初中數學“一圖一課”式專題復習教學
——以“與圓有關的位置關系”為例

■蔣月蘭

一、教學設計與意圖

1.操作與回顧。

操作：已知⊙O（如圖1），請按要求畫圖。

（1）如果在⊙O所在的平面上有一點A，請畫出點A。（學生通過畫圖發現，點A 的位置有無數種可能。）

問題1：這無數種可能有幾種類型？

生1：三種類型，分別是點在圓內、點在圓上以及點在圓外。

問題2：用什么方法可以判斷？如何判斷？

生2：用d 表示點A 到圓心的距離，用r 表示圓的半徑，然后比較d與r的大小。當d>r時，點在圓外；當d=r 時，點在圓上；當d

（2）過點A 畫直線l。（學生通過畫圖發現，直線l的位置也有無數種可能。）

問題3：這無數種可能有幾種類型？

生3：三種類型，分別是直線與圓相交、相切、相離。

問題4：用什么方法可以判斷？如何判斷？

生4：用d1表示圓心到直線的距離，用r 表示圓的半徑，然后比較d1與r 的大小。當d1>r 時，直線與圓相離；當d1=r 時，直線與圓相切；當d1

設計意圖：以上兩個環節都是通過動手畫圖引出知識，學生在畫圖過程中自然喚醒了點與圓、直線與圓的位置關系等知識。學生在作圖的過程中培養了發散性思維，體會了分類的必要性，滲透了分類和數形結合的數學思想。

問題5：如圖4，過點A 畫直線，都可以畫出圖3的三種位置關系嗎？動手試一試。

生5：點A 在圓內時，只能畫出相交；點A 在圓上時，既可以畫出相交也可以畫出相切；點A在圓外時，三種情況都可以畫出。

問題6：d1=r 是d1與r 在數量上的特殊情況，也是臨界情況。那么，請過點A 畫出⊙O 的切線并說出你的依據。

生6：依據的是切線的判定定理，過半徑的外端點且垂直于半徑的直線是圓的切線。（如圖5）

設計意圖：通過追問“過點A 都能畫出三種位置關系類型的圖形嗎”，讓學生進一步理解判斷直線與圓位置關系的本質。通過畫切線，再次喚醒學生對切線性質定理、判定定理以及圓周角性質的回顧，在解決問題的過程中培養學生綜合分析問題的能力。

（3）在圖6 的⊙O 上另取一點B，過點B 畫一條與⊙O 相切的直線，設所畫直線與過點A 的切線（A為切點）相交于點M，如圖7。

問題7：你想到了什么知識？

生7：切線長定理，過圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。

問題8：這幅圖還給你哪些數學美感？由此你還能得出哪些結論？

設計意圖：學生通過畫圖得到切線長定理，并通過開放性的問題“尋找數學美”，便自然地用數學的眼光觀察圖形得出圖形的軸對稱性，再次利用幾何圖形的性質，尋找并得出圖形中各邊、角之間的聯系。這培養了學生的觀察和分析的能力，滲透了數形結合思想。

（4）在圖7 的⊙O 上再另取一點C，過點C 作一條切線與前兩條切線相交，交點為N、T。（學生通過畫圖發現，圖形又有兩種可能的情況。）

①當C取在優弧上時。

問題9：從這個圖中（圖8），我們看到了什么？想到了哪些相關知識？

生8：三角形三邊與圓相切，即三角形的內切圓。內切圓的圓心是三角形的內心，是三角形三個內角角平分線的交點，到三角形三邊的距離相等。

問題10：若順次連接A、B、C呢？

生9：能得到三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形的外心、三角形三邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點的距離相等。

②當C取在劣弧上時。

問題11：對于這個圖（圖9），你有什么想說的嗎？

生10：圖9 也得到了三角形和圓，不過圓在三角形旁邊與三角形相切了，可以取個名字叫它“旁切圓”，這也是一種位置關系。

師：這個名字取得很好，不過這個“旁切圓”的大小不受三角形的控制，我們的教材中沒有研究。我們的教材只研究了三角形的內切圓、三角形的外接圓。當三角形確定時，它的內切圓、外接圓都確定了。

問題12：內切圓的半徑通常用什么方法來求呢？

生11：因為相切，所以過切點的半徑與三邊垂直，垂線段可以看成三角形的高線，所以用面積 法 可 以 計 算 出 內 切 圓 的 半 徑r內=2S△MNT÷C△MNT。

問題13：如果選取的點B 能使得兩條切線MB、MA 互相垂直，此時的內切圓的半徑還有其他方法來求嗎？

生12：此時得到了一個直角三角形（如圖10），可以得出四邊形AMBO 為正方形，利用切線長定理可以得出r內=（MN+MT-NT）÷2。

問題14：三角形的內切圓、外接圓，包括你們取的“旁切圓”，都屬于三角形與圓的位置關系。那么，與圓有關的位置關系接下來還會往哪個方向研究呢？

生：四邊形與圓，多邊形與圓（圖11）……

設計意圖：繼續通過開放性的動手畫圖引出知識，學生在畫圖的過程中自然回顧了三角形的內切圓、外接圓以及“旁切圓”。問題11的追問以及解答，讓學生進一步體會什么樣的幾何圖形之間可以研究數量關系，為學生今后的自主學習提供了方法。問題12、13 的提出，幫助學生進一步鞏固了各個量之間的關系。這里滲透了分類、數形結合、方程模型的思想，提升了學生整體建構知識的能力，教學生學會學習。

2.嘗試與鞏固。

嘗試：如圖12，圓O 的直徑DE=8cm，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。圓O 以2cm/s 的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在直線BC上。設運動時間為t（s），當t=0s 時，圓O 在△ABC 的左側，OC=6cm。請結合復習的知識，嘗試編一道相關的問題并解答。

設計意圖：開放性的問題設計，旨在通過復習知識培養學生提出問題、解決問題的能力，讓學生進一步體會研究幾何問題的一般角度和方法，引導學生多角度解決問題，培養學生思維的發散性和深刻性。

二、教學反思

1.建構知識體系。

在復習課中，學生已具備了一定的知識基礎，但知識體系不一定形成，需要在復習課中建構知識體系。新課標提倡，學生不是被動地接受知識，而是要在積極主動地參與下建構。幾何知識往往跟圖形分不開，因此，教師可以嘗試帶領學生畫圖，讓學生親自去發現盡可能多的東西，從而不斷地豐富圖形來建構知識體系。這樣才能讓學生全面認識、理解、掌握和運用知識，才能讓知識內化為成長素養，才能真正滿足成長需要。

本節課利用4 個作圖操作，讓與圓有關的位置關系的所有知識慢慢地冒出新芽，自然生長，最終長成枝繁葉茂的大樹。畫圖的過程既帶領學生獨立、主動地去參與、發現，又在流程設計上推陳出新，激發了學生的興趣，培養了學生的動手能力。

2.激發數學思維。

為了使學生的能力在復習課中得到提升，復習課就不能對學過的知識機械地進行重復，因為機械重復會使學生感覺枯燥，失去學習的興趣。除了在流程設計上推陳出新外，我們還要關注教師提出的問題給學生帶來的數學思考，從而讓學生在梳理知識的同時，感悟數學學習的方法，提煉基本數學學習策略，達到增長智慧的目的。

本節課設計的問題不是常規的習題，而是開放性問題，甚至讓學生自己提出問題。第一、二、四個作圖都是開放性作圖，這樣可以引領學生全面回顧點與圓、直線與圓、三角形與圓的位置關系。通過“尋找數學美”“你看到了什么”“你想到了什么”“還會向什么方向生長”“嘗試編一道相關的問題并解答”等一系列的開放性問題引領學生自主探究，深入思考，增進認識；讓學生充分感受數學知識的生長過程，有利于學生的問題意識、創新能力的提升，有利于學生的數學思維發散性、深刻性的培養。

3.落實核心素養。

復習課上，教師除了要幫助學生全面復習知識，建構知識體系之外，還應該有意識地向學生滲透數學思想，揭示數學本質。數學思想是數學的靈魂，是開啟數學知識寶庫的金鑰匙，我們的復習課需要關注思想，要讓復習課堂因思想而厚重。

本節課通過4 個作圖操作串聯知識，讓學生在作圖的過程中經歷逐漸遞進、深度探究。數學思想體現在以下方面：第一、二、四個作圖的答案都不是唯一的，在求知答案的過程中學生迫切需要的就是分類的思想；在判斷位置關系、圖形各要素之間關系的過程中，數形結合思想、模型思想得到了淋漓盡致的體現；在如何作切線的過程中，畫切線的問題最終轉化成了畫垂線的問題，體現了解決問題過程中的轉化思想。學生在課堂中感受并體會到這些思想方法，并逐漸運用到后續的學習中，最終形成能力，提升數學素養。因此，在課堂教學中，教師應努力做到讓學生因參與而構建，因追問而明晰，因反思而升華，因思想而開花。