玩轉 高考題
——直線與圓錐曲線的位置關系篇

蘇 玖

（1）求C 的方程，并說明C 是什么曲線；

（2）過坐標原點的直線交C 于P，Q 兩點，點P 在第一象限，PE x⊥ 軸，垂足為E，連結QE 并延長交C 于點G．

(i)證明：△PQG 是直角三角形；(ii)求△PQG 面積的最大值．

點撥 第（2）小題的逆命題是否成立呢？請看改編題1.

改編1

點撥 由原題知只要證明P，C 橫坐標相同即可，離心率為何值時，PA ⊥ PB呢？請看改編題2.

改編2

過原點的直線交橢圓于P，A 兩點，其中P 在第一象限，過點P 作x 軸的垂線，垂足為C，連結AC，并延長交橢圓于點B.若PA PB⊥ ，試求橢圓的離心率.

點撥 如果過點P 作垂線得到的PB 與PA 不垂直，那么考慮過線段OP 上某一特殊點作x 軸的垂線，例如過OP 中點作x 軸的垂線，結論成立嗎？請看改編題3.

改編3

點 撥 當PA 與PB 垂直時，點P 在以AB 為直徑的圓上，當兩條弦不垂直時，探究點P 與以AB 為直徑的圓的位置關系？請看改編題4.

圖1

改編4

點撥 本題仍然利用直線BA 與BP 的斜率之積為定值，再用數量積研究∠APB 的取值范圍，結合平面幾何知識便可以得出結論.如果過P 向y 軸作垂線，請看改編題5.

改編5

點撥 還是利用兩條直線的斜率之積為定值得出結論，但如果過P 點既向x 軸作垂線，又向y 軸作垂線，得到兩條新的弦斜率之間有沒有關系呢？請看改編題6.

改編6

答案與解析

圖2

圖3

敲黑板

高考題（1） 是 根據蘇教版選修1-1 選修2-1P39 習題改編的，而（2）則是2011 年江蘇卷第18（2）題，但命題者又讓思維多走一步，求三角形的面積最大值． 所以同學們不要只顧著刷題，而要把課本題和歷年高考題真正弄懂弄透．

小試牛刀請根據上述問題，類比橢圓中的結論，對雙曲線提出3 個類似的正確命題，并證明.