數學物理方法課程中歐拉方程的教學處理*

鄭勇

(黔南民族師范學院物理與電子科學學院，貴州 都勻 558000)

1 引言

數學物理方程作為本科物理專業必修課，整體教學難度較大，對這門課程的探索與改革一直都是一個持續的話題，也有很多這方面的研究[1,2]。這門課程一個很重要的任務就是教授一些物理學中重要的偏微分方程求解方法，這也是課程難度最大的地方；講授這門課程時，對教學內容進行適當的處理，為一些繁難的知識尋求一些簡潔的講授方法，都是十分必要的，對學生學習量子力學等后續課程也有幫助[3]。課程在求解偏微分方程時常常采用分離變量法，通過對偏微分方程進行分離變量，將偏微分方程問題轉化成常微分方程問題進行求解。在分離變量出來的常微分方程中，頻繁遇到的一類就是歐拉方程[4,5]。教學中我們發現，由于這類微分方程會反復出現，課程不少難度成分是由求解它們導致的。

一般來講，在學習數學物理方法之前，學生已經學過了高等數學等先行數學課程。然而，從教材編排角度看，目前國內諸多主流高等數學教材對歐拉方程這類非常重要的微分方程的討論卻較為薄弱，要么略去不講，要么比較簡略或將其列為選學內容[6,7]。因此進行數學物理方法教學時，就學生已有的數學知識來看，很多時候都需要我們將歐拉方程的求解視為新課內容進行教學。雖然如此，一般數學物理方法教材對這類方程給出的求解過程卻往往較為復雜，通常做法都是通過變量代換將其化為常系數微分方程進行求解，在教學中較為繁瑣。事實上，在碰到這類微分方程時，找到一種恰當的教學處理方式進行求解及討論，無疑會在教學中帶來極大的方便。本文將對這個問題進行探索，力求提出簡單可行的教學處理方式。

2 課堂教學中歐拉方程常見情況教學處理

首先我們注意到，數學物理方程教學中遇到的歐拉型微分方程往往都是齊次的，都可以用一種比較簡單的方法寫出特解。事實上，在教學中筆者常常把歐拉方程稱作“同冪型”微分方程，因為總可以將方程的特解取為冪次函數型。以常見的二階齊次形式方程x2f''+axf'+bf=0（a，b為常數）為例，通過觀察很容易引導學生發現：方程等號左邊其實是x2f''、xf'、f三者的一個組合，最終為0，說明三者加起來最終要能夠完全抵消。最簡單的，若認為三者具有相同的函數形式，顯然常見的xβ形式的冪次函數滿足這個要求，因為對f=xβ而言，的確是“同冪次”的。如果取冪次型特解帶入方程，原則上可以定出滿足要求的β和特解。這與求解諸如等常系數微分方程時將指數型特解帶入求解的情形十分相似。因此，在大多數情況，尋找歐拉型微分方程x2f''+axf'+bf=0的特解一種較為簡便的處理就是以冪次函數形式帶入方程進行試探。

雖然如此，在具體教學過程中仍有許多需要注意的地方，比如，數學物理方法課程中常常還會遇到方程中b=0的情況。下面我們以課程中平時遇到的具體問題為例來進行闡述。

2.1 拉普拉斯方程在柱坐標下或極坐標下分離變量時出現的歐拉方程的教學處理

拉普拉斯方程在柱坐標下或極坐標下分離變量得到的徑向部分方程[4]：ρ2R''+ρR'+n2R=0，其中n=1,2,3,4,…….這個方程顯然是一個齊次歐拉方程。

由于這個方程只是分離變量時出來的常微分方程中的一個，在課堂教學中若采用一般教材中給出的求解思路，即通過作函數代換轉化為常系數微分方程求解的話，會占據較大的講授篇幅，而且會使整個求解過程顯得十分繁冗復雜。于是我們可以采用如下教學處理方式。

當n≠0時，只需令R=ρβ，可得β=±n，這樣求得兩個特解，于是：R(ρ)=Cρn+Dρ-n（C，D為任意函數），需要注意的是n=0的情況，簡單地令R=ρβ此時并不能得到兩個線性無關特解。事實上，此時方程實際上是

這種情況即前面所說的b=0情況。只需令R'=ρβ，可得β=-1，可取R'=Cρ-1，于是這種情況的解可以寫為：（C，D為任意函數）。顯然，整個求解過程比一般教材上給出的表述簡單的多，可以極大地降低學生理解難度。

2.2 拉普拉斯方程在球坐標下分離變量時出現的歐拉方程的教學處理

拉普拉斯方程在球坐標下進行求解時，通過引入一個形如l(l+)1的參數分離變量后得到的徑向部分方程為[4]：

這個方程也是歐拉型常微分方程，采用冪次型函數帶入方程求特解的方式很容易求解。只需令R=rβ，帶入方程即可求得β1=l，β2=-(l+1)，這樣求得兩個特解，于是：R(r)=Crl+Dr-(l+1)（C，D為任意函數）。值得注意的是，在這個問題中，為什么分離變量時引入的常數選為l(l+)1的形式也是初學者常常覺得疑惑的一個地方。這個問題現行的教材中幾乎都不作說明，特別容易讓學生困惑，但是這個問題仍是很重要的，因為這個常數在量子力學介紹氫原子理論時對應角動量平方算符的本征值。

在教學中，上面的簡潔求解過程為我們理解這個問題提供了很好的切入點，使我們可以用一種簡單的方式給學生講清楚這個問題。事實上，我們完全可以把引入的常數記為λ，方程即為：

可以簡單看出λ具有l(l+1)的形式。因為將特解形式R=rβ帶入方程后可得：β2+β-λ=0.根據一元二次方程韋達定理，兩根β1，β2滿足：β1+β2=1，β1β2=-λ，故λ=-β1β2=-(1-β2)β2=(β2-1)β2，即具有l(l+1)的形式，其中l=β2-1。

3 歐拉方程在非齊次情況的教學處理

雖然就課程中出現的歐拉方程而言，上述的教學處理已經足夠了；但是教學中難免需要補充與推廣，因此我們這里也討論一下形式更為一般的歐拉方程的處理，比如非齊次情形的處理。事實上，學生掌握了齊次情況求解后，只需要借助一些高等數學教材[6-8]中常常都有介紹的常數變易法，即可討論非齊次情況，只是步驟稍多。對非齊次或形式更為一般的歐拉方程，我們仍希望能夠找到的更好的處理方式。我們注意到人們對歐拉方程以及與之相關的方程的研究較為廣泛[9-11]，也提出了一些新的求解方法。但是直接把這些求解方法用于課堂教學，學生接受起來還是不易的。我們希望在這里對一般形式的歐拉方程也給出一種適合課堂教學的簡潔處理方式，以供需要對課程內容進行拓展時采用。我們重點以二階歐拉方程一般形式為例，更高階情況可類似推廣。

注意到方程x2f''+axf'+bf=g(x)即：因此可以改寫成下面“因式分解”的形式：

其中r1，r2為兩個常數。容易看出r1，r2是方程r2+(a-1)r+b=0的兩根，因為將（3）式與原方程比較，r1+r1=a-1，r1+r1=a-1。這樣，我們可令：注意到可能存在(a-1)2-4b＜0的情況，我們需要把r1，r2視為復數。先暫時將（3）式左邊中用h(x)表示，即：

于是可將(1)式寫為下面的形式：

只需兩邊同乘xr1-1，這個一階常微分方程可以直接解出：再帶入到（4）式，我們得到：只需兩邊同乘xr2-1，從這個一階常微分方程就可直接解出原方程通解：

這種用“因式分解”思路引導學生逐步求解的過程非常方便學生理解。顯然，這種做法可以直接推廣至三階及更高階一般形式的歐拉方程，形如xnf(n)+…+axf'+bf=g(x)之類的方程，只需將其改寫成下面“因式分解”形式：只是高階時確定因式分解常數r1，2r，……的代數方程是高次方程而已，這一點可以對照二階時情況容易看出；然后再一步步求解即可。如果需要在數學物理方法課程中補充一般形式的歐拉方程的求解時，我們建議仍然以二階情況為重點討論，然后直接推廣至三階以上即可。

4 結論

綜上，我們對如何在數學物理方程課程教學中恰當處理遇到的歐拉方程問題進行探索，介紹了具體的教學處理方式，給出了一些具體的細節上的建議。相對于一般教材對該類方程給出的求解方法而言，這些處理方式無疑具有簡潔明了的特點，對降低這門課程的難度，幫助學生掌握相關知識內容具有積極意義。

我們認為，在教學中選取恰當的策略是十分必要的。在處理課程中歐拉方程這個問題上，對出現最多的齊次情況采用冪函數帶入求特解的方式簡潔明了，便于學生熟練掌握，有利于教學節奏的掌控與推進；而對一般非齊次歐拉方程，其實在教學中極少遇到，我們介紹的“因式分解”策略可以作為教學內容的拓展介紹給學生自學。雖然我們以數學物理方法課程為例介紹對這類方程的處理，但是對涉及這些方程的其他專業課教學顯然也有幫助。