核心素養視角下的一道平行四邊形例題變式教學研究

周家杰

【摘要】本文結合八年級學生現階段所掌握的知識，對一道幾何習題進行變式探究.希望通過變式教學，培養學生在直觀想象和邏輯推理等方面的核心素養。

【關鍵詞】變式教學 核心素養

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）14-021-02

一、原題導入

（一）原題及出處

新人教版《數學》教材八年級（下）P46例題3：如圖，一ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F是AC上的兩點，并且AE=CF.求證：四邊形BFDE是平行四邊形。

（二）分析與解答

1.背景分析：本題是一道平行四邊形的性質與判定的典型綜合題，有多種證法，考察學生靈活運用知識解決問題的能力。

2.思路分析：通過AE=AF，證明OE=OF，最后利用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”進行證明。

3.解題過程：

4.考點分析：本題考察了平行四邊形的性質與判定。

二、變式探析

【變式1】

1.思路分析：

（2）根據全等三角形的性質得AE=CF，由AE上BD，CF⊥BD得AE∥CF，根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可證明。

2.解題過程：

3.考點分析：本題考查全等三角形與平行四邊形的性質和判定。

4.設計意圖：

在第（2）問中，平行四邊形的每一種判定都對應一種甚至多種證法，學生可在對比中找到較巧妙的證法。

【變式2】

如圖，一ABCD的對角線AC、BD交于點o，E、F分別是AO、CO的中點，連接BE、DE、DF、BF

（1）求證：四邊形EBFD是平行四邊形;

（2）求證：當AC=2BD時，四邊形EBFD是矩形。

1.思路分析：

（1）由平行四邊形的性質得OA=OC、OB=OD，因E、F為中點，得OE=OF，可證四邊形EBFD為平行四邊形。

（2）由條件得BD=EF，可證四邊形EBFD為矩形。

2.解題過程：

（1）證明：在口ABCD中OA=OC，OB=OD，

∵E、F分別是AO、CO的中點，∴OE=OF，

∴四邊形EBFD為平行四邊形;

（2）由（1）可知OE=1/2OA，OF=1/2OC，

∴OE+OF=1/2AC，即EF=1/2AC，

∴AC=2EF. ∵AC=2BE. ∴EF=BD

∵EBFD為平行四邊形，∴四邊形EBFD是矩形。

3.考點分析：本題主要考查平行四邊形的性質和判定及矩形的判定。

4.設計意圖：

點E、F特殊化為AO、CO的中點，加入矩形判定知識點，考察了學生的幾何直觀、邏輯推理等核心素養。

【變式3】

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F是對角線BD上的點，∠1=∠2.

求證： （1） BE=DF; （2） AF∥CE

1.思路分析：

（1）由平行四邊形的性質得∠5=∠3，∠AEB=∠4，再由全等三角形判定即可;

（2）由全等三角形的性質得出AE=CF，進而得出四邊形AECF是平行四邊形，即得AF∥CE.

2.解題過程：

證明： （1）在 ABCD中AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB∵∠1=∠2

∴∠AEB=∠CFD

∴△ABE≌△CDF （AAS），∴BE=DF;

（2）由（1）得△ABE≌△CDF

∴AE=CF，∵∠1=∠2，∴AE∥CF

∴四邊形AECF是平行四邊形∴AF∥CE.

3.考點分析：平行四邊形、平行線、全等三角形的性質與判定。

4.設計意圖：本題條件有別，但證明思路與原題類似。

【變式4】

在 ABCD中，點E、F分別從點A、C同時出發沿對角線運動，到達C、A后停止.它們的速度都為lcm/s，且在第3秒和第19秒時與B、D兩點構成正方形，求 ABCD的面積。

1.思路與方法分析：

通過外角性質表示∠DBC和∠ECB，通過角平分線的性質得：∠DBC=2∠PBC，∠BCE-2∠PCB，即可得∠A和∠P的關系.

2.解題過程：

解：如圖，當t=3s時，點E、F分別到達P、Q的位置，在正方形BPDQ中，BD上AC，OD=OB=OP=OQ，AP=CQ=3cm.當t=19s時，點E、F分別到達Q、P的位置，此時PQ=19-3=16cm

∴OD=OB=OP=OQ=8cm，

AO=OC-8+3=llcm.

∴SABCD=1/2AC. BD=1/2.22·16=176（cm2）.

3.考點分析：正方形的性質、菱形的面積公式。

4.設計意圖：本題點E、F變為動點，學生需要考慮第3秒和第19秒點E、F的位置，綜合運用正方形的性質和菱形的面積公式進行解題，培養了學生邏輯推理等核心素養。

三、變式小結

原題是一道經典的教材例習題，點E、F在對角線AC上與B、D構成平行四邊形，本文通過特殊化點E、F的位置，構成了矩形、菱形以、正方形等特殊平行四邊形，既綜合復習了平行四邊形、矩形、菱形及正方形的知識點，又提高了學生舉一反三的能力，培養發展了學生的數學素養。

【參考文獻】

[1]楊偉東，楊燕良活用教材，提升素養——以等腰直角三角形為載體的變式教學[J].中學數學，2020 （04）：3-4.

[2]李志平.基于核心素養的初中幾何題變式教學策略及課例賞析[J].中學數學，2020 （04）：24-26.