說“巧”不“巧”,只要方法好
——一道競賽題的多種解法賞析

沈 衛(wèi)

(湖州市菱湖中學(xué),浙江 湖州 313018)

圖1

例題.有一寬為l、高為2l的墻壁,如圖1所示.現(xiàn)從墻壁左側(cè)地面發(fā)射一個(gè)質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn)),使小球越過墻壁,擊中墻壁右側(cè)地面上的目標(biāo)S.目標(biāo)S與墻壁中心線的距離為d.不計(jì)空氣阻力.

(1) 小球有最小動(dòng)能時(shí),發(fā)射點(diǎn)與墻壁中心線的距離為多少?能夠擊中S的最小初始速度與地面的夾角θ為多少?

(2) 若不需擊中S,僅要求小球能夠越過墻壁,求小球發(fā)射的最小動(dòng)能,以及初始動(dòng)能最小時(shí)發(fā)射點(diǎn)與墻壁中心線的距離為多少?

1 考查意圖的分析

臨界和極值問題的考查往往涉及到對于基本物理思想與觀念的體現(xiàn),也涉及基本物理方法的運(yùn)用.解決這類問題的方法是在構(gòu)建物理模型的基礎(chǔ)上運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行運(yùn)算并得出量化的結(jié)果.本題考查了斜拋運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律,在構(gòu)建物理模型后采用運(yùn)動(dòng)合成與分解的方法,化曲為直,再運(yùn)用數(shù)學(xué)方法加以處理.因此如何有效地運(yùn)用運(yùn)動(dòng)分解方法成為了學(xué)生處理該類問題的關(guān)鍵.本文在答案解析的基礎(chǔ)上總結(jié)了3種解決問題的方法,并著眼于運(yùn)動(dòng)分解方法的巧妙運(yùn)用,以便于凸顯可用于解決該類問題方法的推廣應(yīng)用.

2 答案解析

原題答案解析中采用沿水平豎直方向的正交分解,取小球發(fā)射速度v0與地面夾角為θ,并且根據(jù)小球有最小動(dòng)能可知小球必經(jīng)過兩個(gè)頂角(t1時(shí)刻過左頂角,t2時(shí)刻過右頂角),設(shè)發(fā)射點(diǎn)與墻中心線的距離為x,因此有

聯(lián)立上述4個(gè)等式可以得到

(1)

3 答案解析基礎(chǔ)上的其余3種解法

3.1 利用水平面斜拋運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離結(jié)論求解[1]

解法點(diǎn)評:上述解法運(yùn)用到了水平面斜拋運(yùn)動(dòng)最小速度的結(jié)論,雖然解題過程簡潔明了,運(yùn)算過程也相對并不復(fù)雜,但是多數(shù)學(xué)生難以將此結(jié)論與具體的問題聯(lián)系起來.而且該解法針對性較強(qiáng),普適度不高,因此對于特定問題的解答極具有效性,但在教學(xué)中不建議向?qū)W生普遍推廣,以免造成學(xué)生的思維定式,產(chǎn)生不必要的影響.

3.2 “另類”正交分解法的求解

圖2

盡管在一線教學(xué)工作中,對于正交分解的應(yīng)用教師一般都只向?qū)W生傳達(dá)沿水平豎直方向的分解方式.但事實(shí)上,正交分解可以沿任意相互垂直的方向,且不改變問題本身所包含的物理特性.可以作小球初始位置與墻體兩個(gè)頂角間的連線如圖2所示.

(2)

由幾何關(guān)系知

(3)

聯(lián)立(2)、(3)兩式可得

(4)

(5)

聯(lián)立(4)、(5)兩式得

解法點(diǎn)評:上述解法沿著小球?qū)嶋H位移的方向與垂直位移的方向分解小球的運(yùn)動(dòng),雖然不是“正統(tǒng)”的正交分解方式,但是并沒有脫離正交分解法的物理本質(zhì)與范疇,且能夠產(chǎn)生意想不到的效果,如果將之與水平方向的正交分解法結(jié)合使用,不失為一種可值得推廣的、有效解決問題的方法.

3.3 在斜坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)分解

圖3

運(yùn)動(dòng)的合成與分解不僅可以使用正交分解法,同時(shí)也能夠在斜坐標(biāo)系下對斜拋運(yùn)動(dòng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的分解.將小球由初始位置開始的運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)與豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng),可作如圖3所示的運(yùn)動(dòng)分解示意圖.

(6)

由于保留了時(shí)間t1,因此考慮小球由初位置O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到墻體左頂角A點(diǎn)的過程,根據(jù)斜坐標(biāo)系下分解運(yùn)動(dòng)的幾何關(guān)系可得

整理以后有

(7)

結(jié)合(6)、(7)式得

解法點(diǎn)評:分解運(yùn)動(dòng)不一定按正交的方向,也可以按斜交的方向分解.在斜坐標(biāo)系下分解斜拋運(yùn)動(dòng)的好處在于避免了對角度的直接運(yùn)算,可以簡化物理模型的構(gòu)建與定量解析,雖然數(shù)學(xué)上的運(yùn)算量略微增加,但是在描述斜拋運(yùn)動(dòng)的物理本質(zhì)時(shí)顯得更為直觀,可以在培優(yōu)競賽等教學(xué)活動(dòng)中加以運(yùn)用.

綜上所述,方法運(yùn)用的有多“巧妙”,問題解決得就有多“有效”,但是再巧妙的方法也必定滿足中學(xué)物理教學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵與規(guī)律.所以即便是簡單的運(yùn)動(dòng)合成與分解的方法在復(fù)雜問題的解決中也有多種變化與延伸,可以豐富問題本身所包含的物理思想與觀念,從而幫助學(xué)生在具體問題的解決中理解與掌握基本的物理方法與思想,提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、思維能力與學(xué)科素養(yǎng).