基于線性算子不等式的時滯電力系統穩定性分析

華長春， 王毅博

(燕山大學電氣工程學院，河北秦皇島 066004)

0 引言

頻率是衡量電力系統穩定運行的重要指標。電網頻率的波動可能會降低系統的機械功率，甚至影響整個電網系統的穩定運行[1-2]。負載頻率控制系統(Load Frequency Control,LFC)通過調節電網的電力供需，將頻率維持在某個固定值。LFC系統中信息傳輸大多依靠開放式通訊網絡，這種方式能夠以較低功耗實現雙向通訊。然而，開放式通訊網絡會導致信號在監測和傳輸過程中出現等待、阻塞和丟包等情況，稱為時滯現象。時滯會直接影響電網的性能，甚至造成電網系統的不穩定。因此，準確估計電力系統的時滯穩定裕度能夠為LFC系統的控制器設計提供指導，具有重要的現實意義。

具有開放式通信網絡的LFC系統是一個典型的時滯系統[3-5]。時滯微分方程(Delay Differential Equation,DDE)是表示時滯LFC系統最常用的方法之一。使用DDE表示的時滯LFC系統的穩定性問題已得到廣泛研究。文獻[6]討論了具有PI控制器的單區域和多區域LFC系統的穩定性問題，獲得了時滯穩定裕度和控制器參數之間的關系。文獻[7]通過構建新型Lyapunov-Krasovskii(L-K)泛函，進一步研究了控制器增益與時滯之間的聯系以及不同區域之間的相互作用。文獻[8]針對單區域LFC系統，利用逆凸不等式方法，得出一種魯棒穩定判據。通過構建增廣型L-K泛函，文獻[9]利用Bessel-Legendre積分不等式處理交叉項，研究了時滯單區域LFC系統穩定性問題，提出一種保守性較低的穩定判據。文獻[10]研究了具有時滯和非線性干擾的LFC系統穩定性問題，通過Bessel-Legendre積分不等式建立了新型穩定判據。文獻[11]提出一種模型重建的方法，結合Wirtinger積分不等式，得出一種計算復雜度較低的穩定判據。綜上所述，針對時滯LFC系統的穩定性問題，現有文獻普遍采用基于DDE的時域方法，并取得了許多成果。由于構造L-K泛函沒有普遍規律，分析過程需要處理積分項，不可避免地增加了穩定判據的保守性。因此，針對時滯多區域LFC系統的穩定性問題還有很大的研究空間。

偏微分方程和常微分方程(PDE-ODE)的耦合形式也可用于表示系統的時滯現象[12-13]。但尚未成為時滯系統分析和綜合的主流。最近，基于半群理論和線性算子理論，文獻[14]提出了一類線性偏積分算子(Partial Integral,PI)，基于PI算子可將PDE-ODE表示的時滯系統直接轉化為偏積分方程(Partial Integral Equation,PIE)的形式。文獻[15]利用MATLAB工具箱PIETOOLS能夠高效地構造和求解PI算子不等式。通過構建完全型L-K泛函來分析系統的穩定性，分析過程不涉及積分不等式技術的使用，因此所得結果幾乎不包含保守性。線性算子理論為時滯多區域LFC系統的穩定性分析提供了新思路。

本文進一步研究了時滯多區域LFC系統的穩定性分析問題。首先，構建PIE表示的時滯多區域LFC系統模型，構建完全型L-K泛函并以PI算子內積的形式表示，避免在穩定性分析中使用積分不等式技術。然后，基于李雅普諾夫方法得出一種保守性較低的穩定判據，結合PIETOOLS工具箱獲得系統的時滯穩定裕度，進一步分析時滯穩定裕度對控制器參數設計的影響。最后，數值算例和仿真試驗表明了所提方法的有效性。

1 時滯多區域LFC系統模型

1.1 傳統系統模型

本節回顧了傳統時滯多區域LFC系統模型，其結構如圖1。其中，ΔPvi、ΔPdi、ΔPmi和Δfi分別代表i區域的氣門閥位置變化量、負載擾動、機械輸出功率和系統頻率偏差。Mi和Di分別是i區域發電機的轉動慣量和阻尼系數。Tti和Tgi分別表示i區域汽輪機和機組調速器的慣性時間常數，Tij代表區域i和區域j間聯絡線的同步系數，ΔPtie-i和ACEi(t)表示區域i聯絡線上的凈交換功率偏差和區域控制誤差。為方便分析，使用靜態輸出反饋控制策略代替PID控制策略，可得傳統LFC系統模型如下：

(1)

式中

F=diag{F1,,FN},ΔPd(t)=[ΔPd1,ΔPd2,,ΔPdN]T，

Adii=-BiKiCi,Adij=-BiKiCij,

需要注意的是區域間聯絡線上凈交換功率偏差和為零，即

根據文獻[11]可得，擾動并不會影響LFC系統的內部穩定性。因此，傳統多區域LFC系統可轉換為如下多重時滯系統的形式

(2)

其中，時滯滿足0≤τ1≤τ2≤τN。

圖1 時滯多區域LFC系統框圖
Fig.1 Scheme diagram of delayed multiarea LFC system

1.2 基于PIE系統模型

本節根據DDE表示的傳統多區域LFC系統模型，推導得出基于PIE的系統模型。首先引入PI算子的定義。

(3)

其中，

證明對于任意矩陣函數G1:[-1,0]×[-1,0]→Rm1×n，G2:[-1,0]×[-1,0]→Rm2×n和函數f(s)≥0,s∈[-1,0]，如下條件成立

則PI算子H滿足

(4)

我們定義如下函數

ψi(t,s)=x(t+sτi),s∈[-1,0]，

(5)

顯然，ψi(t,s)可以表示系統時滯信道的歷史狀態，其邊界條件如下：

(6)

根據微積分基本定理，可得

(7)

ψi(t,-1)=x(t-τ)

(8)

定義

(9)

結合(5)～(9)，可得

(10)

式中

將(7)～(8)代入系統(2)，可得

(11)

(12)

綜合(11)～(12)，定義PI算子T:Zn,nN→Zn,nN和A:Zn,nN→Zn,nN，將系統(2)轉換為PIE的形式：

(13)

式中

DDE表示的LFC系統(2)中包含了隱式動態x(t-τi)，加大了系統穩定性分析的難度。而基于PIE的LFC系統(13)通過邊界條件(6)和狀態ψ(t,s)定義系統隱式動態，使得系統形式更接近于線性系統，簡化了系統的穩定性分析過程。

當ψ(t,s)滿足邊界條件(6)時，系統(13)的狀態完全等價于系統(2)，即兩個系統具有相同的解x(t)。所以，針對系統(2)的穩定性分析問題可以通過研究系統(13)得到。

2 穩定判據

本節給出了時滯多區域LFC系統的穩定判據。根據PIE表示的LFC系統模型，構建完全型L-K泛函，以算子不等式的形式給出了系統的穩定判據。最后利用PIETOOLS工具箱對判據進行求解，計算系統的時滯穩定裕度。

完全型L-K泛函具有如下形式：

V(t)=

(14)

將(14)表示為PI算子內積的形式，如下

V(t)=〈ν,Hν〉Z，

(15)

式中

完全型L-K泛函相比傳統L-K泛函更具一般性。完全型L-K泛函(15)中的待定參數均為矩陣函數，而傳統L-K函數中的待定參數均為矩陣。因此完全型L-K泛函具有較大的求解域，更具一般性，有利于降低所得判據的保守性。對于系統(13)，得到如下穩定判據。

T*HA+A*HT<0

(16)

證明基于PI算子理論，建立完全型L-K泛函如下：

V(xf)=〈Txf,HTxf〉Z，

(17)

由于PI算子是正定算子，所以對于任意ε，V(xf)≥ε‖xf‖2成立。對V(xf)求導可得

〈xf,(T*HA+A*HT)xf〉Z，

(18)

傳統的時域方法在求解L-K泛函導數時，需要引入積分不等式技術處理交叉項，而積分不等式技術的本質是對泛函導數的近似求解，不可避免地在穩定判據中引入保守性。本文提出的方法不涉及積分不等式技術的使用。因此，所提出的穩定判據具有較低的保守性。

對于定理1的求解可以基于PIETOOLS工具箱。首先根據相應系統參數，構建系統PIE表示的系統方程，然后設定時滯h的初始值，通過PIETOOLS迭代求解算子不等式(15)是否存在可行解，進而判斷系統是否為漸進穩定。求解時滯穩定裕度的計算流程如圖2所示。

圖2 時滯穩定裕度的計算流程圖
Fig.2 Calculation flow chart of the maximum delay boundary

3 仿真結果

在本節中，以單區域和多區域LFC系統為例進行仿真研究，根據文獻[11]給出的系統參數(如表1所示)。計算LFC系統在不同控制增益下的時滯穩定裕度，并將仿真結果與現有文獻進行比較，表明本文所提方法的有效性與優越性。

表1 系統參數表
Tab.1 Table of system parameters

TtTgRDβMT12區域10.300.100.051.0021.0010.000.198 6區域20.400.170.051.5021.5012.000.198 6

3.1 時滯單區域LFC系統

針對時滯單區域LFC系統，將定理1所獲得的時滯穩定裕度與文獻[16]給出的結果進行比較，如表2所示。可以得出，在相同控制器增益下，定理1所得的時滯穩定裕度遠大于文獻[16]的結果。表明本文所提出穩定判據具有較低的保守性。

表2 時滯單區域LFC系統時滯穩定裕度表
Tab.2 Table of maximum delay boundary for delayed one-region LFC systems

KPKI文獻[16]本文方法KPKI文獻[16]本文方法0.200.0530.3934.220.600.1012.3017.190.400.0526.3835.830.600.158.9411.270.600.0520.6934.920.600.207.058.310.100.1016.0616.110.800.108.9214.290.200.1016.4316.850.800.156.579.390.400.1015.0917.650.800.205.186.86

根據定理1，通過設置不同的控制器增益(KP∈[0,1]，KI∈[0,1])獲得相應的時滯穩定裕度，如表3所示。不同的控制器參數對時滯穩定裕度的影響也不同。當比例增益KP固定時，時滯穩定裕度隨著KI的增加而減小。而KP對時滯穩定裕度的影響可分為兩個階段。當控制器積分增益KI恒定時，當KP<0.4時，時滯穩定裕度的變化與KP成正比；當KP>0.4時，時滯穩定裕度的變化與KP成反比。當KI固定時，例如KI=0.05，時滯穩定裕度的最大值出現在KP=0.4處，而當KP>0.6時，時滯穩定裕度會迅速衰減。

表3 不同控制器增益下時滯單區域LFC的時滯穩定裕度表
Tab.3 Table of maximum delay boundary for delayed two-region LFC system at different controller gainss

KpKI0.050.100.150.200.400.601.00030.9115.209.957.333.382.040.920.0531.8715.6810.277.573.502.120.970.1032.7516.1110.577.793.612.191.010.2034.2216.8511.068.163.792.311.070.4035.8317.6511.598.553.982.421.110.6034.9217.1911.278.313.822.280.940.8029.4414.299.396.862.911.240.551.000.590.580.570.560.510.460.36

針對具有PI控制器的單區域LFC系統進行仿真。根據文獻[7]，區域控制誤差ACE(t)的信號更新周期被設置為兩秒，擾動發生在15 s處。根據表2可得，當KP=0.6，KI=0.1時，文獻[16]和定理1得到的時滯穩定裕度分別為12.30 s和17.19 s。設置不同的時滯上界(τ=12，τ=17和τ=18)，得到系統狀態ACE(t)和Δf在不同時滯條件下的響應曲線，如圖3所示。當時滯最大上界為12 s和17 s時，系統是漸進穩定的，時滯最大上界為18 s時，系統是不穩定的。仿真結果表明了本文提出方法的有效性。

圖3 不同時滯上界系統的狀態響應
Fig.3 State response of systems with different time-delay upper bounds

3.2 時滯多區域LFC系統

針對時滯雙區域LFC系統進行仿真，由表4可得，控制器參數為KP=0.4，KI=0.2，時滯參數為τ=9.00，θ=70°，兩個區域的時滯上界分別為8.45 s和3.07 s。系統的狀態響應曲線如圖4所示，系統是漸近穩定的。

表4 時滯雙區域LFC系統時滯穩定裕度表
Tab.4 Table of maximum delay boundary for delayedtwo-region LFC systems

θ/(°)文獻[4]文獻[7]文獻[11]本文方法04.865.367.598.43204.785.978.658.95405.717.1910.9711.00456.177.5411.8711.92505.977.1711.1111.14704.935.968.739.00904.895.357.538.54

圖4 多區域LFC系統的狀態響應
Fig.4 State response of multi-area LFC system with time-delays

4 結論

本文討論了時滯多區域LFC系統的穩定性分析問題。通過PIE表示具有PID控制器和通信延遲的多區域LFC系統。結合線性算子理論，采用完全型L-K泛函，獲得保守性較低時滯相關穩定判據。通過數值算例分析了時滯穩定裕度與控制器參數的關系，對實際電網系統的控制器參數設計具有指導意義。