基于隨機分形的樹木（楓樹）可視化研究

劉娟,胡杰,張權義,趙清,李富忠

基于隨機分形的樹木（楓樹）可視化研究

劉娟1,胡杰2*,張權義1,趙清3,李富忠2*

1. 山西農業大學 文理學院, 山西 太谷 030801 2. 山西農業大學 軟件學院, 山西 太谷 030801 3. 山西農業大學 農學院, 山西 太谷 030801

為了更好地發揮森林效益，提高森林的管理效果，需要虛擬不同樹木生長過程的形態，建立相應的可視化系統，從而尋找樹木生長規律，用來指導實踐。本文首先介紹了虛擬單棵樹木的兩種分形方法：L系統和迭代函數系統。在此基礎上對其進行改進，考慮到氣候、溫度、陽光和風向等因素對樹木生長形態的影響，在生成規則和仿射變換、樹木初始角度、樹木主干與枝干的夾角、樹枝的粗細和長度等五個方面分別引入隨機因子，用Matlab軟件進行編程，實現了楓樹不同形態的繪制。此方法可以推廣到虛擬不同植物的形態等，在虛擬農業研究、虛擬場景、景觀設計、動畫制作等方面有廣泛的應用。

隨機分形; 虛擬樹木形態; 可視化

在自然界中，樹木隨處可見，并且種類繁多，形態各異。樹木的葉形更是千奇百怪，無所不有。利用傳統的試驗方法研究不同樹木的生長形態，不僅需要很長的試驗周期，還要花費大量的費用、物力和人力。因此引入了虛擬樹木技術，它需要借助計算機軟件，定量地模擬不同樹木的生長形態，直觀地觀察樹木生長動態，可以快速地驗證和檢驗樹木的生長模型。這是一項重要且有意義的課題[1-8]，在虛擬農業研究、虛擬場景、景觀設計、動畫制作等方面有廣泛的應用。

雖然樹木形態各異，結構不規則，但是觀察到對于具體的樹木而言，有樹干、樹枝、枝干、枝條和枝葉。并且發現樹枝與樹干的關系類似于枝條與枝干的關系，即局部和整體是相似的。同樣地，葉脈的形狀與整棵樹的分枝結構相類似?；谝陨蠘淠咎卣?，從幾何的角度來看，局部與整體的關系可以通過一個仿射變換實現。所以可以把整個樹木圖形分成若干個子圖，將原圖在相應的仿射變換下變為所分的子圖。以此類推，將所分的每個子圖在仿射變換下形成更小的子圖，這樣得到一個分形集合。因此可以引入分形的方法對樹木生長形態進行模擬，很好地表達了樹木分枝的情形和相應的拓撲結構。常見的分形系統有分形L系統和迭代函數系統[1-4]。

近年來，許多研究人員應用分形系統模擬不同樹木生長，如葡萄樹、杏樹、梨樹、山楂樹、桃樹、開心蘋果樹等，并將其可視化[5-9]。所用的畫圖軟件為OpenGL，本文將使用另外一種軟件——Matlab軟件進行編程，繪制任意形態的樹木[9]。同時考慮到氣候、溫度、陽光和風向等因素對樹木生長形態的影響，本文將在分形系統中引入一定的隨機因子[10]，控制樹木的分支方向，樹枝粗細，生長長度變化和生長角度等，使得到的樹木形態更加逼真，自然。綜上所述，本文將基于隨機分形系統使用Matlab軟件對樹木生長形態進行模擬。

1 樹木可視化的數學模型

（1）將樹木生長過程理想化：先生長出一根主干，再長出兩條或者多條枝干，一段時間后每個枝干又生長出兩條或者多條新的枝干。以此類推，生長出自然界中枝繁葉茂形態各異的樹木。將上述過程進行簡化，只考慮一根主干和由它生長出的兩根枝條，即生成元。

（2）圖1為某一種樹的生成元，其中線段AB為樹木的主干，長為L，(,)為初始點，(1,1)為終點。(2,2)為AB上一點，=1。由C點生出兩條枝干，分別為線段CD和CE，=2，=3，且與主干的夾角分別為1和2。D點和E點的坐標分別為(3,3)和(4,4)。它們之間的相互關系為：

(1)式和(2)式中的絕對值保證了樹木樹枝的向上生長。并且需要保證主干線條比側枝的線條粗一些。有時樹木的主干不一定筆直的，可能是斜的。

圖 1 某一種樹的生成規則

(3)生成元與具體樹木的結構特征有關。采取不同的生成元，生成的樹木的圖形也不一樣。

2 分形理論

自然界中常用分形理論來描述不規則且部分與整體以某種方式相似的景象。它的重要原則是自相似原則和迭代生成原則。常用的分形理論是L系統理論和迭代函數系統(IFS)理論。

2.1 L系統

L系統[11]通過對樹木生長過程抽象概括所需的生成元(初始狀態和生成規則)，進行有限次迭代，對符號進行重寫，可以生成形態各異的樹木圖形，很好地體現樹木的拓撲結構。具體分為三步：

(1)對符號進行重寫：通過一系列的字符串更換，更換原則為→，→，最后演變為：→→→→→。

(2)將樹枝視為線段，根據樹木的結構特點定義不同的字符，F: 表示沿原來的方向畫樹枝線段；z: 表示當前位置；n：表示遞歸深度；A：表示狀態方向；+：表示沿當前方向逆時針旋轉a角度；-：表示沿當前方向順時針旋轉a角度；[：表示進棧，保存當前狀態；]：表示出棧，退出當前狀態，即恢復原來狀態；[ ]: 用來畫樹木的一個樹枝，產生進棧和出棧操作。

(3)給定一個初始串，即初始狀態，記為W。記生成規則為p，將p多次作用到W上，按照替換原則產生較長的命令串，進行圖形的繪制。

2.2 迭代函數系統

迭代函數系統[11]是利用仿射變換(生成元)實現樹木整體和局部相似的特性，一般為壓縮放射變換，在重復迭代中可以旋轉，放大，縮小，保持形狀。常用來刻畫樹木的葉片和桿莖，描述樹木的紋理結構。仿射變換一般為：

式子(3)中參數均為實數，對固定的樹木而言，可以選擇同一仿射變換，也可以選擇不同的仿射變換。通常是按照一定的概率將樹木整體形態以不同的仿射變換不斷地迭代下去(變換的概率之和為1)，進行樹木形態的描述。

3 改 進

L系統模擬樹木的拓撲結構，生成樹干，樹枝；迭代函數系統模擬樹木紋理結構，刻畫樹木葉片。將兩種方法相結合，可以描繪出一幅完整生動的樹木生長圖。

但是不論是L系統，還是迭代函數系統，若不改變生成元，那么生成的樹木將會呈現一樣的形態，呆板而又單一，毫無生機，不自然也不真實。同時考慮到氣候、溫度、陽光和風向等因素對樹木生長形態的影響，這樣得到的圖形也不符合樹木的生長規律。所以需要在以下影響樹木形態的5個重要方面引入隨機因子，改變生成元，從而實現形象逼真的樹木形態。

(1) 控制生成規則和仿射變換

方法是由隨機產生的數來決定新樹枝的生成規則和仿射變換，如選取隨機數c=rand(1)，這樣得到的樹木形態更加生動逼真，貼近實際。

(2) 控制樹木初始角度

樹木的形態與初始角度有關，可以引入隨機因子進行控制，如選取初始角度為A=20+rand*70等。

(3) 控制樹木主干與枝干的夾角

樹木主干與枝干的夾角影響樹木的形態，可以引入隨機因子進行控制，如選取樹木主干與枝干的夾角為a=rand*70等。

(4) 控制樹枝的粗細

由于樹枝主干線條比側枝的線條粗一些，所以粗細不是固定的，需要進行遞減，如選取粗細為w=w-(1+rand*3)等，w為樹木主干的粗度。

(5) 控制樹枝的長度

同樹枝的粗細一樣，樹枝的長度也是遞減的，同時引入隨機因子，如選取長度為L=L-(2+rand*4)等，L為樹木主干的長度。

4 Matlab算法流程，應用及實現

4.1 Matlab算法流程

圖 2 流程圖

4.2 應用及實現

4.2.1 樹木形態初始信息提取(以楓樹為例) 楓樹在晉中盆地隨處可見，有很強的觀賞性，尤其是深秋時，景色極其美麗。因此在虛擬場景中經常需要對楓樹進行可視化研究。楓樹是合軸樹木，不像楊樹[3]等單軸樹木，有明顯的主干，它具有復雜的形態，并且它的樹葉很特別。通過查找資料[12]，對楓樹形態進行觀察和分析，得到楓樹具體的形態特征：

（1）關于枝干方面楓樹為高大喬木，可高達24 m以上，冠幅可達16 m。楓樹整個樹冠呈開張狀，樹木頂芽生長到一定階段后被側芽取代，接在主軸上，分叉的角度一般為45°左右。抽象出初始信息，其中初始角度為A=pi/2，樹木主干與枝干的夾角為a=pi/4，生成規則為：F[+F][-F]F[+F][-F]。當遞推深度=4時，用Matlab軟件編程，得到楓樹圖，見圖3。

（2）關于樹葉方面楓樹葉片呈手掌型，并且是對生的，即枝條在每一節上一次生長出一雙葉子，并且下一節對生的兩個葉子與上一節的兩個葉子有一定的角度，便于陽光的吸收，利于植物生長。抽象出初始信息后，我們需要通過求解6個方程得到仿射變換的6個未知數。取一片楓葉，按比例繪制圖形，在原圖中選擇3個點(1,1)，(2,2)，(3,3)，在作放射變換后，選擇子圖中對應的3個點(1′,1′)，(2′,2′)，(3′,3′)，代入放射變換公式中，得到6個方程。通過求解下面兩個方程組，即可得到仿射變換的6個未知數,,,,，為仿射變換的系數。

表 1 楓葉仿射變換的系數表

計算四組參數所占的概率。概率描述的是變換子圖的面積在原圖中所占的比例，計算公式為：

將表1中數據代入公式(7)依次得到相應的概率分別為0.13，0.28，0.26，0.33。當迭代次數為N=100000，用Matlab軟件編程得到楓樹葉，如圖4。

圖 4 楓樹葉

4.2.2 改進及實現上面得到的楓樹形態呆板而又單一，毫無生機，不自然也不真實，不符合楓樹生長規律?，F引入隨機因子，服從均勻分布，取楓樹主干與枝干的夾角為a= rand* pi/4，初始角度為A = pi/8+rand*3*pi/8，長度為L=L-(2+rand*4)，選取粗細為w=w-(1+rand*3)。選擇三種不同的生成方式分別為：p1= ‘F[+F][-F]F[+F][-F]’；p2='F[+F]F[-F[+F]]'; p3='FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]'。取隨機數c=rand(1)，根據c的不同從而選擇不同的生成方式。當>=0.8時，選擇p1；當0.8>>=0.3時，選擇p2；當<0.3時，選擇p3，并且將L系統的遞推深度和迭代系統的迭代次數N分別取為=6，=1000。

由于隨機性，每次運行Matlab程序生成楓樹的形態是不一樣的。所以在操作過程中可以通過調整隨機數的范圍和生成規則，模擬自然界中楓樹形態各異的生長狀態。如圖5,6,7,8。其中圖5為靜止時的楓樹狀態，圖6，圖7和圖8為楓樹隨風搖曳的形態，圖6為楓樹隨風向右搖擺，圖7為楓樹隨風向左搖擺，圖8為楓樹隨風左右搖擺。

圖 5 楓樹靜止時的形態

圖 6 楓樹向右搖擺的形態

圖 7 楓樹向左搖擺的形態

圖 8 楓樹左右搖擺的形態

5 結 語

考慮到樹木拓撲形態結構中整體與局部的相似性，本文采用分形L系統和迭代函數系統相結合的方法，并且在生成規則和仿射變換、樹木初始角度、樹木主干與枝干的夾角、樹枝的粗細和長度等方面分別引入隨機因子，借助Matlab軟件進行編程，對楓樹的不同形態進行了生動逼真的描述。

此方法具有廣泛的應用，可以用來模擬不同樹木，植物的生長形態，有很好的視覺效果，是虛擬農業研究、虛擬場景、景觀設計、動畫制作等方面的重要組成部分。此方法在農業中可以形象地模擬植物的形態，是計算機和農業相結合的一個領域。與傳統農業相比，此技術既直觀形象，又節省大量人力和物力。

本文還可以在此基礎上做進一步的研究：(1)對樹木生長形態進行三維模擬；(2)對樹木生長形態進行動態模擬；(3)可以對樹木群落進行模擬，不僅限于一棵樹。

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Study on Visualization of Maple Tree Based on Random Fractal

LIU Juan1, HU Jie2*, ZHANG Quan-yi1, ZHAO Qing3, LI Fu-zhong2*

1.030801,2.030801,3.030801,

In order to give full play to the forest benefits and improve the forest management effect, it is necessary to simulate the forms of different tree growth processes and establish the corresponding visualization system, so as to find the tree growth rules and guide the practice. This paper first introduces two kinds of fractal methods of virtual single tree: L system and iterative function system. On this basis, taking into account the influence of climate, temperature, sunlight and wind direction on the growth morphology of trees. Random factors are introduced in five aspects, including generation rule and affine transformation, initial angle of tree, angle between tree trunk and branch, thickness and length of branch, respectively. Matlab software was used to draw the different forms of maple. This method can be extended to the virtual forms of different plants, etc., and has been widely used in virtual agriculture research, virtual scenes, landscape design, animation production and so on.

Random fractal; virtual tree patterns; visualization

S757

A

1000-2324(2020)03-0495-05

10.3969/j.issn.1000-2324.2020.03.020

2019-01-02

2019-05-20

國家自然科學基金項目(31501876);國家自然科學基金面上項目(31872336);山西省科技廳面上青年基金項目(201601D021122);山西農業大學科技創新基金項目(2017005,2017019)

劉娟(1988–),女,碩士,講師,研究方向:應用數學. E-mail:liujuannk@163.com

Author for correspondence. E-mail:17835425155@163.com; sxaulfz@126.com