5=1.183 6 μF，C6=4.584 3 μF，C7=18.156 μF，C8=72.576 μF，R=2.512 Ω。

這樣通過仿真后得出波形與數學模型仿真如圖9、圖10所示。

其中淺色線為電路模型仿真波形，由圖9、圖10可知：Vo=2.050 4 V，IL=4.106 9 A，ΔiL=1.679 2 A，Δvo=0.803 6 V。對比數學模型仿真和理論分析，由于在構建分數階電容與電感時用高階傳遞函數近似代入誤差，所以所得結果與數學模型仿真與理論大致一致，從而證明了工作與電感電流連續模式下Buck變換器理論分析的正確性。

將分數階模型中的電感和電流換回整數階，其他參數不變可以得到圖11、圖12所示的整數階電感電流和輸出電壓。

由圖11、圖12可知，ΔiL=0.046 1 A，Δvo=0.002 8 V，整數階時紋波很小尤其是電容紋波接近于一條直線，由此可見該模型同樣也適用于整數階。

3 Buck電路的PIλDμ控制器設計

根據式（10）可得Gvd==，此時令H（s）=1，Gm（s）=1?？傻迷蓟芈吩鲆婧瘮礕o（s）=Gvd（S）H（S）Gm（S），代入參數后得G0=，運用文獻[8]中所給函數做出其伯德圖，如圖13所示。

由圖13可以得出，原始回路函數Go的相角裕度為125.9°，可見系統開環穩定，再做其閉環函數單位階躍響應曲線，如圖14所示。

由圖14可知系統穩定，但具有一定的穩態誤差無法完全跟蹤輸入信號，這就有必要給系統一個補償網絡。工程系統的優化方法有多種，除線性二次型優化及動態規劃法以外，ITAE優化方法也是一種常用的方法。

在優化控制系統設計中，一種合適的性能指標是時間與絕對誤差的乘積積分，稱為ITAE性能指標，表示如下：

ITAE=t|e（t）|dt（15）

選擇ITAE指標，是為了減小較大的初始誤差對性能指標取值的影響，同時也是為了強調最近的響應影響。

在高階系統中，ITAE最優性能指標的幾何意義是誤差的廣義面積極小，它也是多維相空間曲面上的一個極值，它的維數就是該方程所描述系統的狀態數。顯然，用解析法很難得到該極值，因此一般采用實驗的方法來確定最優系數。這種方法同樣適用于PIλDμ控制器設計。根據文獻[8]，我們選擇ITAE性能指標，假設仿真終止時間為8 s，并假設PIλDμ控制器參數均小于40，且階次區間為（0，2），調用fminsearchbnd函數可以設計出如下PIλDμ控制器：

Gc=

加入補償網絡Gc后，回路增益函數G=GoGc，對該增益函數做其閉環函數單位階躍響應曲線，如圖15所示。

由圖15可知，經過補償后，穩態誤差得到改善，符合ITAE性能指標特性。

4 結語

本文基于分數階微積分理論，運用狀態空間平均法，建立了Buck變換器的分數階數學仿真模型和電路仿真模型，給出了電感電流紋波的求解方法和Buck變換器在電感電流連續情況下的工作條件，并給出相應傳遞函數。根據ITAE性能指標，設計了基于數值尋優的最優PIλDμ控制器。經過理論分析發現：

（1）Buck變換器運行于電感電流連續模式下的參數不僅與電感L、負載R、開關周期T、占空比D有關，還與電感L的階數α有關。輸出電壓的直流分量Vo、電感電流直流分量IL與電感和電容的分數階階數無關。

（2）根據數值尋優的最優設計方法對電路進行PIλDμ控制器設計，并用傳遞函數仿真驗證了控制器的有效性。

綜上所述，根據電感和電容本質上是分數階的事實，驗證了本文所建立的Buck變換器的分數階模型和PIλDμ控制器的正確性和有效性。

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收稿日期：2020-01-06

作者簡介：方數丞（1993—），男，江西人，碩士，研究方向：分數階DC-DC變換器的建模與PIλDμ控制器設計。