由一道習題引發的反思

盛維林

（韶關學院 數學與統計學院，廣東 韶關 512005）

常微分方程在科技理論中具有非常廣泛的應用，是高等數學的重要內容之一［1］，一階線性微分方程是其中重要的一類方程［2］.通常解一階線性微分方程的方法有常數變易法［3-4］和積分因子法［5］.此外，一階線性微分方程還有其他一些解法［6］.這些解法中，“常數變易法”是求一階線性非齊次微分方程通解的最重要的方法［7］，但由于“常數變易法”過于巧妙，學生在做題時，還是會出現一些問題.在求解一道一階線性微分方程的習題中，學生出現了四種不同的解法，其中有兩種解法有別于常規解法，筆者對這些解法進行了分析和總結.

1 常系數變易法

一階線性非齊次微分方程：

其中P（x），Q（x）是閉區間［a，b］上的連續函數.稱：

為與（1）對應的一階線性齊次微分方程.常系數變易法通常是先求出（1）所對應的齊次方程（2）的通解.因為方程（2）是可分離變量的微分方程，分離變量得，

兩端分別積分，得：

即

然后設y=C（x）e-∫P（x）dx為（1）的解，代入（1）求得C（x）=∫Q（x）∫P（x）dx+C，從而得到（1）的解.以上是課本上的推導過程.

2 一道習題引發的不同解法

在這節課的課后，筆者布置了以下這道題目作為課后習題［1］.求方程

的通解.

（5）式所對應的齊次方程為：

解法（一）：對（6）式分離變量、 兩邊積分得，

令y=e-x2+c（x）代入（5），得

解法（二）：對（6）式分離變量、 兩邊積分得：

解法（三）：（5）式變形為

分離變量、 兩邊積分得：

解法（四）：對（6）式分離變量、 兩邊積分得：

將y=C（x）e-x2代入（5）得C'（x）e-x2=4x.

所以（5）式的解為y=2+Ce-x2，其中C 為任意常數.

3 對這些解法的分析與思考

解法（一）、（二）、（四）都是用到了常系數變易法來解題，只是在解齊次方程（6）時出現了（7）、（9）、（11）不同的表示，導致后面代入求通解時也不同，轉化為（8）、（10）、（12）求解C（x），顯然（8）、（10）求解起來要比（12）復雜一些.其實解法（一）中（7）式令eC=C1，解法（二）中（9）式令那么后面的解法就和解法（四）一樣了，但是即使這樣做了，由于C1≠ 0，（7）、（9）與（11）比較就少了y=0 這個解.如果仔細分析會發現，解法（四）也少了y=0 這個解.問題出在哪里呢？就在兩邊同時除以y 時，沒有討論y 是否為0，應該分y=0 和y ≠ 0 來討論，y ≠ 0 時是以上解答，其中C ≠ 0，由于y=0 也是解，所以將C 改為任意常數即可.雖然這樣做比較麻煩，但對培養學生思維嚴謹性是有益的.后來筆者查看了幾本《高等數學》的教材：《大學數學——微積分及其在生命科學、經濟管理中的應用》第三版，謝季堅，李啟文主編；《微積分》第三版，同濟大學數學系編；《微積分》第三版，中國人民大學朱來義主編.這幾本教材無一例外的都是直接兩邊除以y.另一本由東北師范大學數學系微分方程教研室編寫的《常微分方程》中，是分y=0 和y ≠ 0 來討論的.筆者認為這種處理方式比較妥當.

反觀筆者的教學過程，在（3）式之前分離變量時討論y=0 是齊次方程的解，y ≠ 0 時兩邊同時除以y，得到的C ≠ 0.由于C=0 時，y=0，所以將C 改為任意常數.緊接著讓學生觀察（4）式，如果把C1寫成ln│C│（C ≠ 0）行不行?學生心里肯定產生疑問，可不可以這樣做？為什么要這么做？先來回答第一個問題，提示學生考慮ln│C│的值域，這樣做是可行的.為什么這樣做？聯想對數函數的運算性質，可以簡化運算，很快得出y=Ce-∫P（x）dx（其中C ≠ 0）當C=0 時，對應的解為y=0，此時只需要將C ≠ 0 改為C 為任意常數即可.由于部分同學中學時對數函數的運算這里掌握得不牢固，導致在C1寫成ln│C│時，所以出現解法（一）.解法（二）的出現是因為在解（3）式時，為了不節外生枝，沒有說明如果負號放在y 這邊的情形.但既然作業中出現了這個問題，就有必要跟學生澄清一下.回到（3）式，如果是改成則這里可以令C1=C（C ≠ 0），即y=Ce∫-P（x）dx，這樣費一番周折之后還是與之前一致.因此，通過這道習題，可以跟學生強調，在解一階線性微分方程對應的齊次方程時，如果有負號，負號不要放在y 那邊，如果有系數，也不要放在y 那邊.

反觀解法（一）、（二），雖然有些不嚴謹的地方，但是也不是毫無意義，它們最終轉化為（8）、（10）的解答，怎么解出C（x），這是一個很好的問題，讓學生思考.第一步都是要將含有C（x）的項放在一邊，由（8）得C'（x）eC（x）=4xex2，由（10）得得到然后解答這兩個方程，這里要用到復合函數求導法則和除法法則才能求出來，這無疑也是對學生思維的一次挑戰.通過對比，可以總結出，常規解法（四）的優越性，從而進一步強調常數C 的變形是有益的.同時對給出解法（一）、（二）的同學給予肯定.對于解法（三）的同學也要表揚，因為他們觀察很仔細，這個方程可以看成可分離變量的微分方程，解答起來更簡潔.

4 結語

一些教材限于篇幅和體系安排，比較注重傳授知識，而對解決問題的思路分析就相對偏少.另外，會有一些細節的地方，可能考慮不到.這就需要老師平時用心鉆研教材，精心設計教學.另外，在教學中總會出現意想不到的結果［8］，作為教師，不要盲目否認學生的思維，當出現非常規的解答時，教師應該認真反思，查找思維形成的原因.對一道習題多種解法的分析和總結，有利于拓寬學生的解題思路，提高學生探究問題的熱情和學習高等數學的積極性，培養和發展學生的思維能力.