離軸抽運厄米-高斯模固體激光器*

連天虹 王石語 寇科 劉蕓

1) (西安理工大學機械與精密儀器工程學院， 西安 710048)2) (西安電子科技大學物理與光電工程學院， 西安 710071)(2020 年1 月13日收到; 2020 年3 月7日收到修改稿)

給出了離軸抽運固體激光器多模速率方程組在閾值附近的小信號求解方法， 用這種方法研究了模式隨離軸量的變化以及厄米-高斯模的競爭行為. 抽運光斑較小時， 離軸量增加高階模式依次出現; 抽運光斑較大時， 模式變化呈現復雜性. 用小信號近似得到的模式光子數比例與較高抽運功率下數值求解速率方程組的結果接近， 表明可以用該方法估算實際較高功率激光器的模式分布， 這可以方便這類激光器的研究. 對離軸抽運下的多厄米-高斯模激光器， 閾值附近的模競爭體現為， 隨著抽運功率的增加， 第一個凈增益由負變正的模式， 光子數隨即開始增加， 增加趨勢接近線性. 而第二個凈增益由負變正的模式， 光子數并不立即開始增加，而要等到抽運功率進一步增加后才開始增加， 其開始增加后第一個模式的增長趨勢變緩. 從動態過程看， 各個模式經過交叉尖峰和交叉弛豫振蕩競爭后， 逐漸達到穩態. 實驗獲得了HG00-HG50模光束， 實驗所得到的模式分布與理論計算結果符合很好.

1 引 言

厄米-高斯(Hermite-Gaussian， HG)光束在光通信[1]、渦旋光束產生等方面具有重要的應用價值[2，3]，因此， 這類光束的產生一直備受研究人員的關注.在低功率情況下， 通常可用空間光調制器將基模高斯光束轉換為HG光束[4-6]. 但受轉換元件損傷閾值、實際加工精度等因素的限制， 難以轉換出高功率、高純凈度的HG光束. 隨著應用研究的深入，在遠距離空間光通信、探測等應用中需要高功率、模式純凈度高的HG光束[7，8]. 用激光器直接產生HG光束在功率水平、模式純凈度方面具有很大的優勢， 可為高功率渦旋光產生、遠距離通信、探測等提供理想的光源. 因此， 用激光器直接產生HG光束成為激光技術研究的一個熱點[9-14].

HG模是穩定球面諧振腔的高階本征模式， 高階模式的亮斑偏離諧振腔軸線. 在二極管端面抽運固體激光器中， 可使抽運光偏離諧振腔的光軸， 與高階HG模的亮斑達到模式匹配從而輸出特定的HG光束. 眾所周知， 諧振腔光電場的HG模組成了完備正交的函數系， 但其模方卻不正交， 即諧振腔中各個HG模的光強空間分布存在一定的交疊，呈現部分交疊部分分離的狀態. 這使得離軸抽運時， 抽運光難以作用于單個HG模， 而往往是同時作用于若干個HG模. 受抽運光作用的這些HG模將產生空間增益競爭， 激光器的穩態輸出模式與抽運光分布形式、離軸量等因素有關. 對這種激光器振蕩模式的計算方面， 文獻[15]給出了考慮抽運光空間分布和振蕩光模式下各個模式閾值的計算方法， 文獻[16]用這種方法研究了各個模式的閾值，但其成立的條件是只有一個模式振蕩， 不能研究多模競爭問題.

目前， 在固體激光器中迫切需要產生單一的HG模并且實現模式的調控[17-21]. 調控的一個重要方法是使抽運光偏離中心軸線與各個高階HG模實現匹配， 從而實現模式的調諧輸出. 在此調控過程中， 諧振腔結構保持不變， 而抽運光通過橫向移動與各個模式發生匹配. 抽運光橫向移動過程中， 將作用于若干個HG模. 為了獲得可控的模式輸出， 需要確定哪些模式最終能夠穩定輸出. 本文給出了一種離軸抽運下多個HG模激光器模式分布的簡便計算方法. 在諧振腔結構保持不變的情況下， 研究了不同的抽運光半徑下， 激光器輸出模式隨離軸量的演變過程， 并研究了模式在閾值附近的競爭行為. 另外， 為了與小信號計算結果比較，通過直接數值求解速率方程得到了較高抽運功率下的穩態光子數比例， 并研究了模式競爭的動態過程. 論文還實驗產生了一些HG模式， 并與理論結果進行了比較分析.

2 理 論

2.1 理論模型

為了簡化問題， 采用如圖1所示的平凹諧振腔進行分析. Nd:YAG晶體的端面鍍1064 nm高反射膜和輸出耦合鏡構成諧振腔. 以晶體抽運端面中心為坐標原點、光傳播方向為z軸建立直角坐標系. 諧振腔長度為L， 輸出鏡的曲率半徑為C. 激光晶體的吸收長度一般都比較短， 如常見的1 at.%摻雜的Nd:YAG晶體， 吸收長度約為1.3 mm. 在這種情況下， 可以近似認為增益集中分布在晶體的抽運端面， 對腔內振蕩光， 可以忽略光斑沿z方向的變化， 只考慮二維分布. 用 P (x，y) 表示抽運速率，N (x，y) 表 示反轉粒子數體密度， 用 Φmn(x，y)表示HGmn模的光子數體密度， 則多個模式振蕩時的速率方程可以寫為

圖 1 端面離軸抽運固體激光器圖示Fig. 1. Schematic of an off-axis end-pumped solid-state laser.

其中c為介質中的光速， σ為受激發射截面，τf為上能級壽命，τmn為HGmn模的光子壽命，(x0，y0)為抽運光的中心坐標.

2.2 閾值附近的小信號穩態解

通常情況下， 速率方程(1a)和(1b)不易直接求解. 若激光器工作在閾值附近， 諧振腔中振蕩光場很弱， 可求得其小信號穩態解.

令方程(1a)中 d N/dt=0 ， 可得穩態時的反轉粒子數密度為

其中 NE(x，y) 為 穩態反轉粒子數體密度，ΦEmn(x，y)為穩態時HGmn模的光子數體密度. 將方程(1b)兩邊在諧振腔體積內積分

積分中忽略了z方向反轉粒子數和振蕩光子數密度的變化， 其中 Lc為諧振腔長度，La為增益介質的有效長度， 近似等于吸收長度. 振蕩過程中， 認為各個模式的分布形式保持不變， 而光子數 Smn隨時間變化， 可將 Φmn(x，y，t) 用 各模式的光子數 Smn和模式的歸一化分布函數 φmn(x，y) 表示， 即

歸一化分布函數

其中 Hm(x) 為 m階厄米多項式，ω0為基模振蕩光的半徑， 歸一化條件為.將(4)式代入(3)式， 可得

在穩態下， 令 d Smn(t)/dt=0 ， 可得

將(2)式代入(7)式，

P(x，y，x0，y0)=P0?(x，y，x0，y0)， ? (x，y，x0，y0) 為抽運光歸一化分布函數，為抽運速率， 即單位時間抽運到上能級的粒子數， 近似等于單位時間內增益介質吸收的抽運光子數，為穩態時HGmn模的光子數.

在小信號情況下， 諧振腔中的光子數很小， 所以 (8)式可以近似為

即

為了方便， 引入以下參數

則(10)式可以簡寫為

其中求和遍歷所有可能振蕩的模式. αmn具有s—1的量綱， 反映了單位時間內光子數的變化， 包含了抽運光與HGmn模的交疊程度及HGmn模光子壽命的影響， 這里稱之為凈增益， 其值為正時表示光子數增大， 為負時表示光子數減小; βmnm′n′反映了抽運光與HGmn模、 H Gm′n′模三者的交疊程度. 為了簡化腳標， 將模式依次編號

則(12)式可以寫為矩陣形式

其中N為參與振蕩的模式數目， 利用(13)式可直接求得小信號情況下各個模式的穩態光子數. 需要說明的是， 從(8)式可以看出， 能否滿足小信號條件， 不僅與各個模式的光子數有關， 還與模式的歸一化分布函數有關. 取 ω0=0.15mm，Lc=15cm ，幾個低價模式的光子數密度的最大值為. 對各模式而言， 符合弱信號條件的腔內光子數大約都在 1 08量級. 當 ω0和 Lc增大時， 光子數密度減小， 符合小信號條件的光子數隨著增大.

3 離軸抽運下閾值附近激光器的工作特性

本節根據2.2節中給出的方法， 計算在小功率離軸抽運下激光器的模式分布. 對一定的諧振腔結構， 研究抽運光半徑分別為振蕩光半徑的一半和與振蕩光半徑相等時， 模式隨離軸量的演變過程. 歸一化分布函數 ? (x，y，x0，y0) 采用(14)式所給形式，

其中 ωp為抽運光半徑. 抽運速率 P0=Pa/(hνp)，Pa為抽運光功率，h νp為抽運光光子能量. 對于Nd:YAG，σ =6.5×10-19cm2，τf=230 μs， 抽運光波長為808 nm， 吸收長度La取為1 mm. 諧振腔長度Lc取為15 cm， 輸出鏡的曲率半徑C取為200 mm， 對應的抽運端面處的HG00模振蕩光半徑 ω0約為0.15 mm. 光子壽命 τmn取決于模式的損耗， 在本文的計算條件下， 諧振腔的菲涅耳數很大， 各模式的衍射損耗近似相等， 可近似認為光子壽命由耦合輸出鏡的反射率決定， 即 τmn=Lc/ [c0ln(R)]，c0為真空中的光速. 計算中， 只考慮沿x軸方向離軸的情形， 即 y0=0， 這時離軸量 Δ x=|x0| . 根據Nd:YAG的晶體參數及給定的諧振腔參數， 可以估算出激光器的閾值抽運功率約為0.15 W， 為滿足小信號條件， 計算中抽運功率取值略高于閾值功率. 為計算簡便又能說明問題， 計算中考慮HG00，HG10， HG20， HG30， HG40， HG50， HG607個模式.這樣， 給定離軸量、抽運功率和抽運光半徑， 將(14)式及相關參數代入(11)式， 求解方程組(13)便可得到一定離軸量下各模式的光子數.

3.1 抽運光半徑 ωp=0.5ω0 時的輸出模式

圖 2 抽運功率0.25 W、抽運光半徑0.075 mm時， 16個離軸量下的光斑Fig. 2. Laser beam profiles with different mode distributions in the sixteen transverse displacements when the pump power is 0.25 W and the pump beam radius is 0.075 mm.

圖2 是 Pa為0.25 W、抽運光半徑 ωp=0.5ω0=0.075mm 時， 不同離軸量下各模式光子數分布形成的光斑. 圖中 γ00:γ10:γ20:γ30:γ40: γ50:γ60表示模式的光子數比例. 可以看出， 當在中心抽運時，只有HG00模工作; 隨著離軸量的增加， 模式依次出現演變. 當離軸量為0.08 mm時， 為HG00模和HG10模的疊加， 疊加比例為0.58∶0.42， 離軸量為0.11 mm時， HG00模不再出現， 單一HG10模工作. 離軸量再增加時， HG20模出現; 當離軸量為0.13 mm時， HG10模和HG20模的疊加比例為0.9∶0.1; 當增加到0.155 mm時， 這一比例變為0.46∶0.54， 光斑不再有明顯的暗線， 呈現出模糊的狀態; 當增加到0.16 mm時， 呈現出單一的HG20模. 再往后， 隨著離軸量的增加， 各個高階HG模依次出現， 在離軸量為0.22， 0.26， 0.29和0.33 mm時， 分 別 出 現HG30， HG40， HG50和HG60模. 在每兩個模式轉換之間， 會出現兩個模式的疊加工作狀態， 如離軸量為0.27和0.32 mm時.在模式疊加狀態下， 光斑呈現一定程度的模糊. 在此抽運光半徑下， 離軸量適當時總會出現單一模式工作的狀態， 從而可實現單一模式的選擇和調控.

通常單一模式激光器抽運功率高于閾值后， 振蕩光子數隨抽運功率的增加線性增加. 這里研究兩個模式工作的特點， 圖3所示是離軸量為0.08和0.155 mm時， 對應的兩個模式的光子數在閾值附近隨抽運功率的變化情況. 為了分析， 圖4中表示了這兩個離軸量對應的兩個模式的凈增益， 沒有表示出的模式， 凈增益均小于0. 從圖3(a)可以看出，當抽運功率從0.12 W開始增大時， HG00模的光子數隨之增大， 變化趨勢接近線性， HG10模的光子數先保持為0; 從圖4(a)所示的凈增益可以看出，HG00模的凈增益由負變正， 這符合單模在閾值附近的工作特點. 當抽運功率增大到0.13 W時，HG10模的凈增益也由負變正， 但從圖3(a)看出，這時HG10模的光子數并未立即開始增加， 而是一直到抽運功率增加為0.15 W時， HG10模的光子數才由0開始增加， 這和單模激光器的工作特點明顯不同. HG10模的光子數開始增加后， HG00模的光子數變化曲線出現了一個拐點， 增加趨勢變緩，HG10模光子數增加斜率要大于HG00模的斜率，但二者均近似線性增長. 從圖3(b)所示的光子數所占比例看出， 隨著抽運功率增加， 二者所占比例趨于穩定， HG00模所占比例大于HG10模.

圖 3 在閾值附近， HG00和HG10模光子數(a)， 光子數比例(b); HG10和HG20模光子數(c)， 光子數比例(d)隨抽運功率的變化Fig. 3. Photon numbers of the mode HG00 and HG10 (a)， and their percentages (b); photon numbers of the modes HG10 and HG20 (c)，and their percentages (d) near the threshold.

圖4 (a)中， 抽運功率為0.13 W時， HG10模的凈增益開始大于0， 而一直到抽運功率增加為0.15 W時， 圖3(a)中HG10模的光子數才由0開始增加. 產生這一現象的物理原因是: 凈增益反映了沒有其他模式振蕩情況下， 增益介質中屬于這個模式的增益. 若諧振腔中沒有其他的振蕩模式， 某個模式的凈增益大于0后， 該模式將達到閾值， 光子數將立即由0開始增加; 而當諧振腔中有其他模式振蕩， 且其他模式與該模式空間上有交疊時， 原本屬于該模式的一部分增益被其他模式消耗， 此時盡管計算出的凈增益大于0了， 但實際上該模式并沒有達到閾值條件. 這實際上反映了模式的空間交叉飽和效應， 是多模速率方程組(1)式或代數方程組(13)式中模式耦合效應的體現. 這里， 抽運功率為0.13 W時， HG10模的凈增益開始大于0， 但由于HG00模消耗了二者交疊區域的增益， 使HG10模直至抽運功率增加到0.15 W時才開始增加.

圖3(c)是離軸量為0.155 mm時HG10模和HG20模光子數的變化情況. 當抽運功率超過0.14 W時， HG10模和HG20模的光子數幾乎同時開始增長， 從圖4(b)可以看出， 在此抽運功率下，兩個模式的凈增益都由負變正， HG10模的凈增益略大于HG20模的凈增益. 而從光子數增加趨勢看，兩個模式光子數的增加偏離線性， HG10模呈現上凸的增長趨勢， HG20模呈現下凸的增長趨勢， 當抽運功率增加到0.16 W時， 兩個模式光子數相等，隨著抽運功率的進一步增加， 兩個模式的光子數呈現近似線性增加的趨勢， HG20模的增長斜率要大于HG10模的增長斜率. 從圖3(d)看出， 在抽運功率在0.16 W以下時， HG10模光子數所占比例大于HG20模的光子數， 隨抽運功率增加， 前者快速下降而后者上升， 然后逐漸趨于穩定， 最終HG20模光子數所占比例要大于HG10模的光子數.

3.2 抽運光半徑 ωp=ω0 時的輸出模式

圖 4 凈增益隨抽運功率的變化 (a) 0.08 mm; (b) 0.155 mmFig. 4. Dependence of the net gains on the pump power: (a) 0.08 mm; (b) 0.155 mm.

圖 5 抽運功率0.5 W、抽運光半徑0.15 mm時， 8個離軸量下的光斑Fig. 5. Laser beam profiles with different mode distributions in the eight transverse displacements when the pump power is 0.5 W and the pump beam radius is 0.15 mm.

此時抽運光與振蕩光的有效交疊變小， 若抽運功率繼續保持為0.25 W， 計算發現離軸后各模式都不能達到閾值， 因此將抽運功率設定為0.5 W進行計算. 圖5是這種情況下， 不同離軸量時的光斑. 可以看出， 在離軸量為0時， 仍然只有HG00模輸出; 當離軸量為0.05 mm時， 為HG00模和HG10模的疊加輸出; 而當離軸量為0.1 mm時， 變為HG00， HG10和HG20三個模式的疊加輸出; 當離軸量增加到0.15 mm時， HG00模不再出現， 變為HG10， HG20和HG30三個模式的疊加; 當離軸量增加到0.175 mm時， HG20模消失， 模式數目變少， 成為HG10和HG30兩個模式的疊加; 當離軸量繼續增加到0.2 mm時， 模式數目增加到四個， 成為HG10， HG20， HG30， HG40模的疊加; 而當離軸量進一步增加到0.25 mm時， 疊加的四個模式變為HG20， HG30， HG40和HG50模.可見， 當抽運光半徑與HG00模的半徑相等時， 隨著離軸量的增加， 總有多個模式參與振蕩， 整體上呈現低階模被抑制、高階模參與振蕩的趨勢， 但具體的演變過程又存在復雜性， 并不是低級模消失、高階模出現這樣的簡單變化.

圖6是多個模式參與振蕩時， 閾值附近各模式的光子數及光子數所占比例隨抽運功率的變化， 為便于分析， 圖7給出了模式的凈增益隨抽運功率的變化. 圖6(a)和圖6(b)是離軸量為0.1 mm下，HG00， HG10和HG20模的光子數及其所占比例隨抽運功率的變化， 結合圖7(a)所示這種情況下凈增益的變化可以看出， HG00模的凈增益最大， 隨著抽運功率的增加， 其最先由負變正， HG00模的光子數最先開始增加， 在其他模式光子數增加前， 其接近線性趨勢增大. 當抽運功率增大到0.24 W時，HG10模的凈增益由負變正， 但此時HG10模的光子數并未開始增加. 當抽運功率增大到0.25 W時，HG20模的凈增益由負變正， 但HG20模的光子數也并不開始增加. 直至抽運功率增加到0.28 W時，HG10模的光子數才開始增加， 到0.32 W時，HG20模的光子數才開始增加. 隨著后面兩個模式的增加， HG00模的曲線出現拐點， 增長趨勢變緩;當HG20模的光子數開始增加后， HG10模的增長趨勢也變緩. 從三個模式光子數所占比例看， 隨抽運功率的增加， 各自所占比例逐漸趨于穩定.

圖 6 在閾值附近， HG00， HG10和HG20模光子數 (a)， 光子數比例(b); HG10， HG20， HG30和HG40模光子數((c)， (e))， 光子數比例((d)， (f))隨抽運功率的變化Fig. 6. Photon numbers of the modes HG00 ， HG10 and HG20 (a) and their percentages (b); photon numbers of the modes HG10，HG20 and HG30 ((c)， (e)) and their percentages ((d)， (f)) near the threshold.

圖 7 凈增益隨抽運功率的變化 (a) 離軸量0.1 mm; (b) 離軸量0.2 mmFig. 7. Dependence of the net gains on the pump power: (a) 0.1 mm; (b) 0.2 mm.

圖6 (c)—圖6(f)是離軸量為0.2 mm下，HG10， HG20， HG30， HG40模的光子數及其所占比例隨抽運功率的變化， 圖7(b)所示是這種情況下四個模式的凈增益. HG30模的凈增益最大， 隨抽運功率的增加， 其光子數最先開始增加， 然后HG20模的光子數開始增加. 在抽運功率接近0.3 W時， HG10模和HG40模的凈增益先后由負變正， 在抽運功率增加到0.31 W時， 這兩個模式的光子數開始增加. 這時， 前兩個模式光子數的增長趨勢變緩. 另外我們看到， HG40模要比HG10模增加得快. 從圖6(e)看出， 當抽運功率增加到約為0.35 W時， HG20， HG30和HG40模的光子數增長曲線出現了一個交叉點， HG40模的光子數變為最大， 之后逐漸過渡為穩定增長， HG20和HG30模的光子數變得十分接近. 從各模式光子數所占比例看， 隨著抽運功率的增加， 經過一個復雜變化過程后， 比例逐漸趨于穩定.

4 模式競爭的動態過程

第3節中討論了閾值附近穩態時各個模式的光子數隨抽運功率的變化情況. 本節通過直接數值求解速率方程(1)分析模式競爭的動態過程， 同時計算在較高抽運功率下各模式光子數所占的比例，與閾值附近的計算結果進行比較. 計算了與上文對應的幾個離軸抽運情況下的光子數動態變化， 結果如圖8所示. 從圖8(a)可以看出， 在抽運光半徑為0.075 mm， 離軸量為0.08 mm， 抽運功率為0.25 W時， 有兩個模式HG00模和HG10模參與振蕩. HG00模先進入了尖峰階段， 經過數次尖峰后，HG10模出現第一次尖峰， HG10模尖峰的出現干擾了HG00模的尖峰規律. 在200—600 μs， 兩個模式呈現交叉尖峰. 在600 μs后兩個模式出現了交叉弛豫振蕩， 1000 μs后逐漸進入穩態. 從圖8(b)可以看出當抽運功率增加為5 W時， 仍然為這兩個模式振蕩， 振蕩的動態過程基本類似， 交叉尖峰和交叉弛豫振蕩的時間縮短. 結合圖4(a)可以看出，先進入交叉尖峰的HG00模的凈增益較大. 抽運功率為5 W時， 數值計算得到的HG00和HG10模光子數所占的比例為0.59: 0.41， 與閾值附近計算的結果十分接近.

當抽運光半徑為0.15 mm， 離軸量為0.1 mm，抽運功率為0.5和5 W時光子數的動態過程如圖8(c)和圖8(d)所示. 可以看出， 凈增益最大的HG00模最先進入了尖峰階段， 經過數個衰減尖峰后， HG10模出現了第一尖峰， HG00模的尖峰規律被打亂， 二者交叉尖峰， HG20模的尖峰出現后三者交叉尖峰， 尖峰的幅度逐漸衰減過渡到交叉弛豫振蕩階段， 最終進入穩定狀態. 在5 W抽運功率下，HG00， HG10， HG20三個模式的光子數所占比例為0.40:0.33:0.27， 與閾值附近計算的結果十分接近.當抽運光半徑為0.15 mm， 離軸量為0.2 mm， 抽運功率為0.5和5 W時光子數的動態過程如圖8(e)和圖8(f)所示. 同樣也是這種情況下凈增益最大的HG30模最先出現尖峰， 其他幾個模式的尖峰出現后互相干擾， 整體上呈現幅度減小趨勢， 逐漸進入交叉弛豫階段， 最后進入穩態. 抽運功率較大時，進入穩態需要的時間大為縮短. 在5 W抽運功率下， HG10， HG20， HG30和HG40模穩態時光子數所占比例為0.12∶0.25∶0.24∶0.39， 與閾值附近計算的結果十分接近.

圖 8 光子數的動態變化過程 (a) ωp = 0.075 mm， Δx = 0.08 mm， Pa = 0.25 W; (b) ωp = 0.075 mm， Δx = 0.08 mm， Pa = 5 W;(c) ωp = 0.15 mm， Δx = 0.1 mm， Pa = 0.5 W; (d) ωp = 0.15 mm， Δx = 0.1 mm， Pa = 5 W; (e) ωp = 0.15 mm， Δx = 0.2 mm， Pa =0.5 W; (f)ωp = 0.15 mm， Δx = 0.2 mm， Pa = 5 WFig. 8. Dynamics of the photon numbers: (a) ωp = 0.075 mm， Δx = 0.08 mm， Pa = 0.5 W; (b) ωp = 0.075 mm， Δx = 0.08 mm， Pa= 5 W; (c) ωp = 0.15 mm， Δx = 0.1 mm， Pa = 0.5 W; (d) ωp = 0.15 mm， Δx = 0.1 mm， Pa = 5 W; (e) ωp = 0.15 mm， Δx =0.2 mm， Pa = 0.5 W; (f) ωp = 0.15 mm， Δx = 0.2 mm， Pa = 5 W.

在較高抽運功率下， 計算得到的光子數比例與閾值附近小信號計算結果接近的原因在于當抽運功率升高， 各個模式光子數開始增加的初始階段光子數隨抽運功率的變化比較復雜， 但當抽運功率增加到一定值后， 各個模式的光子數隨抽運功率進入線性增加階段， 從此以后， 光子數的比例保持不變，圖3和圖6中各種情況下的光子數比例變化圖也說明了這一點. 大抽運功率下， 數值計算結果與閾值附近計算結果一致， 說明我們可以用閾值附近小信號的計算結果來估算大抽運功率下各個模式光子數的比例， 從而省去費時的數值計算.

5 實 驗

設計了一臺離軸抽運光纖耦合二極管端面抽運Nd: YAG激光器， 實驗系統如圖9所示. 抽運源為北京大族天成半導體技術有限公司的M808± 10-7-F105/22-R2型光纖耦合半導體激光器， 輸出波長808 nm， 纖芯直徑0.105 mm， 數值孔徑0.22， 耦合透鏡1和耦合透鏡2的焦距分別為20和30 mm， 經耦合透鏡變換后的抽運光直徑約為0.15 mm. Nd:YAG晶摻雜濃度為1 at.%， 抽運端面鍍1064 nm高反、808 nm高透膜. 輸出耦合鏡的曲率半徑為200 mm， 透過率為10%. Nd: YAG晶體和輸出耦合鏡安裝在精密位移臺上， 實現抽運光的離軸. 用光斑分析儀(Cinogy公司， CinCam CMOS-1201)觀察輸出光斑. 實驗中諧振腔長度取為15 cm.

圖 9 離軸抽運實驗裝置圖Fig. 9. Schematic of the experimental setup.

在未離軸時， 激光器在0.4 W抽運功率下產生HG00模激光輸出， 將抽運功率增加到1 W， 增加離軸量觀察輸出光斑， 結果如圖10所示. 隨著離軸量的增加， 依次獲得了HG00—HG50模式， 在兩個單模之間， 出現了疊加模式輸出. 本實驗采用的輸出耦合鏡和諧振腔長度， 對應的Nd: YAG抽運端面處的HG00模半徑約為0.15 mm， 而抽運光半徑約為0.075 mm. 從圖10可以看出， 輸出光斑隨離軸量的變化與圖2的理論計算結果符合很好. 選擇一些離軸量， 研究光斑隨激光功率的變化，圖11是離軸量為0.14 mm時， 光斑隨激光功率的變化. 在該離軸量下， 輸出光斑為HG20模和HG30模的組合， 當抽運功率在0.7—2.1 W變化時， 激光功率在50—400 mW變化， 而光斑基本保持不變.

圖 10 不同離軸量下的輸出光斑Fig. 10. Output spots with different off-axis displacements.

圖 11 光斑隨激光功率保持不變Fig. 11. The spot keeps unchanged with the variation of the laser power.

圖 12 (a)激光功率隨離軸量的變化; (b)模式能達到的最大功率Fig. 12. (a) Dependence of the output power on the displacement; (b) the maximum powers of the modes.

圖10 與圖2的符合， 以及圖11中光斑隨功率保持不變的特點， 從實驗上佐證了小信號方法計算的正確性. 圖12(a)是在抽運功率為1 W時， 激光輸出功率隨離軸量的變化， 隨著離軸量的增加，輸出功率出現接近線性的下降趨勢. 圖12(b)是各個模式的輸出功率隨抽運功率的變化. 激光功率隨抽運功率的增加接近線性增加， 但模式階數越高，功率越小. 高階模式的功率減小， 與實際諧振腔的衍射損耗及離軸抽運時非對稱熱效應形成的熱致衍射損耗等因素有關.

6 結 論

針對離軸抽運下固體激光器中多個HG模的競爭問題， 給出了閾值附近的小信號求解方法， 該方法把多模耦合的微分方程組化簡為線性代數方程組. 用這種方法研究了輸出光斑隨離軸量的變化. 當抽運光半徑在基模振蕩光半徑的一半以下時， 能選擇出單一HG模; 當抽運光半徑與基模振蕩光半徑相等時， 會出現三模以至四模輸出. 隨著離軸量的增加， 模式變化的整體趨勢是高階模工作， 低階模抑制， 但具體過程呈現復雜性. 在多模競爭情況下， 在閾值附近隨著抽運功率的增加， 第一個凈增益由負變正的模式， 對應的模式光子數隨即開始增加. 而第二個凈增益由負變正的模式， 其光子數并不立即開始增加， 而要到抽運功率進一步增加后才開始增加， 其開始增加后第一個模式的增長趨勢變緩， 這體現了模式競爭行為. 從動態過程看， 各個模式經過交叉尖峰和交叉弛豫振蕩競爭過程后， 達到穩態. 較高抽運功率下的穩態光子數比例和小信號計算結果基本一致， 這使我們可以用小信號方法計算實際較高抽運功率激光器的輸出模式， 方便這類激光器的研究. 實驗獲得了HG00-HG50模光束， 輸出光斑隨離軸量的變化與計算的結果符合很好.