借助數軸尋找隱性分點的策略

吳梨娟 戴欽彪

[摘要]數學分類討論問題一直讓學生頭疼，分類的分界點不好找.我們可以借助數軸尋找隱性分點.

[關鍵詞]隱性分點;數軸;尋找

[中圖分類號]G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號]1674-6058（2020）14-0013-02

中學數學很多應用題都要應用分類討論思想.有些應用題的分類標準很明顯，這些明顯分界的點我們稱它為顯性分點，可是有些題目卻很難直觀分類，這時我們可以借助數軸尋找隱性分點，劃分區域進行討論，

一、利用數軸上的顯性分點求解應用題

[例1]某書店推出售書優惠方案：①一次性購書不超過100元，不享受優惠;②一次性購書超過100元但不超過200元，一律打9折;③一次性購書超過200元，一律打8折，已知小明一次性購書付款188元，求他所購書的原價，

分析：題目提供了100，200這兩個顯性數據，借助數軸可分為三段進行討論，分別是O200這三段，再判斷哪一段可能書款為188元，如此題中的100，200在數軸上可直觀標識進行分類的點稱為顯性分點.

解：設原價為x元，∵188>100，∴x>100.

如圖1，①若100 200（舍）.

②若x> 200，則0.8x=188，解得x=235.經檢驗，符合題意.

二、利用數軸尋找隱性分點求解應用題

[例2]為了加強公民的節水意識，合理利用水資源，某市采用價格調控的手段達到節水的目的，該市自來水收費的價目表如下（注：水費按月份結算，m³表示立方米）：

若某戶居民1月份用水8m³，應繳水費為2×6+4×（8-6）=20（元）.

請根據價目表提供的信息解答下列問題：

（1）若某戶居民2月份用水5m³，則應繳水費______元;

（2）若某戶居民3月份應繳水費19.2元，則用水_______m³;

（3）若某戶居民4、5兩個月共用水14m³（5月份用水量超過了4月份），設4月份用水am³，求該戶居民4、5兩個月共繳水費多少元？（用含a的代數式表示，并化簡）

分析：第（3）題中以4月份中的用水量a為分類標準，且5月份用水量超過了4月份，則a<7.又5月份用水量（14-a）大于7，則5月份用水量有可能取顯性分界點10（不可能取6），可求得a=4，在此求出一個點7，一個點4，使得數軸被分為O

解：（1）該戶居民2月份用水5m³，應繳水費=5×2=10元;

（2）由于6×2=12，12+4×4=28，則設用水x m³，根據題意得6×2+（x-6）×4=19.2，解得x=7.8.

（3）如圖2，當O

當4

當6

[例3]某超市在春節期間對顧客實行優惠，規定如下：

（1）王老師若一次性購物550元，他實際付款_____元.

（2）若顧客在該超市一次性購物x元，當x小于500元但不小于200時，他實際付款______元，當x大于或等于500元時，他實際付款______元.（用含x的代數式表示）

（3）如果王老師兩次購物貨款合計820元，第一次購物的貨款為a元（a>200），用含a的代數式表示兩次購物王老師實際付款多少元.

分析：第（3）問中a的取值不明確，a>200到底有幾種情況？第二次購物的貨款又落在哪個范圍？對于此類明知要分類卻無從下手的問題，我們就可以借助數軸解決問題，數軸已經被顯性分點200，500分成三段，說明第一次貨款。可取200500這兩種情況，但是當a只在這兩個區間時，第二次貨款求得范圍320≤820-a<620，200<820-a<320.從第二次貨款范圍分類不明確，類比例2，我們發現第二次購物貨款也可以取200，500這兩個顯性分點，即820-a=200，820-a=500可求得兩個隱性分點a=320，a=620.這樣數軸就被200，320，500，620這4個不同的值劃分為五段，又a>200，所以a只要在200

解：（1）490元;（2）0.9x（過程略）;

（3）設兩次購物共付款w元，

①200

w=0.9a+500×0.9+0.8 ×（820-a-500）

=O.la+706.

②300

③500≤a≤620時，200≤820-a≤320， w=500×0.9+（a-500）×0.8+0.9×（820-a）=-O.la+788.

④620

綜上所述，w=O.la+706（200

w=738（320

w=-O.la+788（500≤a≤620），

w=0.2a+870（620

借助數軸找顯性和隱性分點求解分類討論型應用題會事半功倍.

（責任編輯 黃桂堅）