用于干擾對消的稀疏約束卡爾曼濾波算法

郝治理， 劉春生， 周青松

(國防科技大學電子對抗學院， 合肥， 230037)

在日益激烈的電子戰中，干擾機作為實施有源干擾的關鍵設備，發揮著重要作用，它可以通過向敵方雷達發射各種樣式的干擾信號，使敵方雷達無法正常工作[1]。然而對于架設在無人機等小型平臺上的干擾機，尤其是收發一體的干擾機，其發射天線和接收天線之間存在著較強的電磁耦合現象。干擾機發射的干擾信號往往會有部分耦合到接收端，影響接收機的正常工作，輕則會降低接收機的靈敏度，減小偵察作用距離，重則形成自激勵，無法檢測信號[2-3]。因此，如何解決干擾機的收發隔離問題是保證其收發同時工作的關鍵。國內外比較常用的收發隔離方法有收發分時、極化隔離、物理隔離、空間隔離等[3]。近年來，系統辨識技術成為了研究的熱點，它從信號處理的角度出發，將干擾機的外界耦合環境看作是一個待辨識的系統，利用系統辨識方法對其進行辨識。一旦辨識出系統傳遞函數，就可以根據己方發射的干擾信號和系統傳遞函數重構耦合到接收端的干擾信號，最后在接收端進行對消，實現收發隔離。文獻[4～7]研究了基于靜態環境下的系統辨識技術，可以在一定程度上提高干擾機的收發隔離度。目前，針對動態環境的系統辨識方法也已經有很多的研究，KF算法就是其中一種比較成熟的算法[8]。

現實環境中很多系統都具有稀疏性質，即系統的沖激響應在時間域上只有少量的非零值，比如水聲通信信道、回聲路徑等[9]。針對動態稀疏系統的辨識問題，文獻[10]結合壓縮感知技術，首先估計出系統參數的支撐集，然后再利用降階的KF算法對系統參數進行估計。不足之處在于沒有分析這種算法的穩定性，也沒有與常規算法進行對比。文獻[11]將偽測量技術應用于卡爾曼濾波的遞推過程中，提高了算法在稀疏環境下的辨識性能。文獻[12]采用期望最大化(Expectation-Maximization，EM)方法，在期望步利用KF算法來提供一步預測值，然后在最大化步驟中加入l1范數等稀疏性約束，最后利用軟閾值方法，提高了待辨識系統參數的稀疏性。文獻[13]提出了一種稀疏融合卡爾曼濾波算法，它同樣是利用迭代軟閾值方法不斷地更新系統的稀疏模型，并且結合了偽測量技術，在提高系統辨識性能的同時，具有較好的魯棒性。文獻[14]從KF算法的修正步出發，將其等效為一個凸優化問題，然后對等效后的問題加入稀疏約束，提出了一種稀疏卡爾曼濾波(SKF)算法。但其是利用凸優化工具箱進行求解，并未給出加入約束以后的解析解，也沒有對估計誤差協方差矩陣進行修正。本文是在文獻[14]的基礎上，進一步推導出了加入稀疏約束以后系統參數的解析解和預測誤差協方差矩陣的遞推表達式，提出了一類SCKF算法。并且引入了一種較l1范數更逼近于l0范數的稀疏約束函數，期望進一步提高KF算法對動態稀疏系統的辨識精度，進而能夠提高干擾機的收發隔離性能。

1 問題描述

為了運用系統辨識技術解決干擾機的收發隔離問題，首先要將干擾信號耦合路徑等效為一個待辨識系統，構建基于系統辨識的收發隔離模型見圖1[6]。

圖1 基于系統辨識的收發隔離模型

圖1中，n表示任意大于零的時刻，x(n)表示干擾機發射的干擾信號，y(n)表示干擾信號經過耦合通路到達接收端的耦合干擾信號，s(n)表示正在偵察的雷達信號，令：

d(n)=s(n)+y(n)

(1)

通常可以利用一組FIR自適應濾波器來近似耦合通路，干擾信號x(n)經過耦合路徑到達接收端的過程可表示為：

xT(n)w(n)+v(n)

(2)

實際上，當載有干擾機的載體運動時，比如車載，機載的環境下，w(n)往往是隨時間發生變化的，一般情況下其變化符合高斯-馬爾科夫過程，它的模型可以表示：

(3)

2 稀疏約束卡爾曼濾波算法

針對第1節所描述的動態系統，常規KF算法求解此問題的遞推形式為：

預測：

(4)

修正：

(5)

式中：K(n)為增益矩陣；M(n|n)為預測誤差協方差矩陣；e(n)為誤差，也稱為新息。本文待辨識參數w(n)是稀疏的，常規的卡爾曼濾波并未考慮到這一先驗信息，針對此問題，這里將修正步中w(n)的遞推形式轉換為求解一個凸問題[15]：

minimize

(y(n)-xT(n)w(n))TQ-1(n)(y(n)-

(6)

minimize

(y(n)-xT(n)w(n))TQ-1(n)(y(n)-

η‖w(n)‖1

(7)

文獻[14]是直接利用凸優化工具箱求解目標函數(7)，沒有給出w(n)的解析解，并且沒有注意到預測誤差協方差矩陣的變化，沒有對它的遞推形式進行更新。針對此問題，本文推導了增加稀疏約束以后w(n)的解析解以及新形式下的預測誤差協方差矩陣，并引用了一種近似零范數的函數，期望進一步提高算法的辨識精度。

首先，定義函數f(w(n))是關于w(n)的稀疏性約束，它可以取l1范數或者其他更接近于l0范數的函數。重新將目標函數(6)改寫為：

minimize

(y(n)-xT(n)w(n))TQ-1(n)(y(n)-

(8)

對式(8)進行求導，并令其導數為零，可以得到：

x(n)Q-T(n)y(n)+x(n)Q-1(n)y(n)-

x(n)Q-T(n)xT(n)w(n)-x(n)Q-1(n)xT(n)w(n)-

M-T(n|n-1)w(n)-M-1(n|n-1)w(n)+

(9)

(10)

對式(9)進行化簡可得:

x(n)Q-1(n)xT(n)w(n)+M-1(n|n-1)w(n)=

(11)

因為w(n)是未知的待辨識系統參數，無法直接利用，故這里假設sf(w(n))從預測步到修正步之間不會發生明顯的變化，即取ξ=η/2，進而可以得到:

(12)

利用矩陣求逆引理，可以將式(12)化簡為：

K(n)xT(n)M(n|n-1))(x(n)Q-1(n)y(n)+

(13)

式中：K(n)表示增益矩陣，在這里與式(4)保持一致。進一步化簡，可以得到w(n)的解析解為：

(14)

對比式(14)和式(5)中w(n)的遞推式，式(14)多了最后一項，因此預測誤差協方差矩陣也會發生變化，故需要重新推導它的遞推式，根據定義，預測誤差協方差矩陣為：

M(n|n)=

(15)

將式(14)代入到式(15)中，可以得到：

(K(n)xT(n)-I)M(n|n-1)ξsf·

(16)

為了方便后面的計算，令：

m(n)=(K(n)xT(n)-I)M(n|n-1)·

(17)

將式(17)代入到式(16)中，進一步化簡可得，

M(n|n)=(I-K(n)xT(n))M(n|n-1)-

(18)

M(n|n)=

(I-K(n)xT(n))M(n|n-1)-m(n)mT(n)

(19)

經過上述推導，得到了增加稀疏約束以后w(n)的解析解和新的預測誤差協方差矩陣。將這種類型的方法統稱為SCKF算法，并對該算法進行總結如下。

forn=1,2,…,N

預測：

M(n|n-1)=FM(n-1|n-1)FT+R(n)

if tr(M(n-1|n-1))/M≤δ

修正：

(K(n)xT(n)-I)M(n|n-1)ξsf·

M(n|n)=

(I-K(n)xT(n))M(n|n-1)-m(n)mT(n)

else

M(n|n)=(I-K(n)xT(n))M(n|n-1)

end

end for

當f(w(n))=‖w(n)‖1時，為了與文獻[14]算法有所區別，這里命名為l1-KF算法，根據表1可知，當tr(M(n-1|n-1))/M≤δ時，它的修正步驟如下：

(20)

M(n|n)=(I-K(n)xT(n))M(n|n-1)-

(21)

為了進一步提高對稀疏參數w(n)的辨識精度，本文利用一種新的稀疏約束函數[16]，令：

(22)

式中：τ是一個正實數，為了進一步說明f(w(n))對l0范數的逼近程度，圖2為M=1，τ=50時,f(w(n))與l1、l0范數在[-1,1]區間上的對比。

如圖2所示，在一維空間中，f(w)比l1范數更接近l0范數，類比在M維空間也是如此，并且根據式(22)可知τ取值越大，f(w(n))越接近l0范數。

圖2 f(w)與l1、l0范數

根據式(14)，要對函數f(w(n))進行求導，這里同樣需要利用次微分，可以得到：

(23)

將加入式(22)約束的方法稱為l0-KF算法，將式(23)代入到表1，即可以得到它的完整遞歸過程。

3 仿真實驗

3.1 性能指標

在進行仿真實驗之前，首先定義幾個性能指標，用來評價算法對稀疏系統的辨識性能以及對耦合干擾信號的隔離性能。

1)歸一化均方誤差NMSE，一般定義為：

(24)

2)隔離度I，定義為：

(25)

式中：pt為干擾機發射的干擾信號功率；pr為經過隔離以后的殘余干擾信號功率。可以看出隔離度I反映了發射干擾信號相對于殘余干擾信號的大小，當隔離度達到發射干擾信號與系統噪聲的功率比時，表示干擾信號被隔離至噪聲水平，此時可以很好地實現收發同時工作。

3)隔離后信干比SIR，定義為：

SIR=10lgps/pr

(26)

式中：ps為接收機接收到的雷達信號的功率；pr與前面定義相同。當發射干擾信號功率一定時，可以看出隔離后的信干比越大表示隔離性能越好。

3.2 仿真分析

圖3 系統辨識誤差對比情況

表1 實驗參數取值

圖4 接收混合信號和雷達信號

圖4顯示了接收機接收到的混合信號和雷達信號。可以看出，耦合干擾信號已經完全覆蓋住了雷達信號，這會影響對雷達信號的偵察分析以及后續的干擾工作。因此必須對耦合干擾信號進行隔離，才能保證良好的偵察和干擾工作。

圖5顯示了經過本文算法隔離之后的信號與雷達信號，可以看出，隔離后信號與雷達信號基本重合，即本文2種算法都能夠對干擾信號起到較好的隔離作用，并且對正在偵察的雷達信號幾乎沒有造成影響。

圖5 隔離后信號和雷達信號

從圖6可以看出通過本文2種算法隔離后能夠將大部分的干擾信號對消掉。

圖6 隔離前后干擾信號

圖7顯示了50次試驗的隔離度變化曲線，可以看出本文所提出的2種算法相對于常規KF算法能夠取得更好的隔離度。表2列出了它們的隔離度均值，本文算法將隔離度提高了大概3～5 dB。而通過實驗數據得到干擾信號與噪聲的功率比為36.69 dB，如果隔離度能達到干噪比，則說明可以將干擾信號隔離至噪聲水平，這是很難實現的，在實際操作中還需要結合其他隔離技術。

圖7 隔離度

表2 隔離度

圖8顯示了50次試驗經過3種算法隔離后的信干比變化曲線，可以看出經過本文所提出的2種算法隔離后相對于常規KF算法能夠取得更高的信干比。同樣表3列出了它們的隔離后信干比均值，與信噪比30 dB進行對比，本文l0-KF算法僅相差了3～4 dB。

圖8 信干比

表3 信干比

4 結語

本文針對動態稀疏耦合環境下，常規KF算法對系統參數的辨識精度不夠，導致干擾機的隔離性能不佳。從新的角度出發，將KF算法中的修正步等效為一個凸優化問題，在其基礎上加入了2種稀疏約束，重新推導了它們的遞推過程，提出了一類新的SCKF算法，并給出了應用條件。仿真結果表明，本文算法有效提高了KF類算法對動態稀疏系統的辨識精度。經過本文算法隔離后所達到的隔離度和信干比相對于常規算法有所改善，其中l0-KF算法最優，將它們提高了4～5dB，有效地改善了干擾機的隔離性能。在實際應用中結合物理隔離、極化隔離等其他傳統隔離方法，可以實現干擾機的收發同時工作。