基于FR共軛梯度的SAR圖像重構方法

周琦賓，吳 靜,2，曾婷婷

(1.西南科技大學信息工程學院，四川 綿陽 621000；2.特殊環境機器人技術四川省重點實驗室，四川 綿陽 621000)

0 引言

在各類成像雷達中，合成孔徑雷達(synthetic aperture radar，SAR)具有分辨率高的特點。由于SAR的特殊成像原理，其不受一些外界條件(如溫度與光照等)的影響，且發射的電磁波對云雨霧具有穿透性。因此，SAR的最大優點是全天候、全天時均可成像。因這一優點，SAR受到世界各國的重視，并且廣泛應用于軍事、民事等各個方面。受到奈奎斯特(Nyquist)采樣定律的限制，出現了一系列新的問題，如：出于高分辨率與成本間的矛盾，SAR工作產生的大量數據難以得到快速處理；同時，也對硬件等提出了更高的要求[1-2]。所以，為了使SAR技術發展得更快，當前迫切需要在數據采集及信號處理等方面尋找更加合適的體制。

Donoho、Candes等于2004年提出壓縮感知理論(compressed sensing,CS)[3]。其主要工作是對可壓縮或稀疏信號進行壓縮處理，并對相關非線性約束最優化問題進行求解，從而對信號進行近似重構或使其更加精確。在CS理論中，其非相關觀測可以使SAR成像過程中需要的數據量得到降低。對于SAR系統需要的大量數據，CS理論有利于數據的采集、傳輸與儲存等。

在壓縮感知理論中，其關鍵問題是在重構模型的設計過程中，如何在保證性能優良的前提下使模型更加穩定。其中較為經典的是貪婪算法，主要包括正交匹配追蹤[4](orthogonal matching pursuit，OMP)法與梯度追蹤[5](gradient pursuit，GP)法等。這類算法計算量小，但重構精度不夠高。除此之外，以線性規劃為基礎，另有梯度投影(gradient projection sparse reconstruction,GPSR)算法及基追蹤[6](basis pursuit,BP)算法。與貪婪類算法相比，此類算法的特點是精度更高，但存在計算量較大、迭代速度慢等問題。2009年，Mohimani等首次提出了光滑L0范數(Smoothed L0 Norm，SL0)算法。該算法主要是將圖像重構問題轉化為凸優化問題，從而進行計算處理；采用擬合函數逼近離散的L0范數，通過優化算法實現問題的求解。該算法重構速度較快，重構精度更高并且對噪聲具有一定的魯棒性。本文基于SL0算法[7]，進一步改進了與L0范數相近的擬合函數，同時對優化算法進行了改進，提出一種新的重構速度更快、重構精度更高的Fletcher-Reeves(FR)光滑零(FR Smoothed L0,FRSL0)壓縮感知SAR圖像重構方法。

1 SL0算法基礎

基于L0范數的重構算法，其求解模型為：

(1)

式中：x為大小為N×1的稀疏信號[8]；A為M×N(M?N)的觀測矩陣；y為信號x在觀測矩陣下的低維投影。

在對近似L0范數進行估計時，關鍵問題是光滑連續函數的選擇。光滑連函數用來擬合離散的L0范數，處理連續函數得到其最優解，從而得出L0范數的最優解。

在對L0范數進行估計時，SL0算法主要選擇的是高斯函數，并且使用最速下降法與梯度投影原理[9]進行優化求解。高斯函數的表達式為：

(2)

由式(2)易推出：

(3)

式中：xi為稀疏系數x的分量；σ為參數。

若定義高斯函數族：

(4)

式中：N為稀疏向量s的元素個數;‖x‖0為向量中不為零的個數。

由式(3)、式(4)可知，x的L0范數可近似為：

(5)

由此可知， L0范數的最小化問題能轉化為當σ→0時求Fσ(x)最大值。

2 基于FRSL0的SAR圖像重構方法

2.1 函數的選擇

在對L0范數進行近似時，SL0算法主要選擇的是高斯函數。但該方法存在對L0范數擬合程度不高且計算復雜等缺點。文獻[10]提出在對L0函數近似時，可以選擇分式函數。分式函數的特點是較為簡單，能夠在保證不降低精度情況下，極大地減少迭代過程的計算復雜度與計算量。

分式函數表達式如下：

(6)

式中：δ為一個非常小的正數。

在進行迭代時，參數δ選擇一組不斷下降且無限接近于0的序列。顯然，該函數滿足：

2.2 基于FR共軛梯度的優化算法

SL0算法使用迭代計算近似得到L0范數最優解時，主要使用的是梯度投影原理以及最速下降法。但是采用最速下降方法進行最優問題求解時，搜索路徑常常出現“鋸齒形狀”。該現象使得收斂過程困難、全局最優值較難得到，且很難估計其搜索路徑。NSL0算法使用牛頓法計算更新迭代方向，可以使最速下降法中容易出現的“鋸齒現象”得到抑制。但是在黑塞矩陣(Hessian matrix)的求解過程中，使用牛頓法的前提是保證矩陣的正定性。這就增加了計算的復雜程度。

本文將L0范數最小化問題等價轉化為：

(7)

式中：λ為拉格朗日算子。

進一步由式(7)得:

(8)

式(8)為無約束的最優化問題，滿足優化條件：

(9)

f′(x2)，…，f′(xn)]T

(10)

式中：f′(x)為f(x)的導數。

當δ→0時，有：

(11)

為方便表示，令：

共軛梯度法的優點是避免了最速下降法的缺點，同時也解決了牛頓法中局部收斂性以及復雜的計算問題。此外，該算法并不需要計算黑塞矩陣，并且具有穩定性較高且所需內存量較小等特點。針對式(11)，其最優化問題如下：

(12)

4FRSL0的算法步驟如下。

初始化：設定初值x0=AT(AAT)-1y，置迭代步數j，選擇合適的遞減序列[δ1,δ2,..,δj]。

迭代尋優：

forj=1,2,…,j

(1)δ=δi。

fork=1,2,…,L

①求可行下降方向：

其中，αk由FR公式得到:

②利用梯度投影法，對可行方向進行求解：

d(k)=(I-AT(AAT)A)d(k-1)

利用精確一維搜索，對步長μ進行計算確定。令：

X(k)=X(k-1)+μd(k)

3 試驗結果及分析

對三幅SAR圖像，采用不同算法的重構性能參數如表1所示。

表1 不同算法的重構性能參數

不同算法對圖像Suburb重構效果對比如圖1所示。

圖1 不同算法對圖像Suburb重構效果對比圖

不同算法對圖像River的重構效果對比如圖2所示。

圖2 不同算法對圖像River的重構效果比較圖

不同算法對圖像Farmland重構效果對比如圖3所示。

圖3 不同算法對圖像Farmland的重構效果對比圖

從試驗結果可以看出，對比三幅SAR圖像的重構效果，本文選擇的算法提高了重構的精度、質量。結合表1可知：重構效果較差的是SL0算法；與NSL0算法相比，FRSL0算法略勝一籌。在對所有圖像的試驗中，經過本文算法的重構圖像峰值信噪比值較高，重構相對誤差最低，可見本文算法具有一定的魯棒性，且對不同類型圖像重構都具有一定優勢。而從圖1～圖3能夠看出，本文算法重構的圖像更清晰、出現的瑕疵和噪點更少。因此，本文算法重構效果更好。

圖4與圖5分別給出在不同壓縮比下，四種算法的峰值信噪比與運行時間的性能比較曲線。從圖4中可以看出，本文算法在不同壓縮比下峰值信噪比值均略高于其他算法。圖5中，在不同壓縮比下，本文算法的運行時間與NSL0算法運行時間曲線略有重合，當壓縮比超過0.5時，運行時間也隨之增加。

圖4 不同算法性能對比曲線(PSNR)

圖5 不同算法性能對比曲線(運行時間)

4 結論

本文以壓縮感知理論為基礎，基于對SL0算法的深入研究，使用一個較為簡單的分式函擬合L0范數，得到一個新的優化問題。通過對牛頓法及最速下降法的優缺點進行比較分析，提出一種使用FR共軛梯度

法進行迭代尋優的SAR圖像重構方法。在FRSL0算法中，只需計算一階導數。這樣既可避免最速下降法中慢收斂性的缺點，又可避免牛頓法中因求解黑塞矩陣導致計算復雜的缺點。仿真試驗表明，與現有的典型算法相比，在以L0范數為基礎的重構算法中，本文算法重構的效果十分優良。