讓智力生長 讓智慧開花
——以“邊邊角”問題探究為例

■馬 紅

在蘇科版八年級上冊第一章“全等三角形”的教學過程中，許多學生會問，為什么沒有“邊邊角”判定法？筆者雖然舉出了反例,但仍然沒有消除學生的疑問。我要給“邊邊角”一個機會，給學生一個探究的機會。本節課是在學生學習了全等三角形的性質及判定的基礎上，對“邊邊角”問題做的進一步探究，旨在幫助學生更為理性地分析問題，發展學生的數學思維能力，為學生后續的學習積累經驗。

一、教學目標

通過對“邊邊角”問題的研究，學生經歷感知、猜想、驗證、歸納等環節，提高分析問題和解決問題的能力；研究特殊情況下，“邊邊角”可以證明三角形全等的依據；學生在“做”數學中增強學習數學的興趣和自信心，在積極思考中形成勇于探索的學習品質。

二、教學重、難點

探索特殊情況下“邊邊角”可證明三角形全等。

三、教學過程

1.溫故知新，引起思考。

問題1：本章節中，我們是沿著什么樣的路徑來探究判定三角形全等的條件的？

設計意圖：判定兩個三角形全等，需要從三角形的組成元素邊、角入手，為后面進一步研究兩個三角形的邊角關系做好鋪墊。如果所給的條件不能確定三角形的形狀和大小，就不能判定三角形全等。

問題2：如圖1，已知AC=DF，添加適當的條件使得△ABC≌△DEF。

設計意圖：設計開放性的問題，培養學生有序思考問題的習慣，在學生舉例的過程中，可以引出“邊邊角”不能判斷三角形全等。

2.合作探究，激活思維。

問題3：“邊邊角”為什么不能判定三角形全等呢？先畫圖說明，再與你的同桌交流。

設計意圖：學生進一步感受并理解滿足“邊邊角”條件的兩個三角形可能不全等，大部分學生會畫出圖2來說明。畫圖的過程中，學生進一步體會到，只有所給的條件能確定三角形的形狀和大小，才能夠說明兩個三角形全等。

問題4：“邊邊角”能確定一個形狀和大小唯一的三角形嗎？

問 題5：已 知 線段m 和∠α（見 圖3），畫△ABC，使得AB=m，BC=n，∠A=α（0°<α<90°），線段n取何值時，能且只能畫出一個△ABC？

給學生充足的思考時間，讓學生在動手操作的過程中找到解決問題的突破口。

設計意圖：所給的條件具有“邊邊角”的特點。教師可引導學生從確定的一邊和一角入手，分析確定△ABC 的關鍵是確定∠A 的對邊BC。如圖4，當點B 確定時，點C 需要滿足兩個條件：在射線AE 上和到點B 的距離為n。當以B為圓心、n 為半徑的圓與射線AE 的交點只有一個時，點C 確定，△ABC 也隨之確定。變中又有不變。通過控制變量，結合分類討論思想，學生動手操作，自主探索，深化理解，發展數學思維。

問題6：通過以上探究，你有什么發現？

預設：如圖5、圖6，當“邊邊角”條件中的“角”α（0°<α<90°）的對邊n 等于點B 到AE 的垂直距離或n≥m時，“邊邊角”能確定△ABC。

設計意圖：通過問題驅動，學生在畫圖的過程中經歷觀察、實驗、猜想、驗證等環節，學會表達，學會歸納。

3.探尋本質，深化理解。

問題7：通過畫圖我們發現，當0°<α<90°時，具有上述結論。你還能提出什么問題？

學生很自然地會提出，畫△ABC，使得AB=m，BC=n，∠A=α（α=90°或90°<α<180°），線段n 取何值時，能且只能畫一個△ABC？

設計意圖：促進學生全面思考問題，合理、有序地開展進一步的數學探究活動，完善對“邊邊角”的探究過程。通過分析，學生畫出滿足條件的圖7和圖8，發現當n>m時，△ABC確定。

問題8：在什么樣的條件下，“邊邊角”能確定一個三角形呢？

設計意圖：問題指向高階認知活動。要把這個問題表達清楚，對于學生來說是有難度的。在學生經歷一系列的數學活動之后，留給學生充分的思考時間，給予學生思維發展的機會。教師在這個過程中需要扮演好“助產師”的角色，不給學生現成答案，而是用反問和反駁，讓學生主動尋找答案。

問題9：“邊邊角”在哪些特殊的情況下能判定兩個三角形全等？

已知兩個三角形的兩邊及一邊的對角對應相等，當等角為直角，“邊邊角”就是“HL”，兩個三角形全等；當等角為鈍角，兩個三角形全等；當等角為銳角，等角的對邊大于或等于另一邊，或等角的對邊等于另一邊與此角的正弦的積時（注：對于八年級學生，可借助圖形來說明），兩個三角形全等。

設計意圖：數學活動的本質是思維活動。引發思考的對話是活動的靈魂，深度對話能引導學生始終在數學思考中發現和生成，也體現對學生思維主體性和主觀能動性的尊重。教師應告訴學生盡最大努力，讓他們自己想辦法、說出來。師生對話中的“等待”是十分有必要的，因為從不等待的對話，即使問題再好，也是一種缺乏誠意的形式。我們要讓每一名學生參與到探究中，重視學生在學習活動中的主體地位。

4.交流展示，成果分享。（略）

綜上，學生在探究中經歷感知、猜想、驗證、歸納的過程，這是解決很多幾何問題的一般方法。數學的教學價值可能有很多理解，但其根本的要義，是讓學生學會理性思考，學會探究，學會創新，并在此過程中，讓智力生長，讓智慧開花。