基于攝動理論的動態彈道偏差閾值修正方法

吳漢洲,高 敏,王 毅,楊玉良,董 磊

(1.陸軍工程大學石家莊校區 導彈工程系,河北 石家莊 050003; 2.陸軍工程大學石家莊校區 火炮工程系,河北 石家莊 050003;3.中國人民解放軍66069部隊,河南 洛陽 471000)

簡易制導方法對硬件性能要求相對不高,常被應用于彈道修正彈上,主要包括彈道成型法、彈道追蹤法及彈道預測法等[1]。其中彈道預測法具有較明顯優勢[2],該方法主要分為彈道落點預測和彈道落點偏差預測。其中彈道落點預測主要通過彈道積分[3-4]、多項式擬合[5]、神經網絡[6-8]等方法計算落點,但存在計算量偏大或計算精度差等缺點。李超旺等[9-11]研究了基于攝動理論的落點偏差預測方法在火箭彈、高旋榴彈上的應用,仿真計算及射擊試驗均驗證了該方法滿足實時解算要求,且計算精度高。但現有文獻對該方法的彈道修正策略鮮有說明,傳統設置方法中,當落點偏差大于修正閾值時彈道修正執行機構開始工作,但該修正閾值大小的設置存在較多問題:閾值太小,修正執行機構一直工作,導致電機發熱嚴重,甚至燒壞;閾值太大,彈道修正不足,落點散布較大。本文基于攝動落點偏差預測方法研究了實際應用中與之相關的系列問題,包括攝動落點偏差預測理論模型的推導、基準彈道快速計算方法、偏導數計算方法及數據量的論證,提出了一種動態彈道偏差閾值修正方法,可有效提高彈道修正效率。

1 攝動落點偏差預測原理

將理想條件下從彈丸發射點到目標點的彈道稱為基準彈道,在綜合射擊誤差因素下,彈丸實際彈道圍繞基準彈道攝動變化,通過在基準彈道不同位置設置擾動誤差計算該誤差下彈丸落點偏差,將該落點偏差與擾動誤差的比值稱為該誤差因素對落點偏差的敏感因子。

1.1 攝動落點偏差預測理論模型

用r(x,y,z,vx,vy,vz)描述彈丸不同時刻飛行狀態,則標準彈道落點可描述為關于各時刻飛行狀態的函數:

T=f(r)

(1)

將實際彈道落點描述為

T′=f(r′)

(2)

式(1)和式(2)均為連續函數。不同時刻彈丸實際彈道參數圍繞標準彈道參數攝動變化,且兩者差值一般不大,則根據泰勒級數收斂性質,可將實際彈道在基準彈道同一位置處泰勒展開，能夠滿足收斂條件。其理論公式可描述為

(3)

式中:i,j,k對應r中不同狀態變量,o(r-r′)為泰勒級數高階小量。偏導數?T/?ri,?2T/(2！?ri?rj)和?3T/(3！?ri?rj?rk)即為敏感因子。

對于彈丸不同時刻的偏導數:

(4)

(5)

式中:P表示偏導數,其為關于r的變量的函數。在某一時刻不同階狀態變量的偏導數無排序差異下,式(3)可改寫為

(6)

式中:ΔT為實際彈道落點與標準彈道落點的偏差,因高階小量對落點偏差計算影響較小,可忽略。

1.2 模型參數數值求解

根據有限差分法和偏導數的定義,不同階偏導數可用如下公式求解[11]:

(7)

式中:Δri和Δrj為對應不同狀態變量的偏差。限于篇幅,本文只給出了一階和二階偏導數的求解方法,更高階偏導數按照類似方法也可求解。如果以彈丸飛行距離作為偏導數求解位置參考,則一階偏導數在彈道縱向x和橫向z上各有關于y,z,vx,vy,vz的5類偏導數。而使用二階偏導數預測落點偏差時還需增加關于上述5種彈丸飛行狀態變量兩兩之間的偏導數,在x和z方向上各有20類偏導數。

2 模型參數論證分析

在實際應用中,射擊前需利用火控計算機解算射角諸元、基準彈道和偏導數。為滿足快速裝定和實時計算要求,在不影響落點精度的前提下,火控計算機和彈載計算機的計算量要盡可能少。

2.1 基準彈道

2.1.1 基準彈道快速計算

計算基準彈道前需首先確定火炮射角θ和射向角α,傳統查閱射表或計算機插值計算方法的誤差較大,本文基于攝動理論提出了一種修正步長自適應的射角諸元計算方法。

首先計算不同初速、不同射角諸元以及不同氣象條件下的彈丸落點,并以數據庫形式保存在火控計算機中,基于線性插值法調用該數據庫,利用該數據庫計算彈丸落點誤差不能超過0.4%。在實際應用中,首先通過輸入彈丸初速、氣象數據及射距L查找數據庫,得到一組粗略的射角θn和射向角αn,n為調用數據庫和解算彈道模型總次數。該角度與擬求解的精確的射角和射向角誤差不大,則可做如下近似:

(8)

(9)

基于θn和αn計算更準確的射角諸元步驟如下:

①基于θn和αn解算剛體彈道模型得到落點T′(xn,zn),計算其與目標點(即標準彈道落點)T(xt,zt)的偏差ΔT(Δxn,Δzn);

②再次調用數據庫計算射距L下偏差量為ΔT(Δxn,Δzn),對應的射角和射向角調整量Δθn和Δαn,設θn=θn+Δθn,αn=αn+Δαn,基于新的θn和αn,再次解算彈道模型得到落點T′(xn,zn),設其與T(xt,zt)的偏差為ΔT(Δxn,Δzn);

③設Δθn=(Δθn-1/Δxn-1)Δxn,Δαn=(Δαn-1/Δzn-1)Δzn,則θn=θn+Δθn,αn=αn+Δαn,基于新的θn和αn再次解算彈道模型得到落點T′(xn,zn),其與T(xn,zn)的偏差為ΔT(Δxn,Δzn),重復本步驟,直至ΔT(Δxn,Δzn)滿足誤差要求。

該方法特點是射角和射向角修正偏差可根據落點偏差大小自適應改變,能夠在短時間內計算出滿足精度要求的射角諸元,并獲得基準彈道數據。

表1 射角和射向角搜索結果

2.1.2 基準彈道數據量

基準彈道數據以矩陣形式裝定給引信,矩陣列分別代表基準彈道的y,z,vx,vy,vz等參數,矩陣行表示不同距離的上述參數值。裝定給引信的基準彈道行數越少,則基準彈道數據距離間隔越長,這會增大插值誤差,影響落點偏差計算精度,而數據間隔太小會增加數據裝定量,影響裝定速度。

設置射角θ=35°,彈丸開始預測時間為發射后12 s,彈丸落點偏差預測結果如圖1所示,彈丸實際縱向落點偏差為65.13 m,橫向落點偏差為8.90 m。從圖1(a)可看出,基準彈道分別取30行、40行時,縱向落點偏差預測波動幅值分別約為2 m,1 m;基準彈道分別取50行、60行時,偏差波動幅值均不超過0.5 m。從圖1(b)可看出,不同基準彈道行數對橫向落點偏差預測影響不大,預測偏差波動幅值均不超過0.1 m。因此,θ=35°時選取50行基準彈道數據量較合適,其他射角射擊時依此方法論證分析。

2.2 偏導數模型參數

2.2.1 偏導數求解中彈道偏差設置

給剛體彈道模型不同參數添加隨機誤差,模擬實際應用中存在的射擊誤差,主要射擊誤差設置如表2所示。蒙特卡羅打靶仿真計算1 000組彈丸落點,統計計算得彈丸縱向密集度為1/273,比彈丸實際密集度1/278略大,橫向密集度為1/1 444,比彈丸實際密集度1/1 467略大,根據誤差適當增大原則,表2中射擊誤差設置滿足該型彈最大射角射擊時的落點散布規律要求。

表2 主要射擊誤差設置

基于表2射擊誤差,利用蒙特卡羅打靶法仿真計算1 000條誤差彈道,將誤差彈道與標準彈道比較,得到不同射距下彈丸彈道誤差,將同一位置處的1 000個彈道誤差取絕對值后再求和取平均值,得到不同射距下彈丸位置平均誤差如圖2所示,彈丸速度平均誤差如圖3所示。

圖2 彈丸位置平均誤差

圖3 彈丸速度平均誤差

從圖2和圖3可看出,位置平均誤差隨著飛行距離的增加而增大,而速度平均誤差在一定范圍內波動變化。為確保偏導數求解精度,在求解彈丸位置偏導數時需根據彈丸飛行距離設置不同偏差值,偏導數求解中彈道偏差設置如表3所示,由于速度誤差變化較小,故選用同一偏差值。

表3 偏導數求解時彈道偏差設置

圖4為彈丸縱向落點偏差Δx分別為13.23 m,65.13 m,115.43 m時,利用不同彈道偏差求解的偏導數對落點偏差預測精度的影響。其中“小步長”對應的彈道位置偏差為Δy=22 m,Δz=10 m(下同);“大步長”對應為Δy=82 m,Δz=19 m(下同);“變步長”設置如表3所示,速度偏差設置均為Δvx=Δvy=Δvz=1.4 m/s(下同);彈丸橫向落點偏差Δz分別為1.77 m,8.90 m,16.04 m時,利用不同彈道偏差求解的偏導數對落點偏差預測精度的影響如圖5所示。

圖4 縱向落點偏差預測精度

圖5 橫向落點偏差預測精度

從圖4可看出,在初始預測階段誤差較大,但隨著彈丸飛行,預測誤差快速減小,并達到收斂;小步長設置下,在彈道前期預測精度較高,隨著彈道偏差的增大,預測誤差開始大于大步長和變步長;大步長參數設置下,在彈道前期預測精度偏低,隨著彈道偏差的增大,預測精度慢慢好于小步長;變步長參數設置下,預測精度結合了小步長和大步長參數設置下的優點,在全彈道上預測精度都較高。從圖5可看出,隨著落點偏差的增大,落點預測精度也整體降低,但誤差都保持在較小水平,這主要是因為彈丸橫向落點散布較小,橫向落點偏差與彈道偏差滿足較好的線性關系。

2.2.2 偏導數階數

根據泰勒級數展開理論,保留的偏導數階數越高落點偏差預測精度越高,但由于彈道測量偏差的存在,計算中引入的測量誤差也可能更大。圖6為分別利用一階偏導數和二階偏導數預測落點偏差的精度的比較。

圖6 不同階偏導數預測落點偏差精度比較

從圖6(a)可看出,使用一階偏導數預測彈丸縱向落點偏差精度較穩定,誤差一般不超過2 m;使用二階偏導數預測縱向落點誤差收斂速度慢,且波動幅值較大。從圖6(b)可看出,使用一階偏導數預測彈丸橫向落點偏差精度較穩定,誤差逐漸收斂,最終誤差與二階偏導數預測精度相當;使用二階偏導數預測誤差,收斂速度快,但誤差波動較大。綜上分析,選用一階偏導數預測彈丸落點偏差。

2.2.3 偏導數數據量

與基準彈道數據形似,計算出的偏導數也是以矩陣的形式裝定給引信,只是矩陣的列表示不同彈丸飛行狀態參數的偏導數,矩陣的行依然表示不同射距上對應的偏導數。偏導數行數少,則不同行的偏導數射距間隔大,容易造成落點偏差預測精度差。

圖7為使用不同行數偏導數預測彈丸落點偏差的精度的比較。從圖7(a)可看出,偏導數行數越多縱向落點偏差預測精度越高;10行和15行偏導數預測精度差別不大。從圖7(b)可看出,使用不同行數偏導數預測彈丸橫向落點偏差的精度差異不大,特別是在彈道后期,預測精度基本一致。綜上分析,兼顧落點偏差預測精度和精度收斂速度,選10行偏導數較合適。

圖7 不同行數偏導數落點偏差預測精度比較

3 動態彈道偏差閾值修正

基于攝動理論計算出彈丸落點偏差后,需將該偏差與彈道偏差閾值進行比較,確定是否進行彈道修正。傳統方法將閾值設置為一個定值Wxz,當落點偏差大于Wxz時進行彈道修正,反之不修正。

3.1 修正能力分析

以105 mm固定舵式二維修正彈為例,彈丸不同飛行時刻,固定舵彈道修正能力如圖8所示,彈丸飛行約25 s達到彈道頂點。從圖8可看出,固定舵在彈道升弧段修正能力較強,且對彈丸的橫向修正能力大于縱向修正能力;在彈道降弧段修正能力下降明顯,彈丸對彈道縱向修正能力略大于橫向修正能力。因此,在制定彈道修正策略時要優先修正縱向落點偏差。

圖8 彈丸不同時刻修正能力

3.2 動態彈道偏差閾值的選擇

根據彈丸不同時刻修正能力確定基于時間序列的動態彈道偏差閾值,如表4所示。表中,Wx為彈道縱向偏差閾值,Wz為彈道橫向偏差閾值。利用蒙特卡羅打靶法仿真計算修正彈道,記錄每條彈道的修正次數,統計全部彈道總修正次數和落點散布規律。仿真計算參數設置如表5所示。

表4 彈道偏差修正閾值表

表5 仿真計算參數設置

不同修正閾值設置對應的彈丸落點散布如圖9所示,對應圓概率誤差(CEP)及總彈道修正次數如表6所示。

圖9 彈丸落點散布對比

表6 不同修正閥值下彈道修正結果

從圖9可看出,修正閾值1與修正閾值2對應的彈丸落點散布規律相似,修正閾值3對應的落點散布較大。從表8可看出修正閾值1與修正閾值2落點CEP基本相同,但前者總彈道修正次數較后者減少29.1%,修正閾值3彈道總修正次數較修正閾值2減少,但仍大于修正閾值1,且其對應的落點CEP顯著增大。因此,選用動態彈道偏差閾值進行彈道修正能夠在不影響彈丸落點CEP條件下有效減少彈道修正次數,提高彈丸全彈道修正效率。

4 結束語

本文以多元函數的泰勒級數展開為理論依據,推導了攝動落點偏差預測方法理論模型,并給出了相關偏導數的求解方法。針對攝動落點預測方法實際應用涉及的相關技術問題,提出了基于攝動理論的修正步長自適應快速求解射角諸元的方法,該方法依托火控計算機循環解算彈道模型得出目標解,具有循環次數少,求解速度快的特點;為提高攝動落點預測精度,給出了偏導數求解中彈道偏差的設置方法;為提高彈道修正效率,基于舵片不同彈道時刻修正能力,提出了以飛行時間為序列的動態彈道偏差閾值修正方法,選用該方法進行彈道修正,在不影響彈丸落點CEP前提下可降低彈道修正次數29.1%。