單元視角下的“等比數列的前n項和”課時設計

任念兵

摘要：在單元整體視角下設計每個課時的教學，都應以學生已有的知識經驗為基礎，瞻前顧后、縱橫聯系，將該課時的新知識嵌入已有的知識體系，同時為后續的相關知識埋下伏筆，從而形成良好的認知結構。“數列”單元的教學要重點突出邏輯推理（重點是類比推理）和數學運算兩大核心素養的培養，而“瞻前顧后”地設計“等比數列的前n項和”的教學，可以集中體現出“數列”單元是培育這兩大核心素養的重要載體。

關鍵詞：中觀教學設計 單元視角 瞻前顧后 等比數列的前n項和

在中觀教學設計的各個操作環節中，用整體思維理解單元教學內容是關系到教學設計優劣的關鍵。在分析單元教學內容時，教師需要鉆研教材，針對具體的數學內容，明晰該知識是什么，該知識是用什么數學思想與方法得到的，該知識的上位知識、下位知識和并列知識分別是什么。在單元整體視角下設計每個課時的教學，都應以學生已有的知識經驗為基礎，瞻前顧后、縱橫聯系，將該課時的新知識嵌入已有的知識體系，同時為后續的相關知識埋下伏筆，從而形成良好的認知結構。特別地，要整體把握教學內容，注重核心素養發展的連續性，并突出課時在單元中的地位和價值，關注核心素養發展的階段性。本文以滬教版高中數學教材“等比數列的前n項和”內容為例，闡述單元視角下“瞻前顧后”的課時設計。

一、“數列”單元的整體分析

“數列”單元的研究思路與函數單元類似，即“數列的定義-表示（通項公式、遞推公式）-性質-特殊的數列（等差數列、等比數列）-聯系與應用”。對于數列這種離散函數，滬教版教材還研究了數列求和與數列極限。

“運算”是數列單元的一條邏輯主線，是研究數列的基本手段。通過減（除）法運算發現差（比）相等，于是有“等差（比）數列”。它們的通項公式、基本性質、前n項和公式等規律性、不變性，都是在運算中出現的。而數列極限研究的重點是，利用三個常用數列極限和極限的運算法則，計算各種數列的極限。

在思想方法層面，等差（比）數列的通項公式及前n項和公式中含有5個量a1、d（q）、n、an、Sn，由其中的3個量可以求其余的2個量，自然地滲透了方程的思想方法。將通項公式及前n項和公式看成關于n的函數，可應用函數的觀點和研究函數的方法解決有關數列單調性和最值的問題，滲透了函數的思想方法。在運用等比數列的前n項和公式時，要注意按公比q=1和q≠1分類討論;在已知Sn求an時，應先分n=1和n≥2兩種情況計算，再驗證能否統一。這些都是分類討論思想的體現。將各種數列轉化為兩個基本數列（等差數列、等比數列）進行研究時，自然地加強了化歸思想方法的運用。

二、“等比數列的前n項和”課時的“瞻前顧后”分析

（一）“瞻前”1：為什么要研究數列求和？

數列概念的理解并不困難，為什么要研究數列通項的性質和數列的部分和（前n項和），才是數列中的真正問題。數列與級數是兩個共生的概念，從數學的角度看，級數才是數學家關注的重點，也是對數學產生重要影響的概念。由于級數的收斂性取決于通項的性質，所以研究數列通項的性質是自然的;而研究級數的收斂性，往往就是判斷數列前n項和的極限是否存在。

（二）“顧后”1：如何理解教材中無窮等比數列各項的和？

無窮等比數列各項的和，已經不同于初等數學中有限項的和，而是前n項和的極限值。用高等數學的觀點看，冪級數是數學分析中的重要概念，而無窮等比數列各項的和作為一種特殊的冪級數，其研究方法和結論對冪級數的研究有重要的參考價值。

（三）“瞻前”2：為什么不能類比等差數列前n項和公式的推導方法來研究等比數列求和？

從形式上看，等差數列前n項和公式的推導方法（倒序相加法）不能簡單地類比到等比數列中來。但是從目標來說，等差數列、等比數列求和都是通過消去相同的項，使得和式中的項數減少：等差數列求和的倒序相加法Sn+Sn，實際上是通過“配對”將不同數的和轉化為相同數的和，從而減少項數;等比數列求和的錯位相減法（教材選擇的方法。等比數列求和還有迭代遞推、利用合分比定理、裂項相消等方法，它們都合乎消項的邏輯，但是不太利于類比等差數列求和的思路）Sn-qSn，則是通過“錯位”消去兩式中的公共項，從而減少項數。因此，兩類數列求和看似形式不同，但本質上都是通過運算技巧達到消項的目標。

（四）“顧后”2：如何理解等比數列求和的思想方法對后續學習的價值？

從思想內涵看，數列求和的本質就是消項。數列是離散的函數，而連續函數的定積分，根據牛頓—萊布尼茨公式，可以求出原函數后作差。故從運算技巧上看，數列求和的根本方法是裂項相消（差分求和）。等差（比）數列的求和都可以利用適當的裂項技巧來實現相消。多年來的高考數學壓軸題中較難的數列不等式a1+a2+…+an

綜上，“數列”單元的教學要重點突出邏輯推理（重點是類比推理）和數學運算兩大核心素養的培養，而“瞻前顧后”地設計“等比數列的前n項和”的教學，可以集中體現出“數列”單元是培育這兩大核心素養的重要載體。

三、“等比數列的前n項和”課時的具體設計

（一）教學要素分析

“等比數列的前n項和”是“等差數列的前n項和”“等比數列及其通項公式”內容的延續，也是“無窮等比數列各項的和”等內容的必要準備。公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、方程等思想方法，在之前的學習中都有一些鋪墊，也都將有助于數列的后續研究。本節課的教學重點是等比數列前n項和公式的推導和運用。

學生已經學習了等差數列的前n項和公式，對數列求和已有了一定的認識。在等比數列及其通項公式的學習中，學生已經體會到等比數列與等差數列的相似性，會自然地進行知識的遷移，類比等差數列來思考等比數列的問題。然而，等比數列前n項和公式的推導方法和推導等差數列的前n項和公式所采用的“倒序相加法”有很大的區別，學生難以通過運算形式上的類比獲得。本節課的教學難點是等比數列前n項和公式的推導方法。

基于對教學內容和學生學情的分析，擬訂本節課的教學目標：掌握等比數列的前n項和公式;學會推導等比數列的前n項和公式;理解錯位相減法的內涵，體會轉化與化歸的思想;在類比等差數列研究等比數列求和的過程中，提升邏輯推理素養和推理論證能力。

（二）教學過程設計

1.創設情境，提出問題。

問題1：國際象棋起源于印度，棋盤上共有8行8列，64個格子。相傳古印度國王為獎賞國際象棋的發明者，問他有什么要求。發明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥粒，以此類推，每一個格子里放的麥粒數都是前一個格子里放的麥粒數的2倍，直到放完64個格子為止。”這位發明者要了多少顆麥粒？

（預設學生回答：求以1為首項、2為公比的

等比數列的前64項的和。）師

今天我們一起來研究等比數列的前n項和。

[設計意圖：創設問題情境，提出求特殊等比數列前64項和的問題。]

課后作業：校本作業“等比數列的前n項和（1）”（內容分兩部分，分別是基本的公式運用和轉化為等比（差）數列后的公式運用。具體題目省略）。

[設計意圖：思考題引導學生深化對等比數列前n項和公式結構的認識，課后作業幫助學生全面鞏固本節課的基本知識和技能。]

（三）教學設計說明

類比函數研究數列，類比等差數列研究等比數列，類比實數的運算研究數列極限的運算等，蘊含著豐富的類比推理的思維方式。求數列的通項、前n項和都涉及算法的選擇問題，而代數運算的方法和思路取決于運算對象的性質，如不同的數列結構決定了不同的求和方法，這些都蘊含著數學運算的核心素養。

等比數列前n項和公式的推導過程，是本節課教學的重中之重。根據課堂生成，引導學生合乎邏輯地思考問題、推導公式是本節課設計的基調。學生簡單地形式類比等差數列求和的倒序相加法，會得到錯誤的思路。教師引導學生分析：等差數列求和的實質是消去中間項，手段是兩式相加的運算，條件是等差數列的性質;類比考慮等比數列中應采取何種運算，利用什么性質，最終實現消去中間項的目標。因此，在這一環節，特別要妥善處理預設與生成的關系。有些學生會因為預習過有關內容，所以直接用錯位相減法來處理，教師可以追問“你是怎么想到的？”，引導學生類比等差數列求和來思考等比數列求和，根據已有的知識和方法來思考新的問題。