基于馬爾科夫狀態轉移模型的天氣衍生品定價

楊剛 楊徐

摘 要 引入馬爾科夫狀態轉移（MRS）模型擬合長沙市每日平均氣溫變化，利用最大期望算法估計馬爾科夫狀態轉移模型參數，通過誤差分析得到了最佳MRS模型.基于最佳的MRS模型，采用無套利定價原理定價氣溫衍生品，并利用蒙特卡羅方法得到了取暖指數（HDD）歐式看漲期權的數值解.實證結果表明，五狀態的MRS模型對長沙市每日平均氣溫變化的擬合效果明顯優于其他的MRS模型，它使得氣溫衍生品定價結果相比以前的方法更為精確.

關鍵詞 數量經濟學;最優氣溫模型;EM算法;無套利定價原理;天氣衍生品;MRS模型

中圖分類號 F840.67 ? ? ? ? ? 文獻標識碼 A

Abstract The Markov regime-switching model is introduced to fit the variation of Changsha daily average temperature. The parameters of Markov regime-switching （MRS） models are estimated by Expectation-Maximization algorithm. The optimal MRS model is derived by error analysis. On the basis of the optimal MRS model， no-arbitrage pricing principle is applied to pricing the temperature derivatives. Numerical solution to the HDD European call option is determined by Monte Carlo method. As the empirical result is shown， the fitting effect of five-state-MRS model for the variation of Changsha daily average temperature is superior to other MRS models. Hence， the pricing result of temperature derivatives is more accurate than ever.

Key words quantitative economics; optimal temperature model; EM algorithm; no-arbitrage pricing principle; weather derivatives; MRS model

1 引 言

自1997年12月84個國家在日本京都簽訂《京都協議書》以來，人們日益認識到氣候變化對生產生活的嚴重影響，并且把該年定為天氣衍生品交易元年.2014年8月，國務院發布了《關于加快發展現代保險服務業的若干意見》，指出要“探索天氣指數等新興產品和服務”.天氣風險通常分為巨災天氣風險和非巨災天氣風險.對于巨災風險，許多學者已進行了深入研究.楊剛等（2008）[1]通過Esscher變換對巨災超額損失再保險進行定價，沈明軒和何朝林（2012）[2]假定巨災指數服從分數跳擴散情形，利用保險精算方法定價巨災期權.天氣衍生品是一種基于天氣指數的未定權益，它通常用于管理因不利天氣變化造成的經濟損失，常見標的包括溫度、降雨量、降雪量和霜凍天數等天氣指標.

由于天氣衍生品的標的不可交易，天氣衍生品市場屬于不完全市場，因此不能應用經典的Black-Scholes期權定價方法對天氣衍生品進行定價.現有的天氣衍生品定價方法種類多樣，主要包含精算定價方法、無套利定價方法、效用無差異定價方法和均衡定價方法（Lee和Oren，（2010）[3]）.傳統的精算定價方法通常基于精算等價原則，往往采用真實概率測度得到貼現價格，由于天氣衍生品市場存在顯著的風險市場價格，故容易導致較大的定價誤差.效用無差異定價方法和均衡定價方法通常以效用函數為基礎，由于對個人效用函數的選取較為主觀，所以容易產生較大的定價誤差.選取風險中性定價方法確定氣溫衍生品的無套利價格比較合理，它是一種靈活而又便于實施的金融衍生品定價方法.

在無套利定價方法中，Alaton等（2002）[4]首次引入布朗運動驅動的O-U過程對氣溫衍生品進行無套利定價.王明亮等（2015）[5]利用布朗運動驅動的O-U過程擬合北京市每日平均氣溫變化，通過蒙特卡洛方法定價氣溫衍生品.王晶（2016）[6]利用布朗運動驅動的O-U過程擬合北京市每日平均氣溫變化，通過有限差分方法得到氣溫期權的數值結果.胡亞茹（2019）[7]采用布朗運動驅動的O-U過程擬合哈爾濱、北京等五個城市的每日平均氣溫變化，通過蒙特卡洛模擬得到氣溫期權價格.Alaton等（2002）[4]采用常數方差刻畫氣溫的波動，Benth等（2007）[8]采用截斷的傅里葉級數描述方差變化的時變結果，Li（2018）[9]對布朗運動驅動的O-U模型進行改進，采用偏微分方程（PDE）定價天氣衍生品.Benth等（2005）[10]發現氣溫殘差并不完全符合正態分布的假定，這使得氣溫衍生品在定價過程中存在較大的誤差，所以他們采用lvy過程驅動的O-U過程來擬合氣溫過程的變化軌跡.Elias等（2014）[11]首次將兩狀態馬爾科夫狀態轉移模型（Markov regime-switching， MRS）模型應用于氣溫衍生品定價.隨后，Evarest等（2017）[12]對兩狀態MRS模型進行拓展，提出時變波動率MRS模型.Gyamerah等（2018）[13]在Evarest等（2017）[12]的工作上對MRS模型進一步修正，得到lvy過程驅動的兩狀態MRS模型.Xiong和Mamon（2018）[14]采用受隱馬爾可夫鏈調制的O-U過程對天氣衍生品進行定價.MRS模型在一定程度上提升了天氣衍生品定價的精確性，同時也增加了計算的復雜性.通過對不同氣溫模型對比分析，最終采用MRS模型對氣溫衍生品進行無套利定價.

受Evarest等（2017）[12]和Gyamerah等（2018）[13]提出的兩狀態MRS模型啟發，進行了兩方面的拓展，一是將時變波動率均值回復MRS模型中基本狀態的時變波動率拓展到帶有常數指數時變波動率的MRS模型;二是將兩狀態的MRS模型拓展到五狀態的MRS模型.同時，基于最優的MRS模型對取暖指數（heating degree days，HDD）期權進行無套利定價，并通過蒙特卡羅方法得到了HDD期權價格的數值解.

2 每日平均氣溫分解和馬爾科夫狀態轉移模型

通過分解得到每日平均氣溫的殘差，并用MRS模型擬合每日平均氣溫殘差的變化.

3 氣溫模型數值分析

首先描述數據來源和數據特征，然后對方程（2）的參數使用非線性最小二乘法估計.最大期望算法（Expectation-Maximization algorithm，EM）以極大似然估計方法為基礎，較為簡便也便于操作，算法收斂的穩定性強，采用EM算法對MRS模型的參數進行估計應該是可行的.基于所有的MRS模型，擬合氣溫數據并使用誤差分析，挑選最優的MRS模型以便于下一節對氣溫衍生品進行定價.

3.1 數據來源與數據特征描述

氣溫數據來源于美國海洋和大氣管理局（NOAA）美國海洋和大氣管理局官網（https：//www.ncdc.noaa.gov/data-access/quick-links#dsi-3505）.

將氣溫衍生品應用于農業天氣風險管理之前，需要對氣溫衍生品進行定價.由于氣溫衍生品用于管理農業天氣風險可能存在地理基差風險，而減少基差風險的簡便方式是選取覆蓋地點較近的氣溫衍生品合約.因此選取長沙站點作為湖南省具有代表性的氣象站點，時間區間為2016年1月1日到2019年12月31日，樣本數量為1461個.在此研究的氣溫衍生品是以長沙市每日平均氣溫數據為標的的氣溫衍生品.需要注意的是，基于長沙市每日平均氣溫指數的氣溫衍生品的價格數值并不一定與采用其他地區的氣溫數據得到的價格數值一致，原因是不同地區的氣溫數據存在差異，但仍然可以采用與此相同的模型、方法和步驟得到其他地區的氣溫衍生品的價格.由于樣本量較大，可能存在缺失數據的情形.對缺失數據的處理，詳見Alexandridi和Zapranis（2012）[16].表1中描述性統計呈現長沙每日平均氣溫特征，表明樣本數據不服從正態分布，并且波動性較大.

3.2 確定性函數的參數估計

采用非線性最小二乘法得到方程（2）的最佳參數擬合值見表2.R2為84.79%，表明除e3以外確定性成分平均解釋了84.79%的氣溫變化e3的P值很大而參數值很小，所以將其剔除..在圖1中，擬合的確定性成分總體上與真實數據相吻合.在圖2中，氣溫殘差有較為顯著的均值回復特征，殘差序列的波動性呈現強烈的“跳躍”性，表明適合引入MRS模型擬合氣溫殘差.

5 結 論

通過將Evarest等（2017）[12]和Gyamerah等（2018）[13]MRS模型的時變波動率拓展到帶常數指數的時變波動率MRS模型，將兩狀態的MRS模型拓展到五狀態的MRS模型，發現MRS7模型對長沙市每日平均氣溫殘差的擬合效果相對較好.五狀態MRS模型優于其他的MRS模型.在氣溫期權定價的數值結果中，存在氣溫風險市場價格和不存在氣溫風險市場價格兩種情形下得到的期權價格相差較大，在氣溫期權定價時，需要考慮風險市場價格，這與Xiong和Mamon（2018）[14]的研究結果一致.

在高狀態MRS模型的拓展中，并未使用lvy過程作為“跳躍”狀態構建MRS模型，這可能使得某些極端異常氣溫難以被模型擬合，未來可以構建常數指數時變波動率均值回復過程為基本狀態、lvy過程為“跳躍”狀態的MRS模型.

參考文獻

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