基于NSGA-II 算法的航天產品裝配公差多目標優化

施祥玲，徐小明，蘇林林，徐培利，皮 剛

（上海航天設備制造總廠有限公司，上海 200245）

0 引言

公差優化設計是在確保產品制造精度、功能及性能要求的基礎上，按照特定的方法以及相應的約束條件合理分配產品尺寸鏈中各組成零件的公差，其是決定產品的制造成本及質量等的重要因素。傳統的公差優化設計主要是依據相關標準或設計人員的經驗等方法確定，其研制生產過程中經常發生由于幾何精度設計不合理導致零件返工、零件互換性差以及裝配精度難以滿足等問題，直接影響了產品的功能和性能。因此，考慮公差分配對產品生產研制成本的影響，在確保產品功能及性能實現的基礎上，圍繞著降低生產成本、質量損失成本進行的產品裝配公差優化分配的研究具有重要意義。

針對傳統的公差優化方法的不足，文獻［1］以制造成本及質量損失為優化目標函數，分別采用粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）和遺傳算法（GA）進行了求解，實現了公差優化設計。文獻［2］利用模擬退火算法，以產品裝配精度和加工成本建立目標函數，獲得裝配精度優化結果，能夠在很大程度上提高產品裝配精度。文獻［3］構建了含裝配成本的公差優化設計模型，利用改進的PSO，求解基于制造成本以及質量損失的裝配公差多目標優化問題。文獻［4］利用PSO 與層次分析法相結合的方法，對以裝配性能、加工成本和裝配操作復雜度為目標優化函數的公差優化設計模型進行求解。文獻［5］以制造成本、質量損失及加工能力指數為優化目標函數，提出了一種多工序尺寸和公差的優化設計方法，采用目標層解法優化特征內的各個工序基本尺寸和尺寸公差，實現降低產品研制總成本的目的。文獻［6］提出了一種公差優化分配方法，在綜合考慮成本-公差函數、尺寸公差和形位公差之間關系的基礎上，利用公差混合優化分配法和傳統方法進行非線性優化分配求解。然而，僅考慮單目標優化無法滿足實際裝配生產中多項產品指標相互協調的決策需求，通過多個目標函數線性相加組合，該方法會由于各個優化目標函數的量綱或數量級不同，導致權重系數的分配有一定的主觀性和不穩定性，無法解決Pareto 最優前沿面為非凸的問題。

文獻［7］在綜合考慮加工成本、質量損失成本和公差敏感性的基礎上，以裝配性能要求和加工能力為優化的約束條件，利用改進的PSO 進行求解，得到Pareto 最優解集。文獻［8］以零件設計公差作為優化變量，以裝配偏差與質量損失為優化目標，提出了一種基于NSGA-II 算法的解決公差多目標優化分配的有效方法，獲得了多目標函數的最優解集。但上述方法在建立產品成本-公差模型方法上，主要考慮零件的加工成本與質量損失，未關注產品零件公差與裝配成本之間的關系。

近年來，隨著航天的快速發展，航天類產品呈現出批量小、結構復雜、精度要求高等特點，產品的裝配操作占據了生產的大量成本支出與工時，是航天類產品研制生產過程的重要環節。裝配成本也是決定航天類產品生產制造成本的一個重要指標，必須將其考慮進產品制造的成本模型中。

本文針對航天產品生產過程中裝配工藝方法，在同時考慮產品零件的加工成本以及產品裝配成本的基礎上，提出一種航天產品成本-公差模型，建立了以產品成本與質量損失為目標的多目標公差優化設計模型，采用NSGA-II 算法對航天產品裝配公差多目標優化問題進行分析求解。最后，以空間站某型號的一個部件產品的公差多目標優化為例對算法進行驗證。結果表明：基于NSGA-II 算法的裝配公差優化結果在滿足設計功能及性能要求的前提下，可以提高產品裝配公差優化分配的有效性和合理性。

1 裝配公差多目標優化模型

隨著我國航天事業飛速發展，航天產品呈現出結構精密、裝配精度要求高等特點，導致裝配占據了航天產品研制過程的大量工時和成本支出。因此，本文建立成本公差模型時引入裝配成本概念，綜合考慮加工成本和裝配成本，同時構建產品質量損失模型，以產品質量的損失及生產制造的成本作為目標函數進行航天產品裝配公差優化設計，以獲得合理的公差優化設計方案，均衡公差對成本及質量損失的影響。

1.1 目標函數構建

1.1.1 成本公差模型

1）加工成本-公差模型。

加工成本基本上決定了機械產品的成本的絕大部分，而零件公差又是影響加工成本的重要因素，因此，在保證產品的裝配精度及功能、性能前提下，不同的公差分配設計成為決定成本高低的重要因素。

目前，國內外學者相繼提出了10 多種“成本-公差”的基本數學模型，如指數模型、冪指數模型、多項式模型以及指數和冪指數復合模型等公差模型［9］，見表1。

根據表1 中各模型的誤差數據，為提高模型建立的準確性，本文采用絕對誤差較小的5 次多項式模型，加工成本-公差模型為

表1 加工成本-公差模型及誤差對比Tab.1 Comparisons of machining cost-tolerance models and errors

式中：Cm為總的加工成本；n為產品中尺寸公差的數目；Ti為第i個組成環的公差；Cmi為第i個組成環的公差造成的加 工成本；a0i、a1i、a2i、a3i、a4i及a5i為與公差相關的加工成本系數。

2）裝配成本-公差模型。

在航天產品機構精密化、功能復雜化的發展進程中，裝配已經成為航天類產品制造過程的主要環節，占據了產品研制的大部分時間。所以，裝配成本也是評價航天類產品研制成本的關鍵指標，建立裝配成本-公差模型［3］為

為減小計算量并提高計算精度，根據式（3），對裝配成本Cai求其麥克勞林級數，則有Cai的5 次展開式為

式中：b0i、b1i、b2i、b3i、b4i及b5i為裝配成本系數。

1.1.2 質量損失模型

產品研制完成交付使用或上市后由于其質量特性的波動所造成的損失表征為其質量損失［10］，最為常用的為田口二次型模型。假設某一產品的質量特征值為y，目標值為m，利用基于田口二次型質量損失函數的質量損失-公差模型，則有

式中：k為質量損失系數，與y不相關。

將公差取雙向對稱分布，可得

因此，根據產品的公差尺寸可建立質量損失-公差模型為

則有產品總的質量損失成本為

1.2 約束條件建立

在公差優化研究領域，約束條件一般包括加工合格率約束、裝配功能要求、裝配的工藝性、工序能力指數及經濟加工能力等。本文建立最常用的裝配功能公差鏈約束和加工方法的經濟性公差約束模型。

1.2.1 裝配功能要求

極值法以及均方根法是傳統公差設計與分析的主要方法。其中，相比于極值法，均方根法可以在確保產品的裝配精度、功能及性能要求的基礎上，獲得更為合理的公差限。本文以均方根法作為裝配性能要求計算的依據，則

式中：δi為第i個尺寸公差的靈敏度系數；ΔA為裝配功能的要求值。

1.2.2 經濟加工能力

傳統公差設計優化時，設計公差必須在經濟加工的能力范圍之內，即

式中：Timin為第i個組成環的公差的最小加工能力公差；Timax為第i個組成環的公差的最大加工能力公差。

1.3 公差優化多目標模型

綜合1.1 節及1.2 節所述，本文在考慮裝配成本的前提下，以產品的制造成本以及質量損失為優化目標，以裝配的功能要求及經濟加工的能力為優化約束條件，可建立裝配公差的優化模型如下：

式中：C（T）=Cm（T）+Ca（T）。

由于零件公差與裝配成本間不存在顯式的表達關系，但零件公差越小，加工所需時間越長，加工成本越大，裝配工藝性越好，裝配成本越小，所以，為減小計算量并確保計算精度，對同用5 次多項式構建模型的加工成本與裝配成本進行量化處理，取Cmi（Ti）=ζiCai（Ti），以便公差優化設計的定量分析，ζi為與公差有關的常數。

2 基于NSGA-II 的公差多目標優化

多目標優化問題是指一個系統中的多個目標函數在相應約束條件下同時得到優化的問題，該類問題的優化結果一般為一個解集，這個解集稱作Pareto 最優解或者非支配解，解集中任一解針對優化的多目標函數來說是不存在絕對的優劣。帶精英策略的非支配排序遺傳算法（NSGA-II 算法）［11］就是基于Pareto 最優概念的非支配排序遺傳算法。該算法具有復雜度低、最優解的多樣性好等優點，算法優化的主要步驟如圖1 所示。

圖1 NSGA-II 算法步驟Fig.1 NSGA-II procedure

針對公差多目標優化問題，基于NSGA-II 算法以各組成環的公差為決策變量=行多目標軌跡優化求解，首先，根據給定的各組成環公差隨機產生一個種群大小為N的初始父代種群H0，同時通過交叉、變異的遺傳算子產生一個種群大小也為N的子代種群I0；然后，匯總父代種群Ht與子代種群It，得到規模為2N的種群Rt；根據非支配排序算法將Rt種群中的全部2N個個體重新排列，得到等級F1，F2，F3，…；再根據非支配排序、擁擠度距離和約束違背值計算的排序結果選取N個個體作為新的父代種群Ht+1，通過選擇、交叉及變異的遺傳操作產生新的子代種群It+1，重復迭代直至最終得到滿足裝配功能要求和加工能力的公差Pareto 最優解。

3 實例驗證

3.1 驗證條件與參數設置

以空間站某型號組件為例，驗證本文提出的基于NSGA-II 算法的航天產品裝配公差多目標優化模型的有效性。組件三維模型如圖2 所示，組成環各零件的設計公差見表2，裝配尺寸鏈如圖3 所示，其中x0為封閉環，即下平面到凸臺平面的距離為（127±0.1）mm，其余為組成環。

圖2 空間站某產品裝配體Fig.2 Assembly of a component of the space station

表2 公差分配結果Tab.2 Tolerance distribution results

圖3 裝配尺寸鏈Fig.3 Dimension chain for assembly

3.2 仿真結果及解的選擇

根據產品零件實際加工工藝方法，選用車削加工的公差-成本模型［9］建立本文加工成本-公差模型：

因質量損失系數A/4T2表征的是不同的公差對零件質量損失的成本影響大小，在優化計算過程中可將其指定為一常數，本文取為80。最后以C（T）、L（T）為優化的目標函數，裝配功能要求及經濟加工能力為約束條件，取裝配成本系數ζ=0.35，NSGA-II算法的迭代次數設置為200，種群的數量設置為200，優化可得到成本和質量損失綜合優化的Pareto 前沿面如圖4 所示。由圖4 可知，越靠近坐標系原點產品質量損失越大，越遠離時產品生產成本越高。質量損失最優性能制約著生產成本最優性能。

為了方便在Pareto 前沿面中選擇出理想的最優解，構建歸一化權重目標函數如下：

式中：N1、N2是范圍系數，用于將各優化目標置于統一數量級；α1、α2為權重系數，代表各優化目標的權重，可根據實際需要確定。最小化組合目標函數即可獲得實際工程需要的理想最優解。

指定α1=α2=1/2，N1=100，N2=1，由式（13）求解組合目標函數fc的最小值，得到最優解C=685.530，L=1.361，得到各組成環公差見表2。

圖4 公差優化的Pareto 最優解分布Fig.4 Distribution of the Pareto optimal solution of tolerance optimization

據實際加工情況，在考慮產品零部件材料的加工工藝性與零件的裝配性等條件基礎上，圓整得到整合后各組成環公差見表2，利用該公差進行零件機加工，與原公差比較，減少了零件的加工工時，降低了產品加工成本，提高了裝配成功率，降低了質量損失，驗證了本文基于NSGA-II 算法的裝配公差優化方法的適用性和有效性。在航天機構產品結構越來越精密、性能要求越來越復雜、裝配精度越來越高的發展背景下，本文的算法可應用在航天領域，特別在機構類產品的設計與裝配階段，為航天機構產品裝配公差設計提供了有效的設計方案。

4 結束語

本文在考慮航天產品裝配成本條件下，建立了一種基于成本和質量損失的裝配公差多目標優化設計模型。對航天產品裝配而言，提高了裝配公差優化設計模型中的制造成本的可信度。利用NSGA-II 算法對裝配公差的多目標優化模型進行求解，獲得了均勻分布的Pareto 最優解，并構建歸一化目標函數選擇期望解。通過空間站某型號組件裝配實例，驗證了模型及優化方法的有效性以及適用性，模型方法獲得的優化公差可提高裝配成功率，降低產品加工成本及質量損失。在構建裝配的成本模型時進行了量化處理，獲得裝配成本和公差的精確數學表達模型需要進一步加以研究。