我們能否計算“幸運”

王耀楊

隨著科學的發展，數學在生活中的應用越來越廣。作為數學的一個重要部分，概率也同樣發揮著越來越廣泛的用處。在九年級《數學》中，我們會學習到與概率相關的簡單知識。其實在更早以前，在我們猜拳、擲骰子，或抽樣調查、買彩票時，都是在和概率打交道。計算概率也許不需要我們掌握多難的算式，但卻需要我們開動腦筋，根據條件建立起數學模型。下面就讓我們從這幾個身邊的案例入手，探索概率的神奇吧！

福爾摩斯的破案概率有多大？

對于喜愛推理文學作品的人來說，亞瑟·柯南·道爾無疑是令人耳熟能詳的名字。他筆下的神探福爾摩斯，面對初次見面的人，就能從體態、服飾等細微之處看出對方的很多經歷。

現實世界中是否真的存在這樣神奇的大偵探？書中的描寫是否只是作家的夸張呢？我們試著用數學的思想來分析一下福爾摩斯的神奇能力;或者更具體地講，用概率的思想來分析。

首先，福爾摩斯使用的推理確實是有道理的，比如觀察人的手掌來推測他以前做過什么工作，這是符合經驗的。但是細想一下，這樣的推理并不像我們熟悉的數學推理那樣，是“必然成立”的。也就是說，通過觀察手掌得出的結論不一定正確。像福爾摩斯這樣經驗豐富的高手，說不定能夠有90%的正確率，或者說，他推測正確的概率能達到0.9;要是換一個人，說不定也就只有0.8甚至更低。

但是，就算福爾摩斯的推測成功概率很大，要做到書中那樣神奇，還是很難的。我們不妨虛擬一個案子，通過計算來說明這一點。假設有一個案件一共涉及6個線索，福爾摩斯通過觀察現象找到一個正確線索的概率是0.9，那么他找到全部正確線索，從而對案情做出正確分析的概率是多少呢？如果假設這些線索是彼此互不干擾的，那么得到全部6個正確線索的概率是6個0.9的乘積，也就是0.9x0.9x0.9x0.9x0.9x0.90.53，就只比0.5大一點點。如果換一個略遜于福爾摩斯的偵探，他每次得到正確線索的概率只有0.8，那么他成功破案的概率就只有0.8x0.8x0.8x0.8x0.8x0.80.26，破案的成功率大幅下降;要是每次得到正確線索的概率是0.7，那成功破案的概率更是只有可憐的0.11。

當然，前面我們說的概率0.9，是指“憑借經驗一下子做出判斷”得到正確結果的概率，而在真正的斷案過程中，需要刑偵人員付出大量的時間和精力去反復查證核實，那么當他們推斷出有效線索時，正確率可以無限接近于100%！那么不管經過多少次連乘，最終的結論仍然可以是高度可信的。

閱讀題中，你能否猜中作者的心？

講到這里，相信又會有愛動腦筋的讀者要問了：閱讀理解題中，經常要求我們根據文章詞句推測作者表達的思想感情，這是不是也很不可靠？相信大家都聽過一個笑話：如果任由一個讀者展開想象，對作品進行解讀，那么他很可能得出連作者自己都想不到的結論來！

不過，下面我要說的可能會讓你感到吃驚：恰恰相反，我們平時所學的分析課文的方法，至少從概率的角度來分析，其實是非常可靠的。利用正確的方法，能夠以極大的概率得到正確結論。什么，你不信？那我們還是舉例來算一算！

首先，我們假設自己做出推測的依據是找到某些詞句，比如當我們看到“手舞足蹈”時感覺作者似乎是要表達某個人很高興，而“衣不遮體”這樣的形容多半是想說某個人很貧窮，進而引發同情。當然，實際的推測方式往往更復雜，畢竟我們的漢語表達方式很多元，而一些作家駕馭語言的水平又是那樣的令人仰視。

現在，作為一個文學鑒賞領域的新手，我們假設自己做出這樣一個推測的正確率只有70%，然后把自己代入課堂中。課上，語文老師需要你找出說明主人公很高興的證據，短暫的準備之后，你一共找到了3個。那么，是否能據此說明你成功地推測出“主人公非常高興”這一含義？答案是能！

為什么？我們假設你找到的第一個證據是錯誤的，前面我們說過，做出一次正確推測的概率是0.7，那么錯誤推測的概率就是1-0.7=0.3。

那么你找到的3個證據全都錯誤，這件事的概率有多大呢？與前面偵探尋找破案線索的例子類似，我們假設這些證據彼此沒有聯系，那么它們全錯的概率就是0.3×0.3×0.3=0.027。也就是說，僅有2.7%的可能是作者完全沒有要表達“主人公很高興”的意思！反過來說，作者“不是沒有這個意思”的概率高達97.3%！這個說法雖然看起來有點怪異，但是它符合文學評議的結論模式：我們不是要斷言哪個說法一定對，哪個說法一定錯，而是分析哪個說法有道理，讓人可以接受。

我為什么總是趕不上公交車？

看到這里，可能有讀者會感到奇怪：不是要講數學里面的概率思想嗎？為什么一直到現在，說的都是些文學的事情呢？其實，數學里面所說的“思想”可以理解成一種視角，我們從這個角度出發，去審視現實生活中遇到的各種事情，并不一定要局限于某些特殊的問題類型。

想必大家都有乘坐公交車的經驗吧？不知道你們有沒有這種感覺，等公交車時經常會遇到兩件令人無比郁悶的事情：一是“每次我到車站時總是剛好沒有趕上”，二是“我要乘坐的車總是遲遲不來，不要坐的車卻是來了又來”。當然，后一件事通常是在若干種不同路線的公交車共用同一候車站時才會發生。

下面我們用概率思想來分析一下，就說說“剛好沒有趕上”這件事吧。假設公交車每隔10分鐘來一趟，而我到達車站的時刻是不確定的，或者說不同時刻到達車站的可能性相同。那么“剛好沒有趕上”是什么意思呢？

實際上它是由兩種極限狀態所夾住的一個時間段：一種極限狀態是，當我走到能看見車站的某個固定位置時，正好看到遠處開來的車，但是來不及在公交車離開前走過去，所以內心的感受就是“剛好沒趕上”;另一種極限狀態是，當我走到能看見車站的某個固定位置時，看到某輛車已離站一段，但并沒有遠離到看不清的程度，這時我也會產生“剛好沒趕上”的心理印象。

如圖，我們把時間表示成一條直線，紅色三角指示的點對應公交車關門的那一刻。在這一刻兩側有一個時間段，用綠色矩形表示。接下來，如果我們走到能看見車站的某個固定位置的時刻恰好位于矩形范圍內，就會產生“剛好沒有趕上”的印象。假設公交車的運行非常有規律，并且“我們走到能看見車站的某個固定位置的時刻”在時間軸上任一點上的可能性都相同，那么“剛好沒有趕上”發生的概率就是矩形的長邊與兩個紅色三角之間距離的比值。這個比值在不同的具體情境中必然不同，但一般會在0.2～0.4之間。這個概率看起來似乎不大，但是人的心理感受常常會給不良體驗賦予額外的重要性，簡單地說就是“壞事兒總是令人印象深刻些”。

關于“我要乘坐的車總是遲遲不來，不要坐的車卻是來了又來”這件事，有興趣的讀者可以試著用概率思想解釋一下，再講給身邊的親友聽聽，看看你的解釋能不能令人信服。

答案解析

我坐的車怎么還不來？

在生活中，我們總會遇到“我坐的車總不來”的情況，這是怎么回事呢？我們先把條件設得具體些：假設一個公交車站有6種不同的車，其中只有1種是我們要乘坐的;由于對各種車的日常運行規則不熟悉，假設我們到達車站的時候，每種車到站的概率都相等，因此都是1/6。一般來說，如果某種公交車剛來了1輛，那么接下來的短時間內它也就不會來了。按照上述假設，在我們到達車站之后，趕來的第一輛車就是我們要坐的車，這件事發生的概率只有1/6。那么下一輛車呢？剛來的那種車短時間內不會再來了，所以接下來5種公交車各自出現的概率相同，因此等到車的概率是1/5;繼續等，下一輛車該是我們要坐的車了吧？其實概率只有1/4。按照這樣的分析，連等三輛都不是的概率是。

需要說明的是，你的心理感受還與現實情境的加成效果有關。通常等公交車時你都是正想趕往某處，那么等不來車就會帶來更為顯著的負面情緒，從而放大了概率本身實際的感覺。我們換個情境：假設6個彩蛋中只有一個有獎品（而且是一個對你來說可有可無的小獎品），那么接連敲碎3個蛋都沒有中獎的概率也是1/2，所涉及的基本模型和計算過程和前面完全一樣。但是你卻不會感到這是多么尷尬的事情，哈哈一笑也就過去了。

（責任編輯 / 陳瑩?? 美術編輯 / 張志浩）