反比例函數教學中的探究與應用

銀集

反比例函數有很多很精彩的性質，例如在一個反比例函數圖象上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作X軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S1和S2則 S1=S2=|k|，還有反比例函數的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸 y=x ，y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標原點，若設正比例函數y=mx與反比例函數y=n/x交于A、B兩點（m、n同號），那么A B兩點關于原點對稱。設在平面內有反比例函數和一次函數y=mx+n，要使它們有公共交點，則n2+4km≥0（不小于0）等等這些都是每次考試的重點。在初中階段教學中還經常碰到有關反比例函數與一次函數相交問題，也是中考熱門話題，下面用一道練習題引入對雙曲線與直線相交問題進行簡單的探究.

又因為DM=NC，那我們將直線向原點平移，則線段MN不斷縮短，于是存在一個點使線段縮成一個點，記為H點，此時線段與雙曲線相切，根據上面的結論可得到HD=HE即點H是線段DE的中點，所以我們可以得到在直角坐標系中，直線與雙曲線相切時切點是該直線被兩坐標軸所截線段的中點，

以上結論在雙曲線與直線的兩個交點在同一象限內時成立，如果兩個交點分別在不同象限時是否依然成立？直線與雙曲線在不同象限內分別有一個交點時，我們也可以利用下面的方法證明。如圖（2）所示，一次函數與反比例函數圖象交于M，N兩點上，點C，D分別是直線與y軸與x軸的交點。

設反比例函數關系式為：且則一次函數關系式為，過N點分別作y軸與x軸的垂線垂足為點B點F， 過M點分別作y軸與x軸的垂線垂足分別為點E點A.利用方程思想可以得到：

綜上所述我們可以得到：如果一次函數與反比例函數圖像在同一坐標系內有兩個交點分別為點M，點N，則MD=CN即 Rt△AMD≌Rt△BCN。我們可以利用這個結論解決問題。例如：

又因為一次函數K=-1，所以△AED是等腰直角三角形.

數學的世界是精彩的，充滿挑戰的，我們遨游在精彩的數學世界里不能進寶藏而空返，當然這次探究還有很多不成熟的地方，相信雙曲線與直線相交圖形中的精彩性質遠不止這些，這需要我們進一步探究。

參考文獻

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[2]虞彩霞.雙曲線中的一個有趣結論.中學大世界.07期，2009年

[3]蓋仕廣.一次函數的一個有趣性質 .數學教學.01期：32，2011年