視覺演繹啟發(fā)小學(xué)生數(shù)學(xué)思維

楊震 余虹

【摘要】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，圖形表象與形式化證明互相發(fā)明。視覺表征可拓展學(xué)生思維空間。幾何畫板優(yōu)秀功能，能激發(fā)學(xué)生理解圖形中隱含的數(shù)學(xué)思維，顯化代數(shù)與幾何內(nèi)在聯(lián)系。以三個(gè)幾何畫板課件案例闡述：視覺演繹能提升小學(xué)生數(shù)學(xué)洞察力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)生，合理建構(gòu)思維模型;從普遍聯(lián)系角度審視幾何畫板制作思想對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的啟發(fā)性意義。

【關(guān)鍵詞】視覺演繹? 幾何畫板? 思想整合

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2020）22-0080-03

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》以全面推進(jìn)素質(zhì)教育，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力為宗旨。從數(shù)學(xué)思考角度看，視覺表征可直觀揭示數(shù)學(xué)問題內(nèi)在含義，使教學(xué)生動(dòng)明了，利于學(xué)生開拓思路，提升洞察力，增強(qiáng)理解力，在學(xué)習(xí)中起重要作用。

小學(xué)段學(xué)生尤易存在不能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)含義，導(dǎo)致數(shù)學(xué)素養(yǎng)存在短板。而對(duì)數(shù)學(xué)問題的視覺演繹是化解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)痛點(diǎn)的利器。

一、視覺表征，促進(jìn)理解

讓高段小學(xué)生洞察圖1蘊(yùn)含的代數(shù)意義，再頓悟弦圖含義是可行的。這是視知覺前提下，涉及思考探索，方法選擇，把握?qǐng)D形本質(zhì)（對(duì)圖形聯(lián)想和組織），從而解決問題的案例。

推定：（一）視覺經(jīng)驗(yàn)是抽象概念由來的具體背景之一，是思維的最基本工具;（二）視覺對(duì)事物的感知具有指向性，觀察者注意力趨向其最喜歡的東西，試圖區(qū)分出有意義的內(nèi)容，探尋其中規(guī)律，意圖捕捉事物一般結(jié)構(gòu)特征;（三）視覺涉及到對(duì)某個(gè)問題的整體感知，如補(bǔ)足事物的缺失部分等。觀察者傾向采用更簡潔完美方式認(rèn)知事物，有對(duì)認(rèn)為不太完美事物改造傾向;（四）視覺對(duì)背景中運(yùn)動(dòng)變化的事物具有高度敏感性。

視覺思維是人的本能反應(yīng)同有意識(shí)反應(yīng)調(diào)和的產(chǎn)物。這種主觀能動(dòng)性能產(chǎn)生一連串活動(dòng)，如提出疑問、找到某些有希望的線索、局部問題的解決、創(chuàng)造性融合的突然出現(xiàn)等等。視覺的靈便之處在于它能為意識(shí)隨意利用，外部的各種信息通過視覺在思維中展現(xiàn)與領(lǐng)會(huì)。

二、動(dòng)態(tài)演繹，展現(xiàn)思維

優(yōu)秀軟件開發(fā)應(yīng)用，傳統(tǒng)教學(xué)發(fā)生變革，信息技術(shù)平臺(tái)為教育研究開辟新領(lǐng)域。幾何畫板軟件能準(zhǔn)確進(jìn)行視覺展現(xiàn)，演繹規(guī)律，動(dòng)態(tài)再現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的發(fā)生、發(fā)展過程;能極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，潛移默化地使學(xué)生掌握觀察、發(fā)現(xiàn)、解決問題的科學(xué)探究方法，是數(shù)學(xué)教師得力助手。

案例1：

平行四邊形EE'F'F的周長是72厘米，EF是12厘米，點(diǎn)G 以每秒2厘米的速度從F點(diǎn)出發(fā)到F'點(diǎn)，H點(diǎn)以每秒8厘米的速度從E點(diǎn)出發(fā)在EE'間不停頓地做往返運(yùn)動(dòng)。問當(dāng)線段GH第三次把平行四邊形EE'F'F兩等分時(shí)，H點(diǎn)距E'點(diǎn)多少厘米？

（一）“例1”幾何畫板構(gòu)造步驟：

1.新建參數(shù)t1，做參數(shù)動(dòng)畫，標(biāo)簽為“啟動(dòng)”。

2.計(jì)算t1·2厘米和t1·8厘米，選中t1，做參數(shù)動(dòng)畫，標(biāo)簽為“復(fù)位”。

3.構(gòu)造線段EE'=24厘米，度量該線段長度，復(fù)制線段EE'，粘貼，改為線段FF'。

4.以E為圓心，t1·8厘米為半徑作圓，交線段EE'于點(diǎn) H。

5.點(diǎn)擊啟動(dòng)按鈕，當(dāng)圓E的半徑大于線段EE'時(shí)，再次點(diǎn)擊啟動(dòng)按鈕，以點(diǎn)E'為圓心，（t1·8厘米-EE'）為半徑作圓E'，交線段EE'于點(diǎn)H，隱藏圓E。

6.點(diǎn)擊啟動(dòng)按鈕，當(dāng)圓E'半徑大于線段EE'時(shí)，以點(diǎn)E為圓心，（t1·8厘米-2EE'）為半徑，作圓交線段EE'于點(diǎn)H，隱藏圓E'。

7.點(diǎn)擊啟動(dòng)按鈕，當(dāng)圓E半徑大于線段EE'時(shí)，以點(diǎn)E'為圓心，（t1·8厘米-3EE'）為半徑做圓，交線段EE'于點(diǎn)H，隱藏圓E與圓E'。

8.以點(diǎn)F為圓心，t1·2厘米為半徑作圓，交線段FF'于點(diǎn)G，隱藏圓F。

9.分區(qū)間構(gòu)造線段GH。

10.構(gòu)造線段EF、E'F '，平行四邊形EFF'E'的對(duì)角線及對(duì)角線交點(diǎn)。如圖2。

（二）線段GH兩等分平行四邊形EE'F'F，充要條件為線段GH過平行四邊形EE'F'F中心。小學(xué)生一般無法給出形式證明，用動(dòng)態(tài)視覺表征方式，引導(dǎo)學(xué)生合情推理，直觀理解。幾何畫板構(gòu)造充分條件的視覺提示，如圖3;亦可分離背景得“8字型”提示圖，凸顯對(duì)應(yīng)線段相等。構(gòu)造必要條件視覺提示（反證法）方法同。拖動(dòng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直覺對(duì)比，產(chǎn)生頓悟。

（三）讓某生解例1，由速度比聯(lián)想到分類討論，未考慮結(jié)合代數(shù)思想（初次解題用時(shí)30分）;幾何畫板直觀演示，學(xué)生視覺理解，用時(shí)25分得正解。讓其解決變式：將例1點(diǎn)G 速度改為每秒4厘米，其余不變。用時(shí)30分得正解，對(duì)參數(shù)t1賦值10加以直觀驗(yàn)證。

其間學(xué)生找出等量線段GF'=HE'算得時(shí)間為12秒，未能將此錯(cuò)誤排除（認(rèn)為是前攝干擾及未能意識(shí)到該等量關(guān)系不是線段GH兩等分平行四邊形充要條件所致）。對(duì)參數(shù)t1賦值12驗(yàn)證，學(xué)生直觀領(lǐng)悟，分析糾正，意識(shí)到利用等量關(guān)系GF'=HE'所得答案不合要求。可見變化問題背景可促使學(xué)生對(duì)圖形采用符合自身思維特點(diǎn)的方法積極進(jìn)行組織與建構(gòu)，優(yōu)化圖形知覺經(jīng)驗(yàn)，提升思辨能力。

借助課件，學(xué)生觀察事物運(yùn)動(dòng)過程，產(chǎn)生具象思維（對(duì)應(yīng)線段等量關(guān)系），進(jìn)行思想組合（代數(shù)和幾何思想），選擇正確方式解決問題，再通過變式練習(xí)加以自省、修正，鞏固思維模式。考慮對(duì)例1拓展，命題思路比如：在△ABC中，AC=a，BC=b，點(diǎn)A以速度V1沿AC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)B以速度V2沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)。當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，四邊形DFEC與△ABC的面積比等于μ（其中a、b、V1、V2及μ皆為正有理數(shù)，且μ<1）時(shí)，求點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)間？

三、抓住本質(zhì)，一線貫通

一線貫通的課件演示，能使學(xué)生充分產(chǎn)生視知覺上的系統(tǒng)化比對(duì)，促進(jìn)聯(lián)想，擴(kuò)大數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)范圍，利于思維融通。比如用幾何畫板構(gòu)造“鐘表問題”與構(gòu)造“直線或圓周上的追及、相遇問題”的思想方法相同。

教學(xué)中問及“兩個(gè)相鄰的十二時(shí)整之間時(shí)針與分針有幾次重合（不計(jì)初始的時(shí)分針重合）”，學(xué)生回答12次。考慮其未形成整體視覺感知故產(chǎn)生錯(cuò)誤。構(gòu)造“虛擬時(shí)鐘”，促使學(xué)生形成正確意象，提升其在背景中提取關(guān)鍵要素能力，自覺進(jìn)行比較、糾正。

案例2：“虛擬時(shí)鐘”及拓展

（一）“虛擬時(shí)鐘”的構(gòu)造：

1.在畫板的繪圖區(qū)內(nèi)建立極坐標(biāo)系

（1）建立極坐標(biāo)系

（2）新建三個(gè)參數(shù)，并分別命名為“時(shí)針?biāo)俣取薄ⅰ胺轴標(biāo)俣取焙汀安钪怠保来钨x值為“-0.5”、“-6”和“0”。

2.構(gòu)造運(yùn)行時(shí)間

（1）依次選中原點(diǎn)和單位點(diǎn)，構(gòu)造射線。

（2）在第一步所作的射線上，任意構(gòu)造一點(diǎn)A，并度量點(diǎn)A的橫坐標(biāo)。將點(diǎn)A的度量值標(biāo)簽改為“時(shí)間”。

3.構(gòu)造各點(diǎn)的極坐標(biāo)

（1）新建一參數(shù)，標(biāo)簽為“時(shí)分針重合次數(shù)”，賦值為“11”。計(jì)算“分針?biāo)俣取r(shí)間·1°”與“（時(shí)針?biāo)俣取r(shí)間+差值）·1°”，以及“（差值+時(shí)分針重合次數(shù)×360）÷（時(shí)針?biāo)俣?分針?biāo)俣龋薄?/p>

（2）選中度量值“（差值+時(shí)分針重合次數(shù)×360）÷（時(shí)針?biāo)俣?分針?biāo)俣龋保覔暨x擇“標(biāo)記比值”命令。以原點(diǎn)O為標(biāo)記中心，選中單位點(diǎn)，選擇“縮放”命令，單擊“縮放”按鈕，此時(shí)在x軸上出現(xiàn)的點(diǎn)命名為點(diǎn)“B”。

（3）新建參數(shù)命名為“表盤半徑”，賦值為4。

4.制作時(shí)分針

（1）分別選擇“表盤半徑”、“分針?biāo)俣取r(shí)間·1°”;“表盤半徑”、“（時(shí)針?biāo)俣取r(shí)間+差值）·1°”，繪制（ρ，θ）。

（2）以“表盤半徑”作為縮放比，在x軸縮放構(gòu)造另一點(diǎn)，以原點(diǎn)O為圓心，與該點(diǎn)構(gòu)造一圓作為鐘表表盤，構(gòu)造時(shí)分針、時(shí)間刻度線。

5.構(gòu)造演示按鈕

（1）依次選中點(diǎn)A、點(diǎn)B，選擇“移動(dòng)”命令，改標(biāo)簽為“移動(dòng)點(diǎn)1”（點(diǎn)擊該按鈕開始計(jì)時(shí)）。

（2）依次選中點(diǎn)A、原點(diǎn)O，選擇“移動(dòng)”命令，改標(biāo)簽為“移動(dòng)2”（點(diǎn)擊該按鈕復(fù)位），速度設(shè)置為“高速”。

（3）“（差值×1°+時(shí)分針重合次數(shù)×360°）÷（（時(shí)針?biāo)俣?分針?biāo)俣龋?°）” 的標(biāo)簽改為“運(yùn)行時(shí)間”。

（4）點(diǎn)擊“移動(dòng)2”按鈕，原點(diǎn)O標(biāo)記為中心，將時(shí)分針旋轉(zhuǎn)到12點(diǎn)方向。點(diǎn)擊“保存”按鈕。

孤立地看，制作“虛擬時(shí)鐘”亦有另法。

（二）利用“虛擬時(shí)鐘”演示“鐘表問題”示例：鐘面在5點(diǎn)到6點(diǎn)之間，時(shí)針與分針何時(shí)成直角？利用視覺動(dòng)圖激發(fā)意象，如參考圖4。

對(duì)“鐘表問題”構(gòu)造方式略作改變，可從指針運(yùn)動(dòng)角度觀察驗(yàn)證“平面內(nèi)△KML內(nèi)角和等于180°”。如圖5：點(diǎn)Z、M、L三點(diǎn)共線，初始狀態(tài)指針MY與線段MZ重合，指針MY作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

構(gòu)造“直線或圓周上的追及、相遇問題”與此例本質(zhì)同（其中賦值的正負(fù)性決定點(diǎn)在直線或圓周上的運(yùn)動(dòng)方向或位置）。

四、整合思想，多角探究

學(xué)生思維發(fā)展是“點(diǎn)到線，線到面，面到體”逐漸豐滿的過程。整合幾何畫板各種構(gòu)造思想，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰μ峁C(jī)會(huì)。在邊看邊做中，學(xué)生自主建構(gòu)“活圖式”，而非機(jī)械教條地掌握知識(shí)。

案例3：通過具象洞察，綜合上述例1、例2幾何畫板制作思想，產(chǎn)生反省：已知任意凸四邊形ABCD各邊長度及四個(gè)內(nèi)角度數(shù)，點(diǎn)G 以速度v（v≠0，v的正負(fù)性由規(guī)定運(yùn)動(dòng)方向決定），點(diǎn)F以速度3v同時(shí)從D點(diǎn)出發(fā)作順時(shí)針運(yùn)動(dòng)。設(shè)定點(diǎn)F繞四邊形一周后于AB邊第一次追及點(diǎn)G，求這段時(shí)間內(nèi)△AFG的最大面積（或底邊FG的最大值，或底邊FG上高的最大值）？如圖6。

小學(xué)階段是逐步形成數(shù)學(xué)思想與科學(xué)思維模式的關(guān)? ?鍵時(shí)期。利用幾何畫板，將動(dòng)點(diǎn)、追及、面積、線段等問題多方位整合，學(xué)生通過動(dòng)態(tài)視覺探究，拓展思維，利于實(shí)現(xiàn)小、初、高知識(shí)點(diǎn)與思想方法的貫通。

朱熹說讀書要“心到、眼到、口到。”視覺演繹可在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中彌補(bǔ)符號(hào)等表征短板，豐富體驗(yàn)，加深理解，促進(jìn)思辨。借助“幾何畫板”等軟件，可以促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中翱翔。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉勝利.幾何畫板課件制作教程（第三版）[M].北京：科學(xué)出版社，2010

[2]趙慧臣.知識(shí)可視化視覺表征的理論建構(gòu)與教學(xué)應(yīng)用[M].北京：中國社會(huì)科學(xué)出版社，2011.11