基于有限元功率流法的輪軌系統(tǒng)能量分布特性研究

周昌盛，周華龍，楊文茂，王 平

(1.中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司地下鐵道設(shè)計研究院，成都 610031； 2.西南交通大學(xué)高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，成都 610031)

伴隨著我國軌道交通的發(fā)展，其產(chǎn)生的振動噪聲逐漸影響著沿線居民的生產(chǎn)生活。進(jìn)入21世紀(jì)以來，軌道交通振動噪聲污染已成為人們需要重點解決的污染之一。在評價振動特性方面，軌道交通領(lǐng)域中一直采用傳統(tǒng)的單因素評價指標(biāo)(力、加速度、速度、位移)。大量研究表明，振動是以能量的形式在輪軌系統(tǒng)中傳遞，現(xiàn)有的評價指標(biāo)具有一定的局限性。

功率流作為一種結(jié)合了力與速度兩種變量的評價指標(biāo)，可以從能量的角度評價結(jié)構(gòu)振動特性，在機(jī)械、航空與船舶等專業(yè)中廣泛應(yīng)用。Goyder和White[1]提出功率流概念，并研究了無限梁和板中的功率流；Park[2]利用功率流方法研究了小阻尼系統(tǒng)高頻的振動特性；楊波[3]和沈榮瀛[4]用傳遞導(dǎo)納方法對復(fù)雜雙層隔振系統(tǒng)進(jìn)行了研究；周保國[5]、吳廣明[6]用導(dǎo)納方法對功率流在浮筏系統(tǒng)中的傳遞作出了解釋；伍先俊[7]對振動功率流的計算方法進(jìn)行了研究。此外，國內(nèi)外學(xué)者也嘗試將功率流方法運(yùn)用于軌道交通的振動特性研究中。MFM Hussien[8]結(jié)合建立的地下隧道內(nèi)浮置板模型，用平均功率流評價了減振措施的有效性；劉維寧[9]等基于功率流法對梯形軌枕軌道結(jié)構(gòu)的減振性能進(jìn)行了研究；谷愛軍[10]采用導(dǎo)納形式的功率流，建立了浮置板軌道的振動能量傳遞分析模型，并推導(dǎo)了輸入基礎(chǔ)的功率流表達(dá)式，探討了軌道參數(shù)對于減振效果的敏感性；陳敏敏[11]利用有限元功率流方法研究了橋梁-承軌臺軌道結(jié)構(gòu)的振動特性，并分析了扣件剛度及阻尼變化對鋼軌和承軌臺輸入總功率流的影響；劉鵬輝[12]從振動功率流的角度，建立了軌下-枕下-道砟下墊層及鋼軌-浮置板-基礎(chǔ)的功率流傳遞模型，討論了軌道結(jié)構(gòu)中關(guān)鍵參數(shù)對軌道結(jié)構(gòu)功率流的影響。盡管功率流法已在軌道交通中應(yīng)用，并取得一定的研究成果。然而，上述研究存在以下不足：(1)以上文獻(xiàn)只是單純進(jìn)行了諧響應(yīng)分析，并未考慮實際不平順作用下的隨機(jī)振動特性；(2)未綜合比較加速度、功率流兩種指標(biāo)在評價振動上的差異性；(3)只研究能量在軌道結(jié)構(gòu)中的傳遞特性，而沒有結(jié)合車輛子系統(tǒng)研究能量在輪軌耦合系統(tǒng)內(nèi)的傳遞及分布規(guī)律。

鑒于研究中存在的不足，結(jié)合輪軌動力學(xué)模型與有限元功率流方法，推導(dǎo)了不平順激勵下輸入輪軌系統(tǒng)、車輛子系統(tǒng)(包括各子結(jié)構(gòu))、軌道子系統(tǒng)的功率流計算公式；計算分析了不平順激勵下能量在輪軌系統(tǒng)中的分布規(guī)律，并分別以加速度、功率流為評價指標(biāo)，比較分析了振動在車輛子系統(tǒng)內(nèi)的傳遞及損失規(guī)律。

1 功率流方法介紹

1.1 功率流理論介紹

功率流是將物理學(xué)中的功率概念應(yīng)用于振動分析領(lǐng)域，其包含力和速度兩個參量，能夠直觀反映能量的分布及傳遞規(guī)律。輸入結(jié)構(gòu)的功率的基本表達(dá)式如下

P=F(t)·V(t)

(1)

式中，F(xiàn)(t)為作用于結(jié)構(gòu)某點處的外力，而V(t)為該點處對F(t)所產(chǎn)生的速度響應(yīng)，均是時間的函數(shù)。

對于振動分析來說，平均功率可反映振動的強(qiáng)度，因為在一段時間內(nèi)的平均功率，比某一時刻的瞬時功率更能反映外部激勵注入結(jié)構(gòu)的能量強(qiáng)度，這樣就把按時間平均的功率定義為振動功率流，即

(2)

1.2 有限元功率流法

應(yīng)用于振動分析領(lǐng)域的功率流方法有多種，包括有限元功率流法、導(dǎo)納功率流法、波動功率流法及試驗功率流法等，各種方法有不同的特點。有限元功率流法是指應(yīng)用有限元軟件計算出各點的應(yīng)力、速度等響應(yīng)，根據(jù)功率流與力、速度之間的簡單關(guān)系，研究結(jié)構(gòu)功率流動的方法。該方法的優(yōu)點是理論簡單，只需要通過計算模型或軟件計算出的力、速度響應(yīng)進(jìn)行后處理分析，即可得到流動到各結(jié)構(gòu)中的功率。隨著一些大型計算軟件的推廣應(yīng)用，有限元功率流法也得到發(fā)展應(yīng)用。

鑒于工程中多以有限單元法將鋼軌進(jìn)行離散，并進(jìn)而求解輪軌耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)。因此，擬將有限元功率流法運(yùn)用于輪軌系統(tǒng)動力學(xué)的研究當(dāng)中，以功率流為評價指標(biāo)，從能量的角度分析振動在輪軌系統(tǒng)中的傳遞及分布規(guī)律。

2 輪軌系統(tǒng)動力學(xué)模型及功率流理論推導(dǎo)

本章將有限元功率流的思想與傳統(tǒng)的輪軌系統(tǒng)動力學(xué)理論相結(jié)合，推導(dǎo)出輸入輪軌系統(tǒng)、車輛子系統(tǒng)(包括各子結(jié)構(gòu))、軌道子系統(tǒng)功率流的計算公式。

2.1 輪軌系統(tǒng)動力學(xué)模型

(1)模型簡介

首先運(yùn)用哈密爾頓原理與車輛-軌道耦合動力學(xué)理論，建立了高速列車-軌道垂向耦合動力學(xué)模型，用以模擬高速列車-軌道系統(tǒng)垂向受力運(yùn)動情況[13-15]。模型中車輛子系統(tǒng)由多剛體結(jié)構(gòu)模擬，考慮車體與轉(zhuǎn)向架的沉浮、點頭運(yùn)動，以及車輪的沉浮運(yùn)動；鑒于目前高鐵中主推CRTSⅢ型板式無砟軌道，軌道彈性幾乎由扣件系統(tǒng)提供，因此軌道系統(tǒng)采用單層離散點支承模型，并利用有限單元法對其進(jìn)行離散，模型如圖1所示。

圖1 全車-單層彈性點支承軌道平面模型

(2)系統(tǒng)垂向振動方程組的建立及求解

基于哈密爾頓原理，根據(jù)系統(tǒng)的總動能、總勢能及相應(yīng)的虛功，結(jié)合計算機(jī)中的對號入座法則[16]，可以很方便地建立車輛-軌道系統(tǒng)振動方程組

(3)

模型建立后，首先采用Wilson-θ法起步運(yùn)算，然后再采用Park法求解振動方程組，其中Δt=1 ms，θ=1.4。

2.2 功率流計算公式推導(dǎo)

(1)輪軌系統(tǒng)內(nèi)各子系統(tǒng)的輸入功率流

輪軌系統(tǒng)中，車輛與軌道為多點接觸，對于車輛子系統(tǒng)和軌道子系統(tǒng)而言都是多點激勵。輸入車輛子系統(tǒng)、軌道子系統(tǒng)的功率流Pc及Pg見式(4)、式(5)。

Pc=[F][Vl]

(4)

Pg=[F][Vg]

(5)

其中

[F]=[F11…F1m…Fn1…Fnm]

[Vl]=[V11…V1m…Vn1…Vnm]T

[Vg]=[Vg11…Vg1m…〗Vgn1…Vgnm]T

上述表達(dá)式中，F(xiàn)nm為作用在第n節(jié)車第m個輪對的輪軌力；Vnm為第n節(jié)車第m個輪對的垂向振動速度；Vgnm為第n節(jié)車第m個輪對接觸點處鋼軌的垂向振動速度。

輸入輪軌系統(tǒng)的功率流為Pc與Pg之和。

(2)車輛子系統(tǒng)內(nèi)各子結(jié)構(gòu)的輸入功率流

輸入輪對的功率流即輸入車輛子系統(tǒng)的功率流；

輸入轉(zhuǎn)向架的功率流為

PZ=[F1][Vz]

(6)

[F1]=[Fz11…Fz1m…Fzn1…Fznm]

[Vz]=[Vz11…Vz1m…Vzn1…Vznm]

輸入車體的功率流為

PB=[F2][Vb]

(7)

[F2]=[Fb11…Fb1l…Fbn1…Fbnl]

[Vb]=[Vb11…Vb1l…Vbn1…Vbnl]

式中，F(xiàn)znm為第n節(jié)車第m個輪對傳遞至轉(zhuǎn)向架的力；Vznm為Fznm作用點處對應(yīng)的轉(zhuǎn)向架的垂向振動速度(考慮點頭作用)；Fbnl為第n節(jié)車第l個轉(zhuǎn)向架傳遞至車體的力；Vbnl為Fbnl作用點處對應(yīng)的車體的垂向振動速度(考慮點頭作用)。

3 計算參數(shù)及功率流的時頻轉(zhuǎn)換

3.1 功率流信號的后處理

利用車輛-軌道耦合動力學(xué)模型可以計算得到輪軌系統(tǒng)內(nèi)各結(jié)構(gòu)的力、速度信號，進(jìn)而統(tǒng)計得到輸入各子系統(tǒng)(子結(jié)構(gòu))的功率流時域信號。然而，研究表明，經(jīng)時間平均的功率流更能反映振動的強(qiáng)度[17]。因此，可通過時頻轉(zhuǎn)換得出功率流在頻域內(nèi)的大小與分布，具體流程見圖2。另外，為直觀展示，引入功率電平的概念并采用1/3倍頻程的展示方法。

圖2 功率流分析流程示意

功率電平是通過計量的功率值與功率為1 mW的零電平功率比較所確定的相對大小值，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下

Pm=10·lg(P/1) dBm

(8)

式中，Pm為功率電平；P為需要計量的絕對功率值，mW；1表示零電平功率為1 mW；dBm表示以1 mW為基準(zhǔn)的功率電平分貝值。

3.2 計算參數(shù)

計算過程中，車輛采用CRH3型高速列車，其參數(shù)見表1[18]，行車速度取350 km/h；不平順激勵采用中國高速軌道譜(波長取0.1～200 m)，不平順時域樣本如圖3所示；軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2。

表1 CRH3型高速列車垂向模型參數(shù)

圖3 高低不平順時域樣本

>表2 軌道模型參數(shù)

4 輪軌系統(tǒng)內(nèi)能量分布及傳遞特性分析

以功率流為指標(biāo)，通過計算并給出車輛子系統(tǒng)、軌道子系統(tǒng)及輪軌系統(tǒng)總輸入功率流的大小與分布，進(jìn)而研究隨機(jī)振動過程中能量在輪軌系統(tǒng)中的分布規(guī)律。另外，分別以加速度及功率流為評價指標(biāo)，通過計算給出車輛子系統(tǒng)內(nèi)各子結(jié)構(gòu)的加速度及輸入功率流大小與分布，進(jìn)而分析振動的傳遞規(guī)律[19-20]。

4.1 輪軌系統(tǒng)內(nèi)功率流分布特性研究

各子系統(tǒng)輸入功率流的大小及分布如圖4所示。

圖4 輸入各子系統(tǒng)功率流1/3倍頻分布

從圖4可見，車輛子系統(tǒng)的輸入功率流在0～8 Hz及高于200 Hz的頻段內(nèi)較小，而在8～200 Hz頻段范圍內(nèi)取值較大，且在中心頻率為63 Hz的頻段內(nèi)有最大功率電平131.3 dBm；軌道系統(tǒng)的輸入功率流在0～40 Hz頻段內(nèi)較小，在高于40 Hz的頻段范圍內(nèi)較大，且在中心頻率為630 Hz的頻段內(nèi)有最大功率電平136.9 dBm。

另外，比較各曲線可以發(fā)現(xiàn)：輪軌系統(tǒng)的輸入功率曲線與車輛子系統(tǒng)的輸入功率曲線在低頻階段幾乎重疊，輪軌系統(tǒng)的輸入功率曲線在高頻階段與軌道系統(tǒng)的輸入功率曲線重疊；中心頻率在63 Hz以下時，車輛子系統(tǒng)輸入功率曲線高于軌道系統(tǒng)的輸入功率曲線，當(dāng)中心頻率高于63 Hz時，則反之。因此，列車運(yùn)行時產(chǎn)生的低頻能量主要輸入到車輛子系統(tǒng)中，從而引起車輛子系統(tǒng)的低頻響應(yīng)；高頻能量主要傳遞至軌道系統(tǒng)，引起軌道結(jié)構(gòu)的高頻振動。

4.2 輪軌系統(tǒng)內(nèi)功率流傳遞關(guān)系研究

分別以加速度及功率流為評價指標(biāo)，分析振動在車輛子系統(tǒng)內(nèi)的傳遞規(guī)律，并比較兩種評價指標(biāo)的異同。

(1)加速度指標(biāo)

圖5為隨機(jī)振動過程中，車輛子系統(tǒng)內(nèi)的車體、轉(zhuǎn)向架、輪對的豎向加速度振級。圖6為轉(zhuǎn)向架與車體的振動加速度衰減幅度。

圖5 1/3倍頻未計權(quán)的車體、轉(zhuǎn)向架、輪對豎向振動加速度級

圖6 輪對-轉(zhuǎn)向架-車體振動加速度衰減幅度

由圖5可知，輪對(轉(zhuǎn)向架、車體)垂向振動加速度在中心頻率為63 Hz(63，16 Hz)頻段內(nèi)出現(xiàn)極值，為128.5 dB(105.2，63.3 dB)。輪對加速度在高于16 Hz頻率范圍內(nèi)較大，轉(zhuǎn)向架振動加速度主要分布在16～80 Hz，而車體振動加速度主要分布在20 Hz以下的低頻范圍。輪軌相互作用過程中，2 Hz以上各頻帶范圍內(nèi)，車輛子系統(tǒng)內(nèi)各部件的振動強(qiáng)度自下而上發(fā)生顯著的衰減。2 Hz以下各頻帶范圍內(nèi)，出現(xiàn)車體加速度大于轉(zhuǎn)向架、輪對加速度的情況，其原因是加速度經(jīng)過一系、二系懸掛時，加速度主頻會向低頻小幅偏移，而2 Hz以下范圍內(nèi)各頻帶帶寬較小，最終導(dǎo)致車體加速度在該頻帶內(nèi)有效值顯著增大。

由圖6可知，經(jīng)一系懸掛的減振，轉(zhuǎn)向架的振動強(qiáng)度在16 Hz以上的中高頻發(fā)生明顯減弱，最高的在1 000 Hz附近衰減74.3 dB，而在16 Hz以下的低頻部分變化不大；經(jīng)二系懸掛的減振，車體的振動強(qiáng)度在全頻范圍內(nèi)降低，最高的在160 Hz頻段衰減81.7 dB。

(2)功率流指標(biāo)

以功率流為評價指標(biāo)研究振動的傳遞特性，計算并得出的傳遞至車輛子系統(tǒng)內(nèi)各部件功率流的大小如圖7所示。統(tǒng)計的車輛子系統(tǒng)輸入功率流在流經(jīng)一系、二系懸掛時各頻段的損耗幅度如圖8所示。

圖7 車體、轉(zhuǎn)向架、輪對的輸入功率流

圖8 輪對-轉(zhuǎn)向架-車體振動功率流衰減幅度

由圖7可知，輪對(轉(zhuǎn)向架、車體)的輸入功率流在中心頻率為63 Hz(16，1.25 Hz)的頻段內(nèi)出現(xiàn)最大值，為131.3 dBm(124.8，109.1 dBm)。具體的，輸入輪對的功率流在全頻域范圍內(nèi)均保持較大值，轉(zhuǎn)向架的輸入功率流主要分布在250 Hz以下的中低頻范圍，而車體的輸入功率流主要分布在20 Hz以下的低頻范圍。2 Hz以上各頻帶范圍內(nèi)，傳遞至車輛子系統(tǒng)的功率流由下至上(輪對-轉(zhuǎn)向架-車體)在全頻范圍內(nèi)發(fā)生衰減。2 Hz以下各頻帶范圍內(nèi)，出現(xiàn)車體輸入功率流大于轉(zhuǎn)向架、輪對輸入功率流的情況，其原因與圖5中出現(xiàn)情況類似。

由圖8可知，輸入功率流流經(jīng)一系懸掛時，高頻范圍的能量得到消耗，其中在中心頻率為800 Hz的頻段內(nèi)功率流損耗31.3 dBm；輸入功率流流經(jīng)二系懸掛時，在全頻域范圍內(nèi)出現(xiàn)損耗，其中在中心頻率為50 Hz頻段內(nèi)功率流損耗33.6 dBm。

通過對比圖5與圖7可見：車體的加速度強(qiáng)度與輸入功率流頻域分布總體一致，而輪對及轉(zhuǎn)向架的振動加速度強(qiáng)度與輸入功率流分布并不相符。這是由于傳遞至輪對(轉(zhuǎn)向架)的能量，一部分留在輪對(轉(zhuǎn)向架)處，引起該結(jié)構(gòu)的振動，另一部分則傳遞至轉(zhuǎn)向架(車體)處；而輸入車體的能量則由于不能繼續(xù)往下傳遞，則幾乎所有的能量都通過振動的形式消耗。

通過對比圖6與圖8可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)一系(二系)懸掛減振后，結(jié)構(gòu)間的振動加速度衰減與能量消耗分布并不統(tǒng)一，說明了加速度指標(biāo)并不能體現(xiàn)振動在結(jié)構(gòu)間的實際傳遞與消耗情況。

綜上所述，功率流評價指標(biāo)直觀地給出結(jié)構(gòu)的輸入能量及結(jié)構(gòu)間能量的傳遞、消耗情況，而加速度則只能反映對象部件的振動強(qiáng)度。因此，在進(jìn)行結(jié)構(gòu)的減振、隔振等分析研究時，推薦采用功率流指標(biāo)；而在評價結(jié)構(gòu)振動強(qiáng)度時，建議使用加速度指標(biāo)。

5 結(jié)論與建議

基于目前軌道交通領(lǐng)域振動評價指標(biāo)的局限性，將有限元功率流方法與傳統(tǒng)的輪軌系統(tǒng)動力學(xué)理論相結(jié)合，引入功率流指標(biāo)，從能量的角度分析不平順激勵下輪軌系統(tǒng)內(nèi)振動的分布及傳遞規(guī)律，并對比分析了加速度與功率流兩種指標(biāo)的差異性。得到如下結(jié)論。

(1)列車垂向振動中產(chǎn)生的低頻(低于63 Hz)能量主要流入車輛子系統(tǒng)，引起車輛子系統(tǒng)低頻振動響應(yīng)，而高頻(高于63 Hz)能量則傳遞至軌道系統(tǒng)，引起軌道結(jié)構(gòu)的高頻振動。

(2)功率流指標(biāo)能直觀給出振動能量在結(jié)構(gòu)中的傳遞及分配規(guī)律，適合于減振、隔振措施分析研究；而加速度指標(biāo)能直觀地反映作用于指定結(jié)構(gòu)的振動能量大小，適合作為減振效果的評價分析。