一元函數定積分的計算方法及策略

武文娟

(廣州工商學院 基礎教學部，廣州510850)

0 引言

不定積分和定積分是高等數學的重要組成部分，定積分既是不定積分內容的延拓，又是求平面圖形面積、弧長、旋轉體體積等幾何物理量的重要方法，也是復變函數、概率統計等相關課程的知識工具。一元定積分的計算方法有很多，主要有幾何意義法、奇偶性法、直接積分法、換元法和分部積分法。除了要掌握這些基本的求解方法外，還要講究一定的策略，以便方便快速地求解。這個策略指的是解決問題時應考慮求解方法的順序，這個順序決定了解題的難易、耗時的多少。以下將給出一元函數定積分的各種計算方法及策略，即各種計算方法及考慮使用這些方法的順序，并通過各種題型、各種計算方法的比較來具體闡釋。

1 定積分的計算方法

1.1 奇偶性法

奇函數在對稱區間上的定積分等于0，偶函數在對稱區間上的定積分等于正數區間的2倍。用奇偶性法應看積分區間是否為對稱區間，然后再看被積函數的奇偶性。

1.2 幾何意義法

1.3 直接積分法

根據Newton—Leibniz公式，利用基本不定積分公式得出一個原函數，算出原函數在積分上下限函數值之差即是所要求的定積分。

1.4 換元法

換元法是通過引入一個新變量來簡化積分運算。在定積分求解過程中，可以根據所設變量與原變量的關系相應變換積分的上下限。

1.5 分部積分法

2 定積分的計算策略

定積分的計算方法共有五種，定積分的計算策略就是按一定的順序依次使用這些方法，方法的順序為奇偶性法、幾何意義法、直接積分法、換元積分法、分部積分法。下面將舉例闡釋定積分的計算方法及策略。根據本研究給出的解法順序去計算定積分，發現這個策略對于求解定積分是行之有效的，會大大簡化運算過程。

例1 計算下列定積分

分析：按照計算策略，應該先考慮奇偶性法，積分區間是對稱區間，再看被積函數是奇函數，根據奇偶性法，此積分結果應等于0。

備注：如果此題不按順序考慮求解方法，就容易漏掉奇偶性法而選用第二換元法，大大增加了題目求解難度。

分析：按照計算策略，應該先考慮奇偶性法，但積分區間不對稱，所以不能用奇偶性法，考慮使用第二種幾何意義法，定積分等于上半圓(x-1)2+y2=1與x軸所圍成圖形的面積。

備注：如果此題不按順序考慮求解方法，就容易忽略幾何意義法而選用第二換元法，大大增加了題目求解難度。

備注：如果被積函數是分式形式且分子分母都是多項式，通常把被積函數裂項成兩項之和再求積分。

分析：按照計算策略，先考慮奇偶性法，由于積分區間不對稱，故不符合，再考慮幾何意義法，不是常見圖形，不易畫出，然后考慮第三種直接積分法，但被積函數不是基本初等函數，不能直接用基本積分公式積出，接著考慮換元積分法，引入中間變量u=cosx，則du=-sinxdx，這樣就可以算出積分。

備注：被積函數是兩個式子乘積，先從最復雜的式子下手，本題復雜的是cos5x，對照基本積分表，與x5比較相似，故可嘗試u=cosx，換成對u的積分。

分析：按照計算策略，先考慮奇偶性法，由于積分區間不對稱，故不符合，再考慮幾何意義法，不是常見圖形，不易畫出，然后考慮第三種直接積分法，但被積函數不是基本初等函數，不能直接用基本積分公式積出，接著應考慮換元積分法，但不易找出中間變量，又看到被積函數是兩個基本初等函數乘積，所以應該用分部積分法，根據反對冪三指的順序確定u和v。

備注：如果被積函數是兩個基本初等函數的乘積，常用分部積分法，根據反對冪三指的順序，兩個函數哪個在前哪個看成u。

分析：按照計算策略，先考慮奇偶性法，由于積分區間是對稱區間，再看被積函數不具有奇偶性，但該被積函數可以裂成兩項之和，每一項都具有奇偶性，奇函數部分結果為0，偶函數部分求積分有根式先根式有理化，化解被積函數，最后用幾何意義法即可求出結果。

3 結語

通過例1各題詳細演示了用本研究提到的方法及策略計算定積分可以簡化運算，降低計算難度，而且也不易忽略最簡單的計算方法。例2是個綜合題，用到了三種計算方法，根據本研究提到的計算策略能方便快速地計算出結果。