初中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)：內(nèi)涵、特征及“生長(zhǎng)點(diǎn)”

印冬建

摘要：要在初中階段較好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，首先，要明晰數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的內(nèi)涵，知道從哪些方面去發(fā)展;其次，要把握數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的特征，整體規(guī)劃相關(guān)的教學(xué);最后，要建構(gòu)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，形成教學(xué)的“著力點(diǎn)”，具體設(shè)計(jì)落實(shí)的措施。數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的特征有整體性、階段性、持久性等，“生長(zhǎng)點(diǎn)”有扎實(shí)的運(yùn)算知識(shí)、良好的運(yùn)算習(xí)慣、積極的運(yùn)算情感和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算訓(xùn)練等。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng) 內(nèi)涵 特征 生長(zhǎng)點(diǎn)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)。它是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《2017版課標(biāo)》）明確提出的學(xué)生需要著力發(fā)展的六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一。但是，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一蹴而就的，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)不只是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)，小學(xué)、初中乃至大學(xué)都應(yīng)將發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。只不過(guò)，不同的階段，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展會(huì)有不同的要求。

要在初中階段較好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，首先，要明晰數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的內(nèi)涵，知道從哪些方面去發(fā)展;其次，要把握數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的特征，整體規(guī)劃相關(guān)的教學(xué);最后，要建構(gòu)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，形成教學(xué)的“著力點(diǎn)”，具體設(shè)計(jì)落實(shí)的措施。本文擬結(jié)合一些案例談一談初中階段數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的內(nèi)涵、特征及“生長(zhǎng)點(diǎn)”。

一、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的內(nèi)涵

（一）運(yùn)算能力

運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。它是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《2011版課標(biāo)》）給出的十個(gè)“核心詞”之一。從《2011版課標(biāo)》給出的定義不難看出，運(yùn)算能力的培養(yǎng)有運(yùn)算法則和運(yùn)算律這兩個(gè)重要的抓手。具有較強(qiáng)運(yùn)算能力的具體體現(xiàn)是能夠根據(jù)運(yùn)算法則正確地進(jìn)行運(yùn)算，能夠運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。說(shuō)得直白一點(diǎn)，就是算得既快又對(duì)。由此可見(jiàn)，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力僅需進(jìn)行知識(shí)、技能層面上的操作。這也就導(dǎo)致不少一線初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中強(qiáng)化運(yùn)算法則的記憶和運(yùn)算技巧的訓(xùn)練（實(shí)際上就是運(yùn)算律的應(yīng)用），讓學(xué)生身陷運(yùn)算的“題海”。

（二）數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)與運(yùn)算能力

《2017版課標(biāo)》還進(jìn)一步明確了數(shù)學(xué)運(yùn)算“主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等”，詳細(xì)闡述了數(shù)學(xué)運(yùn)算的具體過(guò)程。事實(shí)上，不管哪個(gè)學(xué)段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，都要經(jīng)歷這樣的運(yùn)算過(guò)程。《2017版課標(biāo)》還提出：“通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力;有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問(wèn)題;通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神。”顯然，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是在長(zhǎng)期數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)上形成的，適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的，與運(yùn)算相關(guān)的知識(shí)、能力、情感與態(tài)度的總和。如果說(shuō)運(yùn)算能力是由運(yùn)算法則和運(yùn)算技巧形成的“二維平面”，那么數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)則是由運(yùn)算法則、運(yùn)算技巧、運(yùn)算思考、運(yùn)算情感等構(gòu)成的“多維空間”。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是運(yùn)算能力的繼承和發(fā)展，運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的“內(nèi)核”，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)必須從培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力開(kāi)始。

（三）數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的內(nèi)涵解讀

無(wú)論《2017版課標(biāo)》，還是《2011版課標(biāo)》，都對(duì)教材的編寫(xiě)提出了具體的要求：教學(xué)內(nèi)容的編排，不僅要符合學(xué)科知識(shí)體系，還要與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律吻合。因而，不同學(xué)段的數(shù)學(xué)教學(xué)側(cè)重點(diǎn)也不同，這在數(shù)學(xué)運(yùn)算上同樣有所體現(xiàn)。初中數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的主要內(nèi)容有：數(shù)的計(jì)算、估值和近似計(jì)算，式的計(jì)算，數(shù)、式的變形，幾何圖形中幾何量的計(jì)算等。結(jié)合初中數(shù)學(xué)的特征和《2017版課標(biāo)》給出的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)內(nèi)涵，筆者以為，初中階段數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的內(nèi)涵主要有四個(gè)方面：（1）會(huì)根據(jù)運(yùn)算法則和數(shù)學(xué)公式對(duì)數(shù)、式、幾何量進(jìn)行正確的運(yùn)算;（2）能根據(jù)問(wèn)題的條件與目標(biāo)處理數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)、式、幾何量進(jìn)行正確的變形，尋求與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑;（3）能根據(jù)要求估算結(jié)果和進(jìn)行近似計(jì)算;（4）具有良好的運(yùn)算習(xí)慣和積極的運(yùn)算情感，初步形成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神。

二、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的特征

（一）整體性

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是與數(shù)學(xué)運(yùn)算相關(guān)的知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決和情感態(tài)度等的“綜合體”。其中，扎實(shí)的運(yùn)算知識(shí)、熟練的運(yùn)算技能是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的顯性表現(xiàn)，而深度的數(shù)學(xué)思考、積極的情感態(tài)度則隱藏于學(xué)生解決問(wèn)題的活動(dòng)中，不易察覺(jué)。這四者相互影響，彼此融合，構(gòu)成了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)這一整體。所以，一次有效的數(shù)學(xué)運(yùn)算應(yīng)該是四者的整體聯(lián)動(dòng)：沒(méi)有知識(shí)技能的參與，是不可能算對(duì)的;缺少了深度思考和積極情感的投入，想要巧算、速算幾無(wú)可能;不指向問(wèn)題的解決，則運(yùn)算的價(jià)值不能顯現(xiàn)。只有四者整體并進(jìn)、同步發(fā)展，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)才能得到真正的發(fā)展。

本題是筆者為人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)“幾何圖形初步”的復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)的例題。題目中涉及的運(yùn)算主要是角的和、差、倍、分，是“幾何圖形中幾何量的計(jì)算”。解答本題需要的基礎(chǔ)知識(shí)是角的分合、有理數(shù)的加減乘除和合并同類項(xiàng)等，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想有類比、特殊與一般、整體等。這些都是學(xué)生解答與交流中能明確感知的。而所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)思考、運(yùn)算情感體驗(yàn)和運(yùn)算態(tài)度變化等，學(xué)生是無(wú)法直接感知的，但這一切又真真切切地存在于運(yùn)算過(guò)程中。

對(duì)這樣一道例題的探索與交流，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度等多要素參與。它們復(fù)雜地交織在一起，彼此關(guān)聯(lián)，相互影響;一個(gè)要素發(fā)展了，其他要素也會(huì)同步發(fā)展。最終，我們教學(xué)的成效或許沒(méi)有停留在一道數(shù)學(xué)題的解答、一個(gè)重要結(jié)論的獲得或一個(gè)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)上，而指向?qū)W生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)整體發(fā)展這樣更高層次的目標(biāo)。

（二）階段性

與學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平一樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)也遵循“循序漸進(jìn)，螺旋上升”的發(fā)展規(guī)律。在不同的認(rèn)知階段，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)會(huì)表現(xiàn)為不同的層次和水平。此外，根據(jù)數(shù)學(xué)發(fā)展的需要，同樣的運(yùn)算在不同的階段會(huì)有不同的要求，這就是運(yùn)算本身的階段性。因而，階段性也應(yīng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的一個(gè)重要特征。

上述案例中，學(xué)生看上去是在用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算，但體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)素養(yǎng)卻具有明顯的階段性。在小學(xué)，他們應(yīng)用乘法分配律時(shí)，僅涉及數(shù)的運(yùn)算或非常簡(jiǎn)單的式的運(yùn)算。到了初中，不僅要涉及式的運(yùn)算，還要涉及“幾何圖形中幾何量的運(yùn)算”，甚至還會(huì)出現(xiàn)如第（3）問(wèn)那樣逆用乘法分配律的情形。這是學(xué)生的運(yùn)算知識(shí)積累和運(yùn)算技能提升的結(jié)果。

再如，在小學(xué)，學(xué)生看見(jiàn)圓周率就會(huì)想到把3.14代入計(jì)算，而且會(huì)潛意識(shí)地調(diào)用“獲得3.14的整數(shù)倍結(jié)果”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。到了初中，遇到要求“結(jié)果保留π”的問(wèn)題時(shí)，代入3.14顯然就不行了。

（三）持久性

與其他的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)類似，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的持久性有兩層含義：一是發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是一項(xiàng)與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯相伴的任務(wù)，要通過(guò)十幾年甚至幾十年的堅(jiān)持方能完成;二是在學(xué)生未來(lái)的工作與生活中，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)將會(huì)得到持久的應(yīng)用。

上述案例中，“參照有理數(shù)運(yùn)算進(jìn)行其他類型運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)”“利用特殊與一般、整體等數(shù)學(xué)思想可以簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程”等都是學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要組成部分。獲取這些素養(yǎng)絕非朝夕之功，它們是學(xué)生經(jīng)歷了義務(wù)教育前兩個(gè)學(xué)段和七年級(jí)第一學(xué)期這6年半時(shí)間的數(shù)學(xué)運(yùn)算后積累下來(lái)的;如果沒(méi)有始終如一的堅(jiān)持，它們是很難“成型”的。而這些素養(yǎng)一旦形成，將會(huì)一直在學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)中，伴隨他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)、工作和生活，成為他們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題及數(shù)學(xué)以外問(wèn)題的重要工具。

三、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”

（一）扎實(shí)的運(yùn)算知識(shí)

章建躍先生說(shuō)過(guò)：“掌握知識(shí)是形成素養(yǎng)的基礎(chǔ)，‘無(wú)知者無(wú)能，很難想象知識(shí)貧乏者會(huì)是一個(gè)高素養(yǎng)的人。”落實(shí)到數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，就是要做到準(zhǔn)、精、簡(jiǎn)，充分發(fā)揮算理、算法、算序、算技等運(yùn)算知識(shí)在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)中的作用。

算理關(guān)乎運(yùn)算的意義和道理。只有準(zhǔn)確把握算理，才能保證運(yùn)算過(guò)程合理、方法適當(dāng)、結(jié)果正確。所以，運(yùn)算教學(xué)應(yīng)從學(xué)生理解算理開(kāi)始，設(shè)置指向算理的問(wèn)題串，通過(guò)“一問(wèn)再問(wèn)”引發(fā)學(xué)生深度思考，使學(xué)生能準(zhǔn)確把握每一種運(yùn)算的含義和理由并合理應(yīng)用。我們來(lái)看學(xué)生計(jì)算的一個(gè)式子：2x-x=2。這個(gè)式子顯然是不對(duì)的，那學(xué)生為什么會(huì)出錯(cuò)呢？其實(shí)，在計(jì)算這樣的式子前，學(xué)生積累了這樣的生活經(jīng)驗(yàn)：幾個(gè)東西放在一起（有“相加”的意味），拿走一個(gè)東西（有“減去”的意味），還剩另一些東西，如兩把椅子和一張桌子，搬走了桌子，還剩下椅子。因此，在計(jì)算2x-x時(shí)，這個(gè)經(jīng)驗(yàn)被錯(cuò)誤地遷移了過(guò)來(lái)：2是“兩把椅子”，x是“一張桌子”，2x-x就是“兩把椅子、一張桌子減去一張桌子”，結(jié)果2就是“留下的兩把椅子”。顯然，生活經(jīng)驗(yàn)的錯(cuò)誤遷移，讓學(xué)生感覺(jué)2x就是2與x相加，而沒(méi)有理解2x的真正含義（2與x相乘），也就無(wú)法認(rèn)識(shí)2x-x=x的理由（即x+x-x）。

除了重視算理之外，運(yùn)算教學(xué)還要重視教材給定的算法、算序和基于運(yùn)算律、運(yùn)算公式生成的算技等運(yùn)算知識(shí)。不妨再看一個(gè)學(xué)生計(jì)算的式子：（a-2b）²=a²-4b²。這同樣是一個(gè)錯(cuò)誤的算式，問(wèn)題又出在哪兒呢？學(xué)生知道單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式2（a-b）=2a-2b可以應(yīng)用乘法分配律，將括號(hào)前的因數(shù)2“公平”地分配給括號(hào)里的兩項(xiàng)a、-b;還知道積的乘方（ab）²=a²b²可以運(yùn)用有關(guān)運(yùn)算法則，將指數(shù)2“公平”地分配給兩個(gè)因式a、b。因此，學(xué)生很容易受到這里的“公平分配”算法的影響，得到算式（a-2b）²=a²-4b²。顯然，學(xué)生沒(méi)有理解“（a-2b）²的實(shí)質(zhì)是（a-2b）（a-2b）”的算理是根本原因。同時(shí)，學(xué)生沒(méi)能準(zhǔn)確地把握完全平方的算法也是重要的原因。學(xué)生如果知道（a-2b）²=（a-2b） （a-2b），接下來(lái)就能按照“多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”的算法、算序進(jìn)行運(yùn)算了。當(dāng)然，學(xué)生如果能熟記完全平方公式，就可以給出更為簡(jiǎn)化的運(yùn)算過(guò)程了。

（二）良好的運(yùn)算習(xí)慣

運(yùn)算習(xí)慣是學(xué)生運(yùn)算系統(tǒng)的重要組成部分。在教學(xué)中，我們應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生良好的運(yùn)算習(xí)慣，讓學(xué)生在解題行為的不斷優(yōu)化中形成較強(qiáng)的運(yùn)算能力和積極的運(yùn)算情感，豐實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的內(nèi)涵。

1.審題習(xí)慣。

數(shù)學(xué)教學(xué)中，審題習(xí)慣的培養(yǎng)非常重要。運(yùn)算教學(xué)中，我們應(yīng)持續(xù)用固化的問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生厘清題目中的數(shù)、式或幾何量，明確所涉及的運(yùn)算類別和運(yùn)算順序，為運(yùn)算過(guò)程的展開(kāi)掃清障礙。面對(duì)一道數(shù)學(xué)運(yùn)算題，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生有序地思考“有哪些數(shù)、式、幾何量和運(yùn)算符號(hào)”“包含了哪幾種運(yùn)算”“哪些數(shù)、式、幾何量可以先行轉(zhuǎn)化”“先算什么”“后算什么”“有哪些地方要注意”等問(wèn)題。這種基于具體算式或情境的教學(xué)追問(wèn)，能使學(xué)生的每一次運(yùn)算都建立在有的放矢的條件梳理之上。如此反復(fù)經(jīng)歷，教師的有意追問(wèn)就會(huì)逐漸變成學(xué)生的自覺(jué)思考，良好的個(gè)性化審題習(xí)慣就會(huì)在自覺(jué)思考中逐步養(yǎng)成，個(gè)體的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)也在不斷提升。

2.思維習(xí)慣。

數(shù)學(xué)是思維的體操，離開(kāi)了思維，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是“玩不轉(zhuǎn)”的。面對(duì)一道數(shù)學(xué)運(yùn)算題，僅僅會(huì)審題是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的：知曉參算對(duì)象、運(yùn)算類別是第一步;接下來(lái)，還應(yīng)努力嘗試從自己的認(rèn)知系統(tǒng)中調(diào)用運(yùn)算方法、運(yùn)算技巧和運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)等。就算順風(fēng)順?biāo)厮闫饋?lái)了，又怎么保證給出的過(guò)程就一定沒(méi)有瑕疵，給出的結(jié)果就一定正確呢？所以，運(yùn)算時(shí)還需要適時(shí)地反思給出的過(guò)程和結(jié)果。而這一切，都源于良好的思維習(xí)慣。為此，我們可以結(jié)合運(yùn)算題目的特征，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生思考運(yùn)算方法和運(yùn)算技巧，讓他們多想一想“怎么算”，反復(fù)推敲“行不行”，不斷思考“怎么改”。這種針對(duì)思維習(xí)慣進(jìn)行的訓(xùn)練，能讓學(xué)生逐步形成程序化的運(yùn)算思維，明確知曉自己開(kāi)展運(yùn)算的每一步該想什么、該怎么想、該怎么便捷地想，從而形成正確、簡(jiǎn)便的計(jì)算思路，并呈現(xiàn)出規(guī)范、翔實(shí)的運(yùn)算過(guò)程。

3.驗(yàn)算習(xí)慣。

驗(yàn)算是檢查數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果是否正確的基本方法。學(xué)生在小學(xué)階段就已經(jīng)有了豐富的經(jīng)歷，換序再算、互逆倒算、代入檢驗(yàn)等是他們常用的驗(yàn)算方法。到了初中，驗(yàn)算的適用范圍得到了大幅的拓展，不僅有數(shù)式運(yùn)算中的驗(yàn)算，還有解方程、解不等式的驗(yàn)算，以及建構(gòu)模型（方程、不等式、函數(shù)等）解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的驗(yàn)算、圖形運(yùn)算中的驗(yàn)算等。良好的驗(yàn)算習(xí)慣有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)算失誤，及時(shí)調(diào)整運(yùn)算過(guò)程。因而，運(yùn)算教學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容就是學(xué)生驗(yàn)算習(xí)慣的培養(yǎng)。我們可以引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中，反復(fù)進(jìn)行題旁標(biāo)注、分段驗(yàn)算、回頭再算、代入復(fù)核等活動(dòng)，通過(guò)驗(yàn)算經(jīng)驗(yàn)的分享交流和不斷強(qiáng)化，逐步培養(yǎng)學(xué)生的驗(yàn)算意識(shí)，以便他們盡早形成自主驗(yàn)算的良好習(xí)慣。

4.書(shū)寫(xiě)習(xí)慣。

“書(shū)寫(xiě)無(wú)錯(cuò)”是運(yùn)算正確的必要條件。在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，我們應(yīng)要求學(xué)生寫(xiě)出格式規(guī)范、內(nèi)容有序、字跡清晰的運(yùn)算過(guò)程——即便是寫(xiě)草稿。這不是作秀，而是為了讓學(xué)生能較為便捷地找到“問(wèn)題”——就說(shuō)草稿的“有序呈現(xiàn)”，很明顯，從亂七八糟的草稿中找尋“我錯(cuò)在哪兒”是比較困難的事情。書(shū)寫(xiě)習(xí)慣的培養(yǎng)是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，需要多方參與，共同努力。作為數(shù)學(xué)教師，我們主要有五個(gè)抓手：（1）讓學(xué)生參照運(yùn)算范式書(shū)寫(xiě)規(guī)范而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\(yùn)算過(guò)程;（2）有計(jì)劃、有步驟地長(zhǎng)期訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)書(shū)寫(xiě);（3）定期評(píng)價(jià)學(xué)生書(shū)寫(xiě)，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)莫?jiǎng)勵(lì)與指導(dǎo);（4）教師以身示范，課堂板書(shū)規(guī)范工整;（5）協(xié)調(diào)教師、家長(zhǎng)和學(xué)生等各方力量，共同規(guī)范書(shū)寫(xiě)。

（三）積極的運(yùn)算情感

心理學(xué)認(rèn)為，人的任何認(rèn)知活動(dòng)總是伴隨著情感，是在情感的影響下進(jìn)行的。運(yùn)算亦是如此，積極的運(yùn)算情感，能激活學(xué)生的運(yùn)算思維，有利于學(xué)生提取運(yùn)算知識(shí)展開(kāi)有效運(yùn)算。但是，通常沒(méi)有人喜歡繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算。那么，如何讓學(xué)生獲得積極的運(yùn)算情感呢？

1.評(píng)價(jià)激勵(lì)。

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，每個(gè)學(xué)生都渴望被賞識(shí)。在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算過(guò)程，教師要及時(shí)用真誠(chéng)的微笑、友善的目光、親切的贊語(yǔ)來(lái)評(píng)價(jià)激勵(lì)，讓他們感知自己所作運(yùn)算的價(jià)值所在，激發(fā)他們的運(yùn)算興趣。教師的評(píng)價(jià)激勵(lì)要正向，還要分層，不能僅僅以“對(duì)”或“好”來(lái)做簡(jiǎn)單的評(píng)判。而學(xué)生的運(yùn)算能力和水平或多或少存在差異，我們應(yīng)正視這些差異，認(rèn)同學(xué)生的原有能力和水平，順著他們運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展起點(diǎn)和發(fā)展速率實(shí)施評(píng)價(jià)，讓每一個(gè)個(gè)體都首先成為“較好的自己”，最終成為“最好的自己”。

例如，教學(xué)“配方法”時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程后，教師讓學(xué)生從x²-2x=3、x²-3x-3、2x²-3x=3這三個(gè)方程中選擇一個(gè)求解。很快，絕大多數(shù)學(xué)生都給出了一個(gè)方程的解答過(guò)程。在隨后的交流中，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生就展示了解第一個(gè)方程的過(guò)程，并得到了表?yè)P(yáng);而“中等生”和“學(xué)優(yōu)生”則分別展示了后兩個(gè)方程的解答過(guò)程，并都得到了正向評(píng)價(jià);對(duì)于一些敢于挑戰(zhàn)自我，嘗試解高難度方程的學(xué)生，就算沒(méi)有給出完全正確的過(guò)程，教師同樣大加贊賞。總之，所有的學(xué)生都積極參與了整個(gè)解方程與交流的過(guò)程，積極正向的評(píng)價(jià)讓每一個(gè)人都感受到數(shù)學(xué)運(yùn)算帶來(lái)的快樂(lè)。在這樣的分級(jí)設(shè)問(wèn)、分級(jí)解答、分級(jí)評(píng)價(jià)中，每個(gè)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)都得到了較好的發(fā)展。

2.榜樣示范。

數(shù)學(xué)運(yùn)算，獲得正確的結(jié)果是終極目標(biāo)，但沒(méi)有正確的過(guò)程，即使運(yùn)算的結(jié)果正確也毫無(wú)意義。所以，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，我們應(yīng)將著力點(diǎn)放到運(yùn)算過(guò)程上，要通過(guò)運(yùn)算范例給學(xué)生樹(shù)立榜樣，讓他們?cè)凇胺聦?xiě)”中守住運(yùn)算過(guò)程的“底線”，確保在獨(dú)立運(yùn)算時(shí)不丟三落四。通過(guò)一段時(shí)間的有質(zhì)量的訓(xùn)練，學(xué)生的常規(guī)運(yùn)算成果成為范例是極有可能的。

例如，教學(xué)“有理數(shù)的乘方”時(shí)，教師出示計(jì)算題：-10²+[（-4）²-（1-3²）×2]。這道題運(yùn)算類別多，括號(hào)多，稍不注意，就會(huì)出錯(cuò)。教師結(jié)合學(xué)生給出的板書(shū)，形成下頁(yè)圖2所示的范例，讓學(xué)生結(jié)合范例，調(diào)整自己的運(yùn)算過(guò)程。這個(gè)范例審題規(guī)范，解題也規(guī)范：準(zhǔn)確標(biāo)記，合理分步，有序呈現(xiàn)。為學(xué)生運(yùn)算樹(shù)立了榜樣，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的優(yōu)美與嚴(yán)謹(jǐn)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生“仿寫(xiě)”的沖動(dòng)。接下來(lái)，教師便讓學(xué)生“仿寫(xiě)”解答幾道計(jì)算題，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)范例的優(yōu)點(diǎn)。

（四）適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算訓(xùn)練

數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了鞏固知識(shí)、強(qiáng)化技能、感悟方法、積累經(jīng)驗(yàn)，一些適時(shí)、適量、適度的訓(xùn)練是必不可少的。數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)也不例外。運(yùn)算訓(xùn)練指向的不是解題，而是借助審、析、算等的磨礪，培養(yǎng)運(yùn)算知識(shí)的提取與應(yīng)用能力，形成嚴(yán)謹(jǐn)有序、反思質(zhì)疑的運(yùn)算思維，并充分感知運(yùn)算過(guò)程的繁與簡(jiǎn)，有效辨別運(yùn)算結(jié)果的對(duì)與錯(cuò)，積累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生一旦有了豐富的數(shù)學(xué)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，看到再繁雜的運(yùn)算問(wèn)題，也都不會(huì)慌張，而會(huì)努力地從已有經(jīng)驗(yàn)中搜索出可用的經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題。

此外，我們必須準(zhǔn)確把握運(yùn)算練習(xí)的數(shù)量和質(zhì)量，題目不要多，但要精。要知道，機(jī)械重復(fù)無(wú)意義的運(yùn)算訓(xùn)練，不僅會(huì)增加學(xué)生本已過(guò)重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而且會(huì)讓計(jì)算過(guò)程“程式化”“習(xí)慣化”，運(yùn)算的警覺(jué)水平顯著降低，很多相同或相似的錯(cuò)誤反復(fù)上演，運(yùn)算訓(xùn)練進(jìn)入惡性循環(huán)，即“爛熟”沒(méi)有生巧，反而“生厭”“生笨”（李士锜教授語(yǔ)）。此外，要強(qiáng)調(diào)運(yùn)算訓(xùn)練的針對(duì)性，重點(diǎn)呈現(xiàn)與所學(xué)運(yùn)算知識(shí)緊密聯(lián)系的、體現(xiàn)通性通法的基礎(chǔ)題、變式題、綜合題，以及學(xué)生易錯(cuò)的同類型題，讓學(xué)生充分體會(huì)運(yùn)算的合理性與多樣性。

最后，需要指出的是，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)不是孤立的，而是融入“四基”“四能”，與它們共生共長(zhǎng)的。數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)生成于獲取“四基”、提升“四能”的過(guò)程中，又進(jìn)一步服務(wù)于“四基”的獲得和“四能”的提升。