含橡膠連桿的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)研究*

程壽國(guó)，陳虎威，呂清濤

(1.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海 200072；2.江陰職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，江蘇 江陰 214405；3.江蘇航天動(dòng)力機(jī)電有限公司，江蘇 泰州 214523；4.清華大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)系，北京 100084；5.上海天茗信息科技有限公司，上海 201499)

0 引 言

橡膠件在工程上廣泛應(yīng)用于彈性聯(lián)軸節(jié)、連桿銷(xiāo)套和隔震等領(lǐng)域。陸金銘等[1]利用扭轉(zhuǎn)振動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)和有限元數(shù)值模擬方法研究了高彈聯(lián)軸器橡膠件的溫度場(chǎng)分布變化過(guò)程和溫度變化曲線(xiàn)；趙雷雷等[2]通過(guò)彈性力學(xué)理論計(jì)算分析、有限元軟件仿真及試驗(yàn)等方法研究了懸架軸對(duì)稱(chēng)橡膠襯套徑向變形，證明了3種方法的一致性；魏志剛等[3]通過(guò)材料力學(xué)試驗(yàn)為有限元仿真提供了橡膠襯套材料力學(xué)性能參數(shù)；梁瑞軍等[4]研究了隔震曲線(xiàn)連續(xù)梁橋鉛芯橡膠支座參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。

而現(xiàn)在對(duì)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究主要集中于鉸間隙和連桿裂紋兩個(gè)問(wèn)題。王旭鵬等[5-6]主要對(duì)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)含間隙時(shí)接觸碰撞力進(jìn)行了研究，但沒(méi)有進(jìn)一步討論含間隙的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是否是混沌的；史麗晨等[7]主要對(duì)往復(fù)式活塞隔膜泵動(dòng)力端滑道磨損故障的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了研究，并利用龐加萊截面圖和最大李雅普諾夫指數(shù)等判別方法，討論了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其研究結(jié)果說(shuō)明了當(dāng)滑道磨損時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；RAHMANIAN S和GHAZAVI M[8]推導(dǎo)了考慮滑塊與連桿旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)間隙的運(yùn)動(dòng)微分方程，研究了帶間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為；DUPAC M和BEALE D G[9]利用拉格朗日方程建模，研究了曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中連桿中存在間隙和裂紋的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

由于以上分析并沒(méi)有考慮連桿材料為橡膠材料的情況，筆者將利用SimDesigner軟件對(duì)含橡膠連桿的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，并分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，為將來(lái)含橡膠材料構(gòu)件的動(dòng)力學(xué)研究提供參考。

1 系統(tǒng)建模及連桿主要參數(shù)

常用機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模方法主要分為兩類(lèi)：

(1)以ADAMS等工程軟件為主要工具的間接數(shù)學(xué)建模，用工程軟件工具間接數(shù)學(xué)建模比較直觀、操作起來(lái)容易，根據(jù)零件幾何尺寸進(jìn)行建模、裝配、添加驅(qū)動(dòng)，選擇仿真工具進(jìn)行計(jì)算，就可以計(jì)算出運(yùn)動(dòng)參數(shù)和約束力等；

(2)以拉格朗日方程為主要工具的直接數(shù)學(xué)建模[10]，對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化，利用幾何關(guān)系進(jìn)行求導(dǎo)，將實(shí)際問(wèn)題抽象成方程或方程組，利用ODE等方法進(jìn)行方程(組)的求解。

由于橡膠件受載荷后，有變形大等一系列特性,其剛度及強(qiáng)度不能用通常的材料力學(xué)方法來(lái)計(jì)算，而單獨(dú)使用ADAMS也不能求解橡膠等大變形問(wèn)題。

筆者利用SimDesigner軟件，通過(guò)在CATIA建模環(huán)境中提供MSC-Nastran求解器的接口，能夠進(jìn)行多體動(dòng)力學(xué)、結(jié)構(gòu)分析、熱分析和非線(xiàn)性有限元分析來(lái)解決問(wèn)題[11-12]。

筆者在軟件中定義柔性體后，仿真求解出*.mnf文件和*.xdb文件，激活橡膠連桿為柔性體，曲柄勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)滑塊直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，通過(guò)后處理求得機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)。其中，橡膠桿的主要參數(shù)如下：彈性模量為2×106 N/m2，泊松比為0.49，密度為910 kg/m3。

橡膠連桿的主要幾何尺寸如圖1所示。

圖1 橡膠連桿的主要幾何尺寸

圖1中，連桿兩個(gè)軸承孔圓心距離350 mm，兩個(gè)軸承孔外徑為32 mm。為了表述方便，將曲柄與連桿連接的軸承孔外徑用D表示，連桿與滑塊連接的軸承孔外徑用d表示。橡膠桿厚度為20 mm。

2 系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果與分析

筆者分別對(duì)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行全剛體分析、剛?cè)狁詈戏治?原始尺寸D=d=32mm)，和軸承孔外徑尺寸發(fā)生變化后的剛?cè)狁詈戏治觯M(jìn)而對(duì)比分析含橡膠材料連桿的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及曲柄轉(zhuǎn)速對(duì)含橡膠連桿的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的影響、軸承孔外徑尺寸對(duì)該系統(tǒng)的影響。

2.1 全剛體分析、剛?cè)狁詈戏治龅臄?shù)值結(jié)果對(duì)比

全剛性和剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)滑塊的位移、速度和加速度對(duì)比圖如圖2所示。

圖2 全剛體分析和剛?cè)狁詈戏治龌瑝K的加速度對(duì)比

圖2中，橫坐標(biāo)是曲柄的角位置，縱坐標(biāo)分別是滑塊的位移、速度和加速度。對(duì)比以上分析結(jié)果可知，全剛體分析和剛?cè)狁詈戏治銮闆r如下：

(1)滑塊的位移均為“正弦”曲線(xiàn)，而且曲線(xiàn)趨勢(shì)一致。這是因?yàn)殡m然剛?cè)狁詈蠋敕蔷€(xiàn)性因素，但是對(duì)滑塊的位移影響非常小；

(2)全剛體情況時(shí)，滑塊的速度曲線(xiàn)是標(biāo)準(zhǔn)的正弦曲線(xiàn)；而剛?cè)狁詈锨闆r時(shí)，滑塊的速度曲線(xiàn)發(fā)生劇烈波動(dòng)，但整體呈現(xiàn)和剛體情況類(lèi)似的正弦曲線(xiàn)。這是因?yàn)樵趧側(cè)狁詈蠣顟B(tài)時(shí)，橡膠連桿的兩個(gè)軸承孔中心的距離是變化的，從而引起滑塊速度曲線(xiàn)的波動(dòng)，此時(shí)速度的變化趨勢(shì)與全剛體類(lèi)似，所以滑塊的速度曲線(xiàn)一致圍繞著全剛體情況下滑塊的速度曲線(xiàn)上下波動(dòng)。

全剛體情況下，滑塊速度最大值約為1 030 mm/s，滑塊速度最小值約為-1 030 mm/s；剛?cè)狁詈锨闆r下，滑塊速度最大值約為1 160 mm/s，滑塊速度最小值約為-1 200 mm/s；

(3)全剛體情況時(shí)，滑塊的加速度曲線(xiàn)作周期性變化；剛?cè)狁詈锨闆r時(shí)，滑塊加速度呈現(xiàn)看似無(wú)規(guī)則振動(dòng)狀態(tài)，但大致變化趨勢(shì)與全剛體狀態(tài)接近。這是因?yàn)橛捎谶B桿材料的非線(xiàn)性，在對(duì)連桿施加外載時(shí)，連桿的兩個(gè)軸承孔中心距離不斷變化造成的。

全剛體情況下，滑塊加速度最小值約為-8 460 m/s2；剛?cè)狁詈锨闆r下，相應(yīng)時(shí)刻滑塊加速度約為-23 000 mm/s2，滑塊最大加速度約為26 600 mm/s2，滑塊最小加速度約為-25 600 mm/s2，且變化頻繁。

2.2 曲柄轉(zhuǎn)速對(duì)含橡膠連桿曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的影響

曲柄在60 r/min、90 r/min和120 r/min轉(zhuǎn)速下，滑塊的位移、速度和加速度，即滑塊的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)如圖3所示。

從圖3(a)可以看出：滑塊的位移對(duì)曲柄轉(zhuǎn)速變化影響不明顯，在波峰和波谷有很小的變化；

從圖3(b，c)可以看出：在波峰和波谷處速度、加速度的變化最大，而圖3(a)中波峰、波谷位置正是滑塊運(yùn)動(dòng)極限位置。當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)速為120 r/min時(shí)，滑塊的速度最大值約為2 720 mm/s，滑塊的速度最小值約為-2 850 mm/s；曲柄轉(zhuǎn)速為90 r/min時(shí)，滑塊的速度最大值約為1 880 mm/s，滑塊的速度最小值約為-1 920 mm/s；曲柄轉(zhuǎn)速為60 r/min時(shí)，滑塊的速度最大值約為1 110 mm/s，滑塊的速度最小值約為-1 220 mm/s；

從圖3(b)中可以看出：當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)速越小，滑塊的速度波動(dòng)越小；

從圖3(c)可以看出：曲柄轉(zhuǎn)速對(duì)滑塊的影響更加明顯，已經(jīng)看不出“正弦曲線(xiàn)的波峰和波谷”。

2.3 曲柄與連桿連接的軸承孔外徑對(duì)系統(tǒng)的影響

在曲柄與連桿連接的軸承孔外徑尺寸變化時(shí)，含有橡膠連桿的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)滑塊的位移、速度和加速度的響應(yīng)如圖4所示。

圖4 曲柄與連桿連接軸承孔外徑變化時(shí)滑塊運(yùn)動(dòng)響應(yīng)

圖4中，曲柄的轉(zhuǎn)速為60 r/min。當(dāng)軸承孔外徑尺寸(連桿的兩個(gè)軸承中心距不變)發(fā)生變化時(shí)，從圖4(a)可以看出，滑塊的位移變化很小；從圖4(b)可以看出，滑塊的速度有了一些變化；從圖4(c)可以看出，軸承孔外徑為32 mm時(shí)，滑塊的加速度在114°～260°區(qū)間內(nèi)波動(dòng)比另外兩種情況波動(dòng)大很多。

3 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)判別

機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)通常包括周期運(yùn)動(dòng)、準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)、混沌和隨機(jī)運(yùn)動(dòng)幾類(lèi)。判別系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是否是混沌的方法主要有：相圖觀測(cè)法、龐加萊截面法、分岔圖、分頻采樣法、重構(gòu)相空間法等定性判別方法；以及Lyapunov指數(shù)法和功率譜分析法等定量判別方法。通常情況下，將幾種方法結(jié)合起來(lái)可以獲得更加準(zhǔn)確的結(jié)果[13]。

筆者通過(guò)結(jié)合相圖觀測(cè)法、計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)法和功率譜分析法，來(lái)討論系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是否是混沌的。

3.1 相圖觀測(cè)法分析

相圖觀測(cè)法分析是根據(jù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的數(shù)值運(yùn)算結(jié)果，畫(huà)出狀態(tài)變量隨時(shí)間的歷程圖，即相空間中相軌跡隨時(shí)間的變化圖。當(dāng)相軌跡曲線(xiàn)是封閉圖形時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為周期運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榛煦绮痪哂兄芷谛裕嘬壽E曲線(xiàn)是不封閉的圖形時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可能是混沌運(yùn)動(dòng)；而混沌運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性表現(xiàn)為相軌跡曲線(xiàn)集中在有界范圍內(nèi)，且不會(huì)發(fā)散到無(wú)窮遠(yuǎn)。

(1)全剛體機(jī)構(gòu)與剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)的相圖。

全剛體曲柄滑塊機(jī)構(gòu)與剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)的滑塊的相圖曲線(xiàn)如圖5所示。

圖5 全剛體與剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)的滑塊相圖對(duì)比分析圖

圖5中，實(shí)線(xiàn)為全剛體曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的相圖曲線(xiàn)，是封閉曲線(xiàn)，可以說(shuō)明其運(yùn)動(dòng)為周期運(yùn)動(dòng)；通過(guò)圖5(c)中的虛線(xiàn)可以比較容易觀察出含橡膠連桿的剛?cè)狁詈蠙C(jī)構(gòu)可能是混沌的，所以后面主要觀察滑塊速度-加速度相圖。

(2)曲柄轉(zhuǎn)速不同時(shí)的相圖。

曲柄不同轉(zhuǎn)速時(shí)滑塊的相圖如圖6所示。

圖6 曲柄不同轉(zhuǎn)速時(shí)滑塊的相圖

從圖6中可以看出：曲柄轉(zhuǎn)速不同時(shí)，滑塊的速度-加速度相圖變化明顯；滑塊速度與加速度相圖曲線(xiàn)隨著曲柄轉(zhuǎn)速不斷增加變得越來(lái)越稀疏；曲柄的轉(zhuǎn)速不同，曲柄對(duì)橡膠連桿的力不同，橡膠連桿的變形不同，且橡膠是非線(xiàn)性材料，橡膠連桿作用在滑塊上的力也不相同，造成不同曲柄轉(zhuǎn)速驅(qū)動(dòng)下滑塊的相圖有很大的區(qū)別。

(3)曲柄與連桿間軸承外徑尺寸變化時(shí)的相圖。

曲柄與連桿間軸承外徑尺寸變化時(shí)的相圖如圖7所示。

圖7 曲柄與連桿間軸承外徑尺寸變化時(shí)的相圖

從圖7中可以看出：系統(tǒng)處于非周期狀態(tài)，相圖是不封閉且有界的；隨著曲柄與連桿間軸承外徑尺寸變化，相圖發(fā)生一定的變化。這一點(diǎn)與混沌系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)微小變化的敏感性是一致的。

系統(tǒng)是否處于混沌狀態(tài)還需要作進(jìn)一步的判別。

3.2 最大李亞普諾夫指數(shù)

當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)為正值時(shí)，系統(tǒng)就是混沌的。雖然龐加萊截面法映射圖或相平面軌跡都可作為周期與混沌的直觀判斷方法，但求解Lyapunov指數(shù)比別的方法更為可靠。

計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)的方法很多，在這里筆者采用WOLF法進(jìn)行計(jì)算。WOLF法是計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)常用的方法之一[14]。

在不同轉(zhuǎn)速下，曲柄的最大Lyapunov指數(shù)演變圖、曲柄，以及連桿連接軸承外徑尺寸不同時(shí)的最大Lyapunov指數(shù)如圖8所示。

圖8 考慮連桿柔性時(shí)的最大Lyapunov指數(shù)

從圖8(a)中可以看出：當(dāng)D=32 mm、d=32 mm時(shí)，曲柄分別在V=60 r/min、V=90 r/min、V=120 r/min和V=150 r/min轉(zhuǎn)速下，通過(guò)WOLF法計(jì)算得到的最大Lyapunov指數(shù)值分別為0.005 5、0.005 8、0.017 3和0.026 7。由此可以發(fā)現(xiàn)，隨著曲柄轉(zhuǎn)速的增加，最大Lyapunov指數(shù)值也隨之增加；

從圖8(b)中可以看出：曲柄與連桿連接軸承外徑尺寸分別為D=30 mm、D=32 mm、D=33 mm和D=34 mm時(shí)的最大Lyapunov指數(shù)演變圖，通過(guò)WOLF法計(jì)算得到的最大Lyapunov指數(shù)相應(yīng)值分別為0.010 2、0.005 5、0.011 2和0.017；在D=32 mm時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)值最小。

以上計(jì)算的最大Lyapunov指數(shù)值均為正值，由此可以判斷，在以上參數(shù)時(shí)系統(tǒng)是混沌的。

3.3 功率譜分析

因?yàn)榛煦缯駝?dòng)具有隨機(jī)性，可以采用隨機(jī)振動(dòng)的頻譜分析方法來(lái)識(shí)別混沌振動(dòng)。周期運(yùn)動(dòng)和準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的功率譜為離散譜，而混沌運(yùn)動(dòng)的功率譜為連續(xù)譜。

含橡膠連桿的曲柄滑塊系統(tǒng)的功率譜如圖9所示。

圖9 考慮連桿柔性時(shí)的功率譜

從圖9中可以看出：系統(tǒng)的功率譜是連續(xù)的；從功率譜分析判斷可知系統(tǒng)是混沌的。

4 結(jié)束語(yǔ)

利用SimDesigner軟件可以進(jìn)行大變形、大應(yīng)變計(jì)算的特點(diǎn)，筆者對(duì)含橡膠連桿的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行了剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)仿真，并利用相圖觀測(cè)分析法、最大Lyapunov指數(shù)法和功率譜分析法，分別對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是否混沌進(jìn)行了討論。具體如下：

(1)通過(guò)全剛體模型與剛?cè)狁詈蠈?duì)比分析后，證實(shí)SimDesigner軟件可以對(duì)橡膠材料進(jìn)行仿真計(jì)算，通過(guò)相圖觀察含橡膠連桿的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可能具有混沌吸引子，而在不同轉(zhuǎn)速和曲柄與連桿連接軸承外徑尺寸不同時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)均為正，可以說(shuō)明系統(tǒng)是混沌的；

(2)通過(guò)圖(2～4)可以看出，考慮橡膠連桿為柔性體時(shí)滑塊的加速度變化非常明顯，滑塊的位移變化很小。通過(guò)滑塊的速度、加速度相圖更容易觀察出系統(tǒng)可能是混沌的；

(3)從圖3(b，c)和圖6可以看出，考慮橡膠連桿為柔性體時(shí)，滑塊運(yùn)動(dòng)對(duì)曲柄轉(zhuǎn)速的變化比較敏感；

(4)通過(guò)圖(4，7)可以看出，當(dāng)曲柄與連桿連接軸承外徑尺寸不同時(shí)系統(tǒng)發(fā)生了變化，進(jìn)一步說(shuō)明了系統(tǒng)是混沌的，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的微小變化響應(yīng)敏感。