關于非齊次線性方程組的幾種解法

李華燦 李群芳 李師煜

摘 要 非齊次線性方程組是線性代數的核心知識點。文中從一道非齊次線性方程組的求解出發，從克萊姆法則、逆矩陣以及初等行變換等三個方面淺談非齊次線性方程組的三種不同解法。

關鍵詞 非齊次線性方程組 克萊姆法則 初等行變換 逆矩陣

中圖分類號：O151.21文獻標識碼：A

0引言

線性方程組的求解問題是線性代數課程的核心問題，包含齊次線性方程組和非齊次線性方程組。由于非齊次線性方程組的非齊次項不全為零，故非齊次非線性方程組的求解相對較復雜，故文中選擇下面的非齊次線性方程組為例。

例1：求解下面非齊次線性方程組。

記方程組（1）的系數矩陣為，，則方程組（1）等價于下列矩陣方程

1利用克萊姆法則解非齊次線性方程組（1）

克萊姆法則是求解非線性方程組的一種重要方法，關于其在方程組求解中的應用可參見文獻[3-5]。下面首先給出克萊姆法則：

引理1（克萊姆法則） 若n元非齊次線性方程組的系數行列式，則方程組的解唯一，且有

其中為方程組的系數矩陣，是用非齊次線性方程組的常數項替代的第得到的一個新的矩陣。

例1的解法一：

經計算可得

故由引理1可知，方程組（1）的解唯一，且經計算可知，，

故由克萊姆法則可得非齊次線性方程組（1）的解為

2利用逆矩陣求解

引理2 若n元非齊次線性方程組的系數行列式，則方程組的解唯一，且有.

例1的解法二：

由于方程組（1）的系數行列式，故可逆，且有

3利用初等行變換求解線性方程組

初等行變換是線性代數解決所有問題的重要技巧。在求解線性方程組中利用初等行變換的解題步驟為：把方程組中的系數和常數項按照它在方程組中的次序構成增廣矩陣B，然后對增廣矩陣B施行一系列初等行變換變為行最簡形，從而得到原方程組的同解方程組的最簡單的形式，進而得到方程組的解;進一步地，若方程組的系數矩陣A（下轉第195頁）（上接第193頁）為可逆矩陣，則可以由增廣矩陣的最簡形矩陣可直接寫出原方程組的解。

例1的解法三：

對方程組的增廣矩陣B作如下的一系列初等行變換，得

把上行最簡形矩陣反映到方程組，得非齊次線性方程組（1）的解為

基金項目：江西理工大學本科教學工程項目（XZG-16-01-05）。

參考文獻

[1] 楊存潔.關于線性方程組理論的一個注記[J].數學通報，1997（02）：42-43.

[2] 吳世玕，杜紅霞.？線性方程組Ax=b的反問題[J].江西理工大學學報，2006，27（01）：74-75.

[3] 孔妮娜.克萊姆法則解一般線性方程組的一個例子[J].？數學學習與研究，2014（24）：122.

[4] 陳成鋼.克拉默法則的一個簡單證明及其推廣[J].天津農學院學報，2013，20（03）：42-44.

[5] 李華燦，李群芳，李師煜.關于Green算子的Orlicz范數估計[J].江西理工大學學報，2015，36（05）：110-112.

[6] 吳世玕，杜紅霞.關于線性方程組的一個注記[J].江西理工大學學報，2007，28（01）：58-59.

[7] 李華燦，鄒翠.復合算子的 Poincar？型加權積分不等式[J].江西理工大學學報，2012，33（05）：97-100.