非慣性系下質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題的研究

趙亞運(yùn)，李方犁

(廣東理工學(xué)院，廣東 肇慶 526100)

1 引言

力學(xué)是物理開篇的重要章節(jié)，而牛頓第二定律的應(yīng)用是高中物理的核心內(nèi)容、重要考點(diǎn)，也是大學(xué)物理的基礎(chǔ)不可或缺[1]。但牛頓第二定律必須是在慣性參考系下才適用，所謂慣性參考系是指相對(duì)于慣性系靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系[2]，因此物理學(xué)中大部分的研究都是在慣性參考系下的問題。非慣性參考系是指相對(duì)于慣性系做變速直線運(yùn)動(dòng)或曲線運(yùn)動(dòng)的參考系，而在相對(duì)于慣性系做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的非慣性參考系（也是本文所指非慣性參考系）下的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題，作為大學(xué)物理力學(xué)篇的選學(xué)知識(shí)重難點(diǎn)，對(duì)于深入分析、理解動(dòng)力學(xué)具有很重要的意義。在大學(xué)物理教材中處理該類問題，一般是在引入慣性力后，再用牛頓第二定律就可解決。

在高中物理中我們知道慣性是物體自身的一種固有屬性[3]，其大小只與物理質(zhì)量有關(guān)，且質(zhì)量越大慣性越大，因此是沒有慣性力這么一種說法。但在大學(xué)物理的非慣性參考系的研究中，引入了一個(gè)虛擬的、不存在的“慣性力”，然后滿足牛頓第二定律，進(jìn)而處理相關(guān)問題。例1[4]：如圖1，一個(gè)在地面上水平向右做加速度為a0的直線運(yùn)動(dòng)的車廂中，有一質(zhì)量為m的物塊，在光滑的車廂中以a'的加速度向右直線運(yùn)動(dòng)，物體所受水平外力為F；非慣性參考系下，不能直接用牛頓第二定律，引入慣性力即物塊所受慣性力大小為ma0，方向與車廂加速度方向相反。然后用牛頓第二定律得合外力

圖1

例2：如圖2，A、B 兩物體質(zhì)量分別為 1m、m2，用一根不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩與定滑輪組合而成（忽略阻力），系統(tǒng)置于以加速度大小為a0向上運(yùn)動(dòng)的電梯內(nèi)，求繩子的拉力和物體的加速度。首先我們引入慣性力的常規(guī)解法，對(duì)A 在水平方向受力分析，對(duì)B 在豎直方向受力分析如圖3，根據(jù)牛頓第二定律有：而B 物體所受慣性力Fs=m2a0；其中F1與F2是一對(duì)作用力與反作用力大小相等有F1=F2，且作為輕質(zhì)細(xì)繩連接的A、B 物體沿繩方向加速度大小相等有a1=a2，帶入可求出繩子的拉力：物體的加速度為

圖2

圖3

上面兩個(gè)例題是我們處理非慣性參考系下質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題的常用辦法，但因?yàn)閼T性力和引入慣性力牛頓第二定律適用理解的困難和計(jì)算的復(fù)雜性，本文將結(jié)合經(jīng)典例題在對(duì)比引入慣性力和使用相對(duì)運(yùn)動(dòng)方法的基礎(chǔ)上，采用轉(zhuǎn)換替代法更加快捷簡單的處理非慣性系下的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題。

2 轉(zhuǎn)換替代法的介紹

我們將非慣性系下的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題分為兩類：第一類是純水平方向運(yùn)動(dòng)的（計(jì)算結(jié)果不含g）；第二類是含有豎直方向運(yùn)動(dòng)的（比如斜面上非慣性系下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)或定滑輪連接的兩物體在非慣性系下豎直方向的運(yùn)動(dòng)等，計(jì)算結(jié)果含有g(shù)）。

對(duì)于第一類問題往往是教材上對(duì)于慣性力的引入做鋪墊，在理解時(shí)我們可以用到相對(duì)運(yùn)動(dòng)里面的知識(shí)。相對(duì)運(yùn)動(dòng)中我們將質(zhì)點(diǎn)相對(duì)地球（慣性系）的運(yùn)動(dòng)成為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于非慣性系的運(yùn)動(dòng)稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)，而將非慣性系相對(duì)于地球的運(yùn)動(dòng)稱為牽連運(yùn)動(dòng)；對(duì)應(yīng)的位移分別稱為絕對(duì)位移相對(duì)位移和牽連位移且滿足關(guān)系式：將其對(duì)時(shí)間求二階導(dǎo)可得絕對(duì)加速度相對(duì)加速度和牽連加速度的關(guān)系式為：因此我們只需要將原來的非慣性系轉(zhuǎn)換成地球這個(gè)慣性系，然后求出絕對(duì)加速度即可用牛頓第二定律處理[5]。如上圖1 中的例題，絕對(duì)加速度大小為在慣性參考系下用牛頓第二定律課算出合外力F=m(a0+a')；如上圖2 中的例題，用相對(duì)運(yùn)動(dòng)法，設(shè)繩子拉力大小為F，B 物體向下的相對(duì)加速度為a，則絕對(duì)加速度為a-a0，牛頓第二定律可知：F=m1a；m2g-F=m2(a-a0)，計(jì)算出的結(jié)果與上述一致。

對(duì)于第二類含有豎直方向運(yùn)動(dòng)的問題，如圖4，在電梯內(nèi)放置一個(gè)質(zhì)量為m 的物體，電梯的加速度大小為a0，物體受到電梯豎直向上的支持力F 及自身的重力。當(dāng)a0=0，即電梯是靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)的慣性參考系時(shí)，F(xiàn)=mg；當(dāng)a0≠0，且方向豎直向上時(shí)，電梯是超重狀態(tài)的非慣性參考系，F(xiàn)=m(g+a0)，令g+a0=g1，則F=mg1；當(dāng)a0≠0，且方向豎直向下時(shí)，電梯是失重狀態(tài)的非慣性參考系，F(xiàn)=m(g-a0)，令g-a0=g2，則F=mg2。對(duì)比可知非慣性系下計(jì)算的結(jié)果與慣性系下的相比只是重力加速度改變了，超重狀態(tài)時(shí)，用g1替代g；失重狀態(tài)時(shí)，用g2替代g。

圖4

根據(jù)上面解題分析的特點(diǎn)，可將其命名為轉(zhuǎn)換替代法——將非慣性系轉(zhuǎn)換成慣性系計(jì)算完結(jié)果，最后將結(jié)果里面的重力加速度g 被折算后實(shí)際的重力加速度gh替代，其中g(shù)h=g±a0（a0是指非慣性系加速度的大小），gh中正負(fù)號(hào)由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定。當(dāng)非慣性系是超重狀態(tài)，即非慣性系向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，取正號(hào)；當(dāng)非慣性系是失重狀態(tài)，即非慣性系向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，取負(fù)號(hào)。

對(duì)于圖4 例題也可以用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的辦法處理，甚至可以作為理解相對(duì)運(yùn)動(dòng)或者引入慣性力方法的基礎(chǔ)。但在實(shí)際題目的應(yīng)用上其理解和計(jì)算依然復(fù)雜，而采用轉(zhuǎn)換替代法，我們可以將非慣性系轉(zhuǎn)換為我們熟練的慣性系，直接使用牛頓第二定律進(jìn)行計(jì)算，最后根據(jù)超重或失重狀態(tài)得到折算后的實(shí)際重力加速度gh將結(jié)果里的g 替代即可完成解答。轉(zhuǎn)換替代法可以避免引入慣性力和使用相對(duì)運(yùn)動(dòng)這兩種方法理解和計(jì)算的困難，快速準(zhǔn)確的處理非慣性系下的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題。上面的例2 可以作為一個(gè)快速驗(yàn)算、很好的證明，下面將結(jié)合兩個(gè)典型題目用不同方法來驗(yàn)證它的便捷性和準(zhǔn)確性。

3 轉(zhuǎn)換替代法的應(yīng)用

例題3：一個(gè)向下做加速度為g/3 的電梯內(nèi)裝有一輕質(zhì)光滑的滑輪，質(zhì)量分別為3m 和m 的A、B 兩物體通過一根輕且不可伸長的細(xì)繩跨過定滑輪兩邊，如圖5，求物體的加速度和細(xì)繩的拉力。

圖5

解法1—用常規(guī)引用慣性力的解法：設(shè)加速度為a，拉力為F，A 受到的慣性力大小B 受到的慣性力由牛頓第二定律：

解法2—轉(zhuǎn)換替代法：計(jì)算慣性參考系下的加速度和細(xì)繩的拉力，直接用牛頓第二定律課快速計(jì)算出此時(shí)加速度a'=g/2，F(xiàn)'=2mg/3；電梯處于失重狀態(tài)，故折算后實(shí)際的重力加速度gh=g-g/3=2g/3，將gh替換掉計(jì)算結(jié)果里面的g，可得：與上面方法計(jì)算完全一致。

例題4：升降機(jī)內(nèi)有一光滑斜面，固定在底板上，斜面傾角為θ.當(dāng)升降機(jī)以勻加速度1a豎直上升時(shí)，質(zhì)量為m 的物體從斜面頂端沿斜面開始下滑，如圖6 所示.已知斜面長為l，求物體對(duì)斜面的壓力，物體從斜面頂點(diǎn)滑到底部所需的時(shí)間.

圖6

解法1—相對(duì)運(yùn)動(dòng)法：如圖5 建立二維直角坐標(biāo)系，設(shè)物體相對(duì)于斜面向下的加速度為a2，則其絕得加速度受力分析后用牛頓第二定律有：解出方程得物體沿斜面向下作勻變速直線運(yùn)動(dòng)，所以

解法2—轉(zhuǎn)換替代法：在升降機(jī)靜止的慣性參考下，斜面上物體沿斜面向下的加速度a=gsinθ，則物體從斜面頂點(diǎn)滑到底部所需的時(shí)間升降處于超重狀態(tài)，故折算后實(shí)際的重力加速度gh=g+a1，將gh替換掉計(jì)算結(jié)果里面的g，可得：與上面計(jì)算結(jié)果完全一致。此處用引入慣性力的方法處理的結(jié)果也是一樣，由于上面已經(jīng)兩次用到該方法計(jì)算，因此便沒有展示該方法計(jì)算過程。

4 結(jié)論

在處理非慣性系下質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題上，本文通過純水平方向非慣性系下運(yùn)動(dòng)的問題介紹了慣性力和其基本使用方法，并引出了另一種處理該問題的相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析法；在這兩種常見處理非慣性系下質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題方法的學(xué)習(xí)總結(jié)基礎(chǔ)上，對(duì)于含豎直方向運(yùn)動(dòng)的常見類型問題，創(chuàng)建一種轉(zhuǎn)換替代法；即將非慣性系轉(zhuǎn)換為常見慣性系下解出結(jié)果，然后讓結(jié)果中的重力加速度g 被折算后實(shí)際的重力加速度gh替代即為最終結(jié)果。其中g(shù)h=g±a0（a0是指非慣性系加速度的大小），超重狀態(tài)取正號(hào)，失重狀態(tài)取負(fù)號(hào)。結(jié)合經(jīng)典例題舉例，采用不同方法對(duì)比，可知轉(zhuǎn)換替代法在分析和解答中有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，能優(yōu)化學(xué)生對(duì)該問題的理解和簡化計(jì)算過程，甚至為教師教學(xué)提供一定的參考。