淺談微積分思想在中學物理的應用

魏榮榮

(江蘇省南京市溧水區第二高級中學，江蘇 南京 211299)

1 引言

隨著高考制度的改革，新課程標準的實施，物理核心素養的提出，高中物理從教學目標到教學內容、教學方法有了新的調整，考察物理方法和思維能力都是近年來高考命題的趨勢。近年來微積分思想在物理高考中越來越受到重視，且在高中物理教學中逐漸滲透[1]。首先微積分以其特有的嚴密性為各個領域提供了精密的理論分析和科學的量化論證方法，其次微積分用“定量”分析方法來解決以“變量”為研究對象的復雜問題；同時為大學課程中的微積分奠定了基礎。早在《莊子天下篇》曾有簡單明了的描述：一尺之棰，日取其半，萬世不竭，這也就體現了微積分的基本思想和方法。

微積分有助于理解高中的很多物理知識難點，能夠培養學生的知識遷移應用的能力，使用微積分思想進行分析問題既可以加強學生對物理概念的認識，也可以加深學生對微積分的理解。例如：利用微積分思想解決變力做功問題[2]、均勻帶電圓環有關的電勢計算[3]、求解物體運動[4]等。如下我們使用微積分方法分析高中物理教學中的三個問題點，可以加深、加固學生對微積分在物理問題中應用的理解和運用。

注重大學物理與高中物理的銜接。大學物理對于學生學習其他課程有很大的幫助，在知識的廣度和深度上，大學物理與高中物理相比都大有不同，高中物理會幫助我們簡單了解大學物理，數學思想又會幫助我們理解高中物理，因此高等院校與高中應該做好物理知識和物理方法教學的銜接。

2 微積分思想解決保守力做功問題

高中物理人教版必修2 第七章第4 節“重力勢能”本節內容中，在探討重力這個保守力做功的特點時，小球沿豎直運動，然后再沿斜線運動再到一般的曲線運動（如圖1 所示）的遞推過程中，未通過分析小球從初位置到末位置的位移L，結合功的表達式W=Flcosα來計算功的大小。而采用了微積分思想來分析此問題。課本為什么會這樣處理呢？在最初的教學中，筆者認為這樣處理保守力做功未免太多此一舉，于是每次都是這樣講解的：從豎直運動到斜線運動再到曲線運動，無論哪條路徑其位移都是始末位置的有向線段，結合恒力做功表達式W=GLcosα（其中α為位移L與重力G 的夾角），然后將Lcosα看作整體（可以理解為Lcosα這個整體才是功的第二大要素在力的方向上的位移H），我們不難發現就是物體下落的高度H，因此重力做功與物體運動路徑無關，只與始末位置的高度差有關系，學生聽起來也很容易，但是隨著教學經驗的不斷積累，筆者慢慢發現課本這樣設置是有它的目的性的。其目的就是加強高中生對微積分思想的理解及應用，以應對未來出現的更復雜的物理問題。長遠角度看就是為了做好與大學知識的銜接，為由特殊的實例或局限性問題過渡到一般的微積分應用情景做好預設，搭好臺階。

圖1

在人教版選修3-1 第一章第4 節“電勢差與電勢”的內容中，在探討靜電力這個保守力做功的特點時，課本上先以勻強電場為例得出電場力做功與路徑無關，只與始末位置有關系。然而對于非勻強電場課本中僅用“這一結論對于非勻強電場（如圖2 所示）也適用”這一句話來表述。為了能夠讓學生通過實例來理解和加深微積分思想的應用，在這里也采用微分法證明該結論，具體推導如下：

圖2

將帶電體運動軌跡AB 進行無限分割，每一段曲線位移可以看作微小的傾斜位移dx（微積分使得化曲為直），位移方向為曲線的切線方向，由于位移極短，可以將變化的磁場比作勻強磁場，磁場方向為圖中的電場線方向，設dx位移內，磁場強度為E1，E1與dx方向的夾角設為α，則：

其中，(1)式中dxcosα為dx正交分解后沿電場線方向的位移，U1為dx這段位移的電勢差。

根據功的標量性，現將帶電體在電場中運動的所有微小位移dx內做過的功代數和即為電場力做的總功，如(2)式：

有上述推導(2)可以得出，由于每一段微小位移dx都是連續的，所以電勢差也是連續的，因此總功就是電荷與總電勢差之乘。

3 微積分思想解決兩種表達形式的安培定則的統一性

高中物理教材人教版選修3-1 第三章第3 節“幾種常見的磁場”本節內容中，對電流產生的磁場方向根據場景可以分為如下兩種：

1、對于直線電流：安培定則（一）右手握住通電直導線，讓大拇指指向直導線中電流方向，那么四指指向就是通電導線周圍磁場的方向；

2、對于環形電流：安培定則（二）讓右手彎曲的四指與環形電流的方向一致，伸直的拇指就是環形導線軸線上磁感線的方向。

以上兩種表述方式是高中物理知識的一個難點，學生學習時容易混淆。在最初的教學中，筆者認為安培定則的兩種表述形式是相互獨立的，一個應用于直線導線，一個應用曲線導線，這樣的教學顯然給學生帶來麻煩，學生需要記憶兩個安培定則。隨著教學的不斷深入，才意識到其實兩個安培定則是相通的，曲線是直線情景的“和”，直線是曲線的“分”。若在教學中教師能夠重視微積分思想的應用，那么在這里不難發現：將環形導線（如圖3所示）無限分割后便成為極短的通電直導線，任意選取一小段直導線，例如選用水平方向ΔL1和豎直方向ΔL2為研究對象，應用直導線的安培定則（一）進行分析可知環形導線的任意一小段直導線的磁場方向均為：在環形導線的外側磁場方向垂直紙面向里，其內部的磁場方向則是垂直紙面向外；然后由圖3我們根據安培定則（二）進行分析發現兩者分析結果是一致的。可見，只有對微積分思想理解的深一些，才能盡量幫助學生理解物理中的難點和易混淆點。

圖3

4 微積分思想來解決平均速度與速度平均值的疑惑

在學習高中物理人教版必修1 第一章第3 節的平均速度時，經常會遇到如下類似的題目：短跑運動員在100 米比賽中，以8m/s 的速度迅速從起點沖出，到50m 處的速度為9m/s，10s 末到達終點時的速度為10.3m/s，則運動員在全程中平均速度是（）.

A.9m/s B.10.3m/s C.10m/s D.9.1m/s

那么平均速度的大小與速度的平均值有沒有關聯呢？下面我們通過微積分方法來分析兩者的區別：

將物體運動過程所用的時間無限分割為n個均等的dt時間，則根據向量可知，平均速度為：

由（3）式可知：

1、當物體作直線運動時，即各個dt時間內的速度方向或者同向，或者反向，因此可將速度的方向轉換成正負速度值，將n個dt時間內的正負速度值取平均值。即：

在直線運動過程中，平均速度是所有時刻瞬時速度的平均值，而非幾個時刻瞬時速度的平均值。

2、當物體作曲線運動時，由于(3)式中各個瞬時速度為矢量，此時需要通過平行四邊形定則將各瞬時速度疊加為合速度，此方法在理論上太繁雜了，因此物體作曲線運動時分析平均速度不用該方法。基于此理論，對于圖4 情景的v-t圖像，比較它們的平均速度大小時，我們不難發現除去初、末時刻兩點三者的速度相同以外，其他任意時刻的瞬時速度vA>vB>vC，由此可以快速得出：A 質點的平均速度最大，C 質點的平均速度最小。

圖4

5 結束語

微積分思想能開拓解決物理問題的思路，能夠將變化、復雜的物理過程簡化為不變的多個物理過程，這樣，不僅能夠加強學生對物理概念的認識，同時也能加深學生對微積分思想的理解，提升了學生的物理思維和數學思維。